2024届山西省优生联考高三上学期1月考试数学试题及答案

2023～2024学年第一学期优生联考高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.23izz1.已知，则（）31i553131iD.315iiA.B.C.55555xx11，则Ax0Byye，xðBA2.已知集合（）(,(,A.C.B.D.(,(,3.第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，时值中秋和国庆假期，某班同学利用假期在家通过网络直播观看比赛.已知该班有30名学生喜欢看排球比赛，40名同学喜欢看篮球比赛，50名同学喜欢看排球比赛或篮球比赛，若从喜欢看排球比赛的同学中抽取1人，则此同学喜欢看篮球比赛的概率为（）3445231A.B.C.D.2b2a2aab4.已知平面向量a、b满足，若，则a与b的夹角为（）π5ππ2πA.B.C.D.66335.已知抛物线C:y28x的焦点为F，点P在C上，若点Q3，则周长的最小值为（A.13B.12是两个平面，直线lC.10D.86.已知、，l，若以①l；②l//；③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（）A.①③②；①②③①B.①③②；②③①C.①②③；②③D.①③②；①②③；②③①π5fxsinx0)7.已知函数gx的图象关于轴对称，若将的图象向左至fx的图象与x第1页/共5页π少平移个单位长度后可得到的图象，则（）gx2A.的图象关于原点对称gxπ2gxgxB.π5C.在gx上单调递增2πgx的图象关于点,0D.对称58.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方2形，如此继续.设初始正方形的边长为，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列21，若的前n项和为)n，令bnaSnn2(20nN*na,，其中2nnbnmax{x,}表示x，y中的较大值.若nc恒成立，则实数的取值范围是（）3213223[[,A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.19.下列代数式的值为的是（）4tan151tansinA.22B.2C.cos36cos72a,bD.2cos20408010.已知，且ab1，则（）A.aC.22b221B.ab2ln2ab22D.ab2第2页/共5页32343411.已知定义在R上的函数满足fx，且为奇函数，当fxfxfxx,0时，8fxx2ax2，则（）3A.是周期为的周期函数fx3B.D.f11398223x,fxx2x2fi2C.当时，243i1ABCD22AA14D12.在长方体中，，E是棱BC的中点，过点B，E，的平1111111面交棱AD于点F，P为线段）1FA.三棱锥P的体积为定值B.存在点P，使得1BC.直线与平面所成角的正切值的最大值为21PBB1E外接球的表面积的取值范围是,44)D.三棱锥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.2x5，则5x2a2xa13.已知_______．ye)xbyf(x)相切，则b与曲线a45f(x)(xe)x14.已知函数，若直线________________.15.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点A2射出的两条光线与eO:xy1分别相切于点M、N，称两射线AM、上切点上22Ba,2MN()O“上方所夹的平面区域含边界为圆的背面若以点”.为圆心，r为半径的方部分的射线与优弧O圆处于的“背面”，则r的最大值为__________.x22y22ab0)的左､右焦点分别为F,F，点P在CPFa16.已知双曲线C:的左支上，，122abbPO交C的右支于点QP,Q，延长，点M为双曲线上任意一点（异于12MQkk__________.与的斜率之积四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.，数列的前项和为1.Sn，且n2Sn中，，a47328bnn17.在等差数列n（1）求数列和的通项公式；abnn第3页/共5页nncncn项和n.n（2）若，求数列18.已知中，角,B,C所对的边分别为a,b,c,2acosCbc.（1）求A；BC边上的点，且满足CM2BM,aMABMBA，求△ACM（2）设M是内切圆的半径.19.2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500分布直方图．（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的，其中近似为样本N,2（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布平均数x，s22近似为样本方差．