2024届四川省资阳市高三上学期二模数学试题及答案

★秘密启用前资阳市高中2021级第二次诊断性考试数学（文科）本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.､一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Ax3x2,Bxx4x5，则2AB1.已知集合（）B.C.2D.2A.1i1iziz2.复数A.1，则（）B.2C.2D.41,3,b1，则ab2ab（a3.已知向量）A.10B.18C.7,8D.4,14p4.已知命题:pxRxR,2xx,2xx，则21为（）A.21B.xR,2x2x12x1C.xR,2xx21D.xR,2x5.甲､乙两人进行了10轮的投篮练习，每轮各投10个，现将两人每轮投中的个数制成如下折线图：下列说法正确的是（）A.甲投中个数的平均数比乙投中个数的平均数小B.甲投中个数的中位数比乙投中个数的中位数小C.甲投中个数的标准差比乙投中个数的标准差小D.甲投中个数的极差比乙投中个数的极差大xy6.执行如图所示的程序框图，若输入的值为2023，则输出的值为（）1181412A.B.C.D.162a12887.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，bbb33，则ab1599nn258（）323A.2B.3C.D.3x2y22F,2为双曲线C:1ab0)的左､右焦点，点A在CFA2FA上，若，128.已知a2bAFF30AFF的面积为63，则C的方程为（）1212x2y2x2y21111A.C.B.9636x2y2x2y2D.6963yyxk相切，则（9.若直线与曲线）1212A.B.C.D.e2e2ee212πfxsinx10.函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位长3度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（）528372A.B.C.3D.ABCDABCD11.在正方体中，下列结论正确的是（）1111AC6045AC16045A.C.与所成的角为B.D.与所成的角为CD与所成的角为11111111AD与所成的角为11x22y212.已知O为坐标原点，F,2是椭圆C:1ab0),B分别为C的左､右焦点，的左､右顶点.ab2P为C上一点，且2x轴，直线AP与轴交于点M，直线BM与y2交于点QFQ1y与轴交，直线1，则C于点N.若的离心率为（）41122334A.B.C.D.3二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.fxa1x13.已知函数2asinxa为偶函数，则___________.y4x,x,y2x3y则的最大值为y214.已知实数满足___________.yxABCDABCDABAB4内有一个球与该四棱台的每个面都相切，若，则该四棱台1115.在正四棱台1111的高是___________.16.《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，四日织24尺，且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为？译为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，前4天织了24尺布，且第7天所织布尺数为第1天和第2天所织布尺数的积.问第10天织布尺数为___________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某工注重生产工艺创新，设计并试运行了甲､乙两条生产线.现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：良甲生产线40乙生产线80优合计80120100180120180300（1）通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？合计（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品.若在这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率.附表及公式：PK2k00.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635n(adbc)2K2,nabcd.其中abcdacbd18.（12分）π记ABC的内角积的取值范围.的对边分别为，若ABCA为锐角三角形，，__________，求ABC面,B,Ca,b,c3从①a23；②b2这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（12分）已知O为坐标原点，过点P2,0的动直线与抛物线lC:y4x2,B相交于两点.（1）求；xOy中，是否存在不同于点P的定点QAQPBQP恒成立？若存在，（2）在平面直角坐标系，使得求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.20.（12分）ABCABCCB1AACCCC平面11如图，在三棱柱中，直线平面ABC，平面.11111ACBB（1）求证：；14ACBC12ABP1B（2）若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥P的体积为？若存3111在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由.21.（12分）fxaxxx.已知函数3ππ,（1）若a0，判断在fx上的单调性，并说明理由；22（2）当a0，探究在fxπ上的极值点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）xtcos,xOy中，已知曲线C:x2y2xyy0C:t（为参数，在直角坐标系（其中1ytsinxtsin,t0C:（t为参数，t0,0）.以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴x2yt2建立极坐标系.（1）求C的极坐标方程；（2）若曲线C与C,C1分别交于2,B两点，求面积的最大值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数fx2x2x2.（1）解不等式fx52x；（2）令的最小值为，正数满足a2b2bT，证明：ab221.fxTa,b文科数学参考解答及评分参考､一选择题1.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查一元二次不等式的解法，集合的交集运算等基础知识；考查运算求解能力，数学运算素养.【答案】B4x„0„„B∣x2【解析】由，所以AB{x3xx5x1{x3x„„„.2.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的除法､加法运算，复数模的概念等基础知识；考查运算求解能力.【答案】C1i1ii)2【解析】由zii，2z2所以.3.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计平面向量运算问题，主要考查向量的加减法运算，数量积运算等基础知识；考查运算求解能力，数学运算素养.【答案】Aab2ab1,24,710【解析】.4.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，主要考查全称量词与存在量词的意义､含有一个量词的命题的否定等基础知识；考查数学抽象等数学核心素养.【答案】Dp【解析】依题意，对有存在量词的命题的否定为xR2x1.p:,2x5.【考查意图】本小题设置生活实践情境，主要考查直方图､统计量的含义等基础知识；考查统计与概率等数学思想；考查直观想象､数学建模等数学核心素养.【答案】C【解析】依直方图可知，甲投中个数的平均数､中位数分别比乙投中个数的平均数､中位数大，A,B错误；甲投中个数的标准差比乙投中个数的平标准差小，C正确；甲投中个数的极差比乙投中个数的极差小，D错误.6.【考查意图】本小题设置数学应用情境，设计程序框图问题，主要考查对程序框图以及循环结构的理解和应用等基础知识；考查读图能力和逻辑思维能力；考查逻辑推理素养.【答案】D【解析】运行程序，输入x2023，则x202342019，满足…x201942015，满足1…;x3，满足…x1，不满足…0y21，故输出的.27.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计等差数列和等比数列问题，主要考查等差数列和等比数列的性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力.【答案】C【解析】由是等差数列，aaaa9a3得aa2a6，所以，由285an15955bbbb3533b3bb，所以283，得258528128136632所以.48.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计求双曲线标