一般正态分布概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若的XaY~N0,1PXaPY，且X~N,2，令Y，则．PX（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．PZ1Z，则0.7734200.0059Y~N0,1PY0.780.7734．参考数据：，．若第4页/共5页83-ABC1ACABBA的面积为4，且四棱锥的体积为11120.如图，在三棱柱中，侧面.1111B1A的距离;1（1）求点到平面1ACCA1A1ABCACAC的中点，，求平面111（2）若平面平面，侧面是正方形，D为11111ABC所成锐二面角的余弦值.1与平面111x22y223F1F20)的左、右焦点，，椭圆的离心率为FF231221.设，分别是椭圆D:ab.ab2（1）求椭圆D的方程；lQ0，若点N(0,t)PQ垂（2）作直线与椭圆D交于不同的两点P，，其中点P的坐标为是线段1直平分线上一点，且满足NPNQ4，求实数的值.t1f(x)x(a0a22.已知函数且.ax（1）讨论f(x)的单调性；1a1，求证：x0f(x)a.（2）若，2第5页/共5页2023～2024学年第一学期优生联考高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.23izz（1.已知，则）31i5531i31iD.315iA.B.C.55555【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数.23i23i3i3i3i31zzi，所以【详解】因为.555故选：Bxx11，则Ax0Byye，xðBA2.已知集合（）(,(,A.C.B.D.(,(,【答案】C【解析】【分析】首先解分式不等式求出集合A，再根据指数函数的性质求出集合B，最后根据补集的定义计算可得.xx1x10xx100x1，或x0【详解】由，等价于，解得xx1所以Ax0,1，1Byyex又，所以ðAB,10,1.故选：C第1页/共25页3.第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，时值中秋和国庆假期，某班同学利用假期在家通过网络直播观看比赛.已知该班有30名学生喜欢看排球比赛，40名同学喜欢看篮球比赛，50名同学喜欢看排球比赛或篮球比赛，若从喜欢看排球比赛的同学中抽取1人，则此同学喜欢看篮球比赛的概率为（）2334451A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】先求出喜欢观看两种比赛的人数，再用古典概率求解即可.x【详解】设有人两种比赛都喜欢，则有30x40x人只喜欢看排球比赛，人只喜欢看篮球比赛，所以有30x40xx50，解得x=20人，203023所以从喜欢看排球比赛的同学中抽取1人，则此同学喜欢看篮球比赛的概率为.故选：Bb2a2aab4.已知平面向量a、b满足，若，则a与b的夹角为（）π5ππ2πA.B.C.D.6633【答案】D【解析】aab0【分析】依题意可得，根据数量积的运算律求出ab，再由夹角公式计算可得.b2a2aabaab0，所以2【详解】因为，且，即aab0，2所以，aba1ab1211cos，因为π，设a与b的夹角为，则ab22π2π所以，即a与b的夹角为.33故选：D5.已知抛物线C:y28x的焦点为F，点P在C上，若点Q3，则周长的最小值为（B.12C.10D.8A.13【答案】A【解析】【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.第2页/共25页【详解】y24x，故F0,x2，2记抛物线C的准线为，则l：l记点P到l的距离为d，点到l的距离为Q6,3d，d622302d58513.则PQPFPQ故选：A.6.已知、是两个平面，直线l，l；②l//；③，若以①l中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（）A.①③②；①②③①B.①③②；②③①C.①②③；②③【答案】AD.①③②；①②③；②③①【解析】【分析】对三个命题逐个分析，可采用判定定理、定义、作图的方法进行说明，由此可确定出正确选项.1）证明：①②③为真命题因为l，l//，设l平行于内一条直线l，所以l，根据面面垂直的判定定理可知：，所以①②（2）证明：①③③为真命题；②为真命题因为l，，所以l或l//，又因为l，所以l//，所以①③（3）证明：②③②为真命题；①为假命题作出正方体如下图所示：第3页/共25页记直线AD为l，平面为，平面所以，l//，但l//，所以②③故选：A.为，ABCDCC111111①为假命题；【点睛】本题考查空间中关于线、面的命题的真假判断，主要考查学生对空间中位置关系的理解，难度一般.说明位置关系不成立也可以举反例.π5fxsinx0)gx的图象与7.已知函数的图象关于轴对称，若将的图象向左至xfxπ少平移个单位长度后可得到的图象，则（）gx2A.图象关于原点对称gx的π2gxgxB.π5C.在gx上单调递增2πgx的图象关于点,0D.对称5【答案】B【解析】π5gxfxmsinxm【分析】先设m0x，从而根据图象关于轴对称，得到方程，，，得到AB选项，化简得到BC选项，利用整体法判断g00求出2，A选项，根据2πg函数的单调性；D选项，由0得到D错误.5第4页/共25页π5πgxfxmsinxm【详解】由题意，可设sinxmm0，，5因为与的图象关于x轴对称，gxfxπ5π56π5sinxmsinxsinx所以，π6π则m2π,kZ，解得mπ2π,kZ，55π，由于0m0，故m的最小值为，π因为的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，gxfx2ππ，解得2，所以2ππ254πgxsin2x则sin2x.54π对于A，因为的定义域为R，而图象不关于原点对称，A错误；g0sin，所以不是奇函数，gx0gx5π2sin2xπ4π254π5gxsin2xπ对于B，4π5sin2xgx，B正确；π54π4π2π2x,x对于C，由，得，5554π2πysinzz,又在上不单调，C错误；552πg4π4πsin8πsin0，对于D，55552π,0gx不是图象的对称中心，D错误.故5故选：B.8.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方第5页/共25页2形，如此继续.设初始正方形的边长为，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列21，若的前n项和为)n，令bnaSnn2(20nN*na,，其中2nnbnmax{x,}表示x，y中的较大值.若nc恒成立，则实数的取值范围是（）3213223[[,A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出数列和的通项公式，再根据集合新定义确定，再由不等式bnnan3恒成立分类ncababcbaba求出对应的值取并集即可.讨论时列不等式和时列不等式3333433332【详解】因为的前n项和为Snn(20)nnN，a2*naSSn2(20)nn(20)n2n20，2所以当n2时，nnn1又当n1时，aS202，符合上式，11所以数列的通项公式a2n20，nan2数列满足b，bn12122b11222b212q因为，公比，22n1n222所以n1qn1，22212n所以，b2n1a2n0是递减数列，而22n是递增数列；因为数列nbn第6页/共25页1ca,max{x,}表示x，y中的较大值.若nc，其中恒成立，3nn2bn中的最小项，cc所以是数列3n2cabab，即8620162所以当时，则，解得，333343cbaba6208420，解得32，当时，则，即3333223取并集可得，故选：D.1an【点睛】关键点点睛：本题中集合新定义是取较大者，这样就转化成比较和的大小问题了，利用已b2n知求出数列和的通项公式再比较大小可确定，最后由不等式bnnan3恒成立，列不等式组求出n参数范围即可.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.19.下列代数式的值为的是（）4tan151tansinA.22B.2C.cos36cos72D.2cos204080【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项.3【详解】对于A选项，275sin275cos1501803030；2sin15cos15tan15sin15cos1511sin30对于B选项，1tan；sin242sin22212第7页/共25页12sin72cos72sin36cos36cos721sin14414对于C选项，cos36cos72；sin364sin144sin1801442cos20sin204080sin20对于D选项，2cos2040801sin80cos801sin160sin404080142.sin204sin160sin180160故选：BCD.a,bab1，则（10.已知，且）A.aC.22b221B.ab2ln2ab22D.ab2【答案】BCD【解析】【分析】根据基本不等式结合对数和指数的运算逐一判断即可.a2b22ab，所以2a2b22b2ab，2【详解】对于A，因为a212ab12ab所以a2b2，当且仅当时取等号，故A错误；2a,bab0,1ab0，故，对于B，因为，所以21ab14ab又因ab，当且仅当时取等号，241abab2ln2所以，故B正确；22ab22，当且仅当412ab对于C，2a2b22a2b时取等号，故C正确；2对于D，因为ab2ab，所以2abab2abab，ab2ab2所以当且仅当故选：BCD.，1ab时取等号，故D正确.2第8页/共25页32343411.已知定义在R上的函数满足fx，且为奇函数，当fxfxfxx,0时，8fxx2ax2，则（）3A.是周期为的周期函数fx3B.D.f11398223x,fxx2x2fi2C.当时，243i1【答案】ABD【解析】3f0Bf1可得A选a43924选项；利用函数的周期性和对称性求出函数在fx,上的解析式，可判断C选项；利用函数周期性的定义可求出所求代数式的值，可判断D选项.32【详解】对于A选项，因为定义在R上的函数满足fxfx，fx32fx3fx则fxfx，故是周期为3的周期函数，A对；34343fxfxfx对于B选项，因为函数为奇函数，则，4343434fxfxx0f0，在等式中，令可得3x,083x2ax2fx又因为当时，，，解得，438f93312a2a0a则，431644233x,08323x2x2fx故当时，421f1f8121所以，21，B对；23232第9页/共25页392433x3,33234x,x3x,0对于C选项，当时，，，242343434fxfxfx的图象关于点,0因为，则函数对称，39243232x,fxfx3fx3fx所以当时，28323328223xx2x2x3，C错；323对于D选项，由C选项，可知，f02，f32，则8223f222231，所以，，f1f2f31120且3，D对.fi0674f1f2112202436742因为，故i1故选：ABD.12.在长方体ABCD22AA14D1中，，E是棱BC的中点，过点B，E，的平111111面交棱AD于点F，P为线段）1FA.三棱锥P的体积为定值B.存在点P，使得1BC.直线与平面所成角的正切值的最大值为2,44)外接球的表面积的取值范围是1PBB1ED.三棱锥【答案】ACD【解析】1F//，从而可判断出选项A正确；对于选【分析】对于选项A，利用面面平行的性质，得到平面项B，假设存在，可推出平面DD，从而判断选项BC，利用线面角的定义，找11出线面角为PEP'，从而在RtPP'E中，求出tanPEP'的值，进而判断选项正确对于选项，利C.DO2rd用球的截面圆的几何性质，找出球心在直线上，利用R22，建立方程2|OO1|2|1B|2|2|2|2P|2，从而求出球的表面积的取值范围.AADD//CC，11【详解】对于A，因为平面平面11第10页/共25页根据面面平行的性质，平面与这两个平面的交线互相平行，1F//BE1F面，面，即，因为1F//1F上，所以平面，又点P在线段所以三棱锥P的体积为定值，故A正确；BF，对于B，若存在点P，使得，因为DDBF，1DD1D，则DPBF，因为1,DDDD，11平面,所以平面11与题意矛盾，故B错误；对于C，如图1所示，BC的中点Q，连接Q1B内的射影上，在Q取，则点P在平面11BPEP'，直线与平面所成角即1PP'EP'tanPEP'|PP'|2，且有，由已知可得|EP'|最小为2，所以tanPEP'对于D，如图2，的最大值为2，故C正确；AD的中点O，O取的中点G，连接，分别取，，1112第11页/共25页连接O，因为△BB1E是等腰直角三角形，2PBB1E外接球的球心O在直线O所以三棱锥上，2PBB1E外接球的半径为R，则||R设三棱锥，所以|OO1|2|1B|2|2|2|2P|2，设|OO1d222d|2P|22，则d，1|OP|2所以d2,当点P与F重合时，24|2P|取最小值2，此时d，R23，PBB1E三棱锥外接球的表面积为4R212π，D|2P|取最大值10，当点P与重合时，1，11，三棱锥PBBE此时d3R24R244π，故D正确．外接球的表面积为1故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于选项D，利用球的截面圆的几何性质，找出球心在直线O上，利用22r2d2，建立方程|OO1|2|1B|2|2|2|2P|2，从而求出球的表面积的取值范围.R三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.22a2xax5，则5x_______．13.已知a454【答案】【解析】x5【分析】先根据指数运算求出的值，根据对数运算的知识求得值，代入求出的值.5xaxa3225，所以a5，【详解】因为212x2x2x所以a452522212x2lg5212x5，525log5x4即，所以x5，4第12页/共25页117x55454所以．5x545444故答案为：.f(x)(xe)xye)xbyf(x)相切，则b与曲线________________.14.已知函数，若直线【答案】e1##1e【解析】【分析】根据切线的斜率求出切点，再代入切线方程即可得解.，0x,fx【详解】设切点为0xeefxxx1，xxe11efx0由题意可得，00e上都是增函数，yx,y1在因为函数所以函数xe上是增函数，yx1在xeln111ex1，0又，所以1所以切点为，1,001ebbe1.，解得则故答案为：e1.15.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点A2射出的两条光线与eO:xy1分别相切于点M、N，称两射线AM、上切点上22Ba,2MN()O“上方所夹的平面区域含边界为圆的背面若以点”.为圆心，r为半径的方部分的射线与优弧O圆处于的“背面”，则r的最大值为__________.【答案】1146##46【解析】y2【分析】设过A点的切线方程为k，根据圆心到直线的距离等于半径求出，即可得到直线AM、的方程，从而求出a的取值范围，当圆B与圆O外切且圆B与AM（或）相切时，r取最大值，从而求出r的最大值，即可得解.第13页/共25页2y21，解得k3，【详解】如图设过A点的切线方程为，所以1k243所以直线AM的方程为y3x2，即3xy20，令y2，解得x，3433y3x23xy20y2，解得x直线的方程为，即，令，因为圆B:xa2y2r2处于圆的背面，2O“”4343a,，所以33当圆B与圆O由圆B与圆O外切且圆B与AM（或）相切时，r取最大值，a4外切得a24r1，圆B与AM相切时r，2434342r4aa,ar，所以又，所以，33324343a,222r250，解得r1146或r1146，结合，即r33所以r1146，所以的最大值为r1146，相切时r的最大值为1146同理圆B与综上可得r的最大值为1146，.故答案为：1146PFa，x2y22ab0)的左､右焦点分别为F,F，点P在C16.已知双曲线C:的左支上，122a2bbPO交C的右支于点QP,Q，延长，点M为双曲线上任意一点（异于12第14页/共25页MQkk__________.与的斜率之积【答案】2【解析】△PF1FPFO【分析】先利用平面向量加法的法则和双曲线的性质求出和的边长，再分别利用余弦定理2ba222，最后根据斜率公式求解即可.联立可得c的半焦距为，则FFc,FOc【详解】依题意，设双曲线C，121POb，因为OFF是的中点，所以PFPF2PO，故由b得1212122a,aa又因为，所以，12212221F2a24c29a2c22a2在△PF1F中，F12，2122FF122a2cac1accaPFO|PO2a2c2b22222a22在PFO中，，cosPFO12PFFO2ac2acc11c22a2accba232，2所以，解得，所以aca2x2y22a2，则y22x2a2，2所以双曲线方程为Qx,y，1Mx,yPx,y设，，001112012yyyyy20yx21212x所以kk01012，0101x2x2x2100故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.，数列的前项和为1.Sn，且n2Sn中，，a47328bnn17.在等差数列n第15页/共25页（1）求数列和的通项公式；abnnnncnc的前n项和n.n（2）若，求数列a2n1bn1【答案】（1），nnn1n1T3n（2）【解析】1）设等差数列的公差为，根据已知条件求出d的值，结合等差数列的通项公式可求得数and列n1，可求得b2S1可得b2Sn11，上述两ab1n2的值，当时，由nnnn1个等式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；bnbn（2）利用错位相减法可求得n.【小问1详解】解：设等差数列的公差为d，ana2aad2a4da7d217d35d2，则，解得38444aan4d72n42n1，所以，n4数列的前项和为，且b2S1，bnSnnnn当n1时，则有b2Sb1，111b2S1可得b2Sn11，nnn1当n2时，由上述两个等式作差可得nn1n0，即bb，n1n所以，数列是首项为1，公比为的等比数列，则3.bnb13n13n1n【小问2详解】an2n12n1n1135cnTn解：因为，则，①nn10121132n32n1T可得，②n2n1n333第16页/共25页2311122222n1n12n1311①②得T1n2n1nn33332n12，3nn1n1T3n故.18.已知中，角,B,C所对的边分别为a,b,c,2acosCbc.（1）求A；BC边上的点，且满足CM2BM,aMABMBA，求△ACM（2）设M是【答案】（1）A333内切圆的半径.2π3（2）2【解析】1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式求解结果；2313AMABAC两边平方得出另一个（2）在中根据余弦定理得出关于边长的一个关系，再由方程，联立解出边长，再由△ACM的面积与内切圆半径r的关系求得结果.【小问1详解】2aC2bc已知，由正弦定理得，AcosCBsinCACsinCAcosC2cosAsinCsinCsinBsinACsinAcosCcosAsinC，又所以AcosCAcosC2cosAsinCsinC，10，所以A因为C，22πAπ，所以A因为.3【小问2详解】如图所示：第17页/共25页在中根据余弦定理得a2b2c2bccosA，即b2cbc81，①221又因为2，所以AMABAC，因为，所以3，33213AMABAC将两边平方并整理得b24c2bc81，②32ππ联立①②得到bc33，所以，，36πCAM6.所以所以，2193△ACM的面积为333.2293212333设其内切圆半径为r，则3336r，解得r，2333所以△ACM内切圆的半径为.219.2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500分布直方图．（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的第18页/共25页，其中近似为样本N,2（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布平均数x，2近似为样本方差s2．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若XaY~N0,1PXaPY，且X~N,2，令Y，则．PX（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．PZ1Z，则0.780.7734．0.7734200.0059Y~N0,1PY参考数据：，．若【答案】（1）9，1.642ⅰ）0.7734ⅱ）0.994，4.532.【解析】1）根据平均数和方差的公式直接求解即可.（2ⅰ）由（1）可得由题知9，2X~N9,1.64，则1.64，所以1091.28PX10PY可得答案.PX101PX100.2266Z~B20,0.2266（ⅱⅰ）知从而可得答案.,则1）x60.0270.180.290.38100.18110.08120.049．s26920.027920.18920.29920.3810920.1811920.0812920.041.64．（2ⅰ）由题知9，21.64，所以X~N9,1.64，．1091.28PX10PY所以PY0.780.7734．PX101PX100.2266（ⅱ）由（ⅰ）知Z~B20,0.2266．，可得10.00590.99410.994．PZ11PZ10.77340故Z的数学期望EZ200.22664.532．【点睛】关键点睛：本题考查根据频率分布直方图求平均数和方差以及根据正态分布求概率和二项分布问第19页/共25页题，解答本题的关键是将问题“从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时，属于中档题.Z~B20,0.2266长超过10小时的人数，转化为得到83-ABC1ACABBA20.如图，在三棱柱中，侧面的面积为4，且四棱锥的体积为.1111111B1A的距离;1（1）求点到平面1ACCA1A1A1的ACAC中点，，求平面111（2）若平面平面，侧面是正方形，D为1111ABC所成锐二面角的余弦值.1与平面1115【答案】（1）2（2）3【解析】1）根据题意，由棱柱及棱锥的体积公式，结合等体积法即可得到结果；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【小问1详解】B1A的距离为h，1设点到平面111ASS由三棱柱知，四边形是平行四边形，所以，11B1A12114所以VV，CACA231111111AACCSS2CC11由三棱柱知四边形是平行四边形，所以，，11AA121431343又VVSh，所以2hh2，解得CABC11131111B1A的距离为2；1即点到平面1【小问2详解】第20页/共25页AA中点为O，连接ACCA1AACAC取，因为平面平面，且，11111111ACCAABBAAA平面，111所以1AA，又平面111则1平面1A1A，且是正方形，11y分别为轴，轴正方向，过点作轴平行zxAB以O为坐标原点，,O，建立如图所示空间直角1111坐标系，因为平面ACCA1A1ABA1A平面，1平面，且是正方形，则111111由（1）可知，AA12，12，则A1,0，A01，B0C0,0,2，，，且D为B1,01的中点，则111D,1，212AD,1,AB2,0，设平面x,y,z，1法向量为1n所以1nADxyz0yx2z1，则yx2，则，解得，取y2znAB2x2y012,1，所以平面的一个法向量为1a,b,c，2,0,0,AC1,211ABABC，设平面的法向量为111又则11mAB2a0b2c11，解得，取c1，则b2，a0mACb2c0112,1ABC的一个法向量为1所以平面，11ABC所成锐二面角为，111设平面与平面1第21页/共25页mncos,n145，93mn55ABC所成锐二面角的余弦值为111即平面与平面.13x22y223F1F20)的左、右焦点，，椭圆的离心率为FF231221.设，分别是椭圆D:ab.ab2（1）求椭圆D的方程；lQ0，若点N(0,t)PQ垂（2）作直线与椭圆D交于不同的两点P，，其中点P的坐标为是线段1直平分线上一点，且满足NPNQ4，求实数的值.tx2y12【答案】（1）425（2）22，【解析】1）由离心率及焦距求出、，从而求出b；ac（2）设，直线的方程为ykx2Qx,yl1，联立椭圆方程，利用韦达定理表示线段的中点坐11标，分类讨论当k0、k0时的情况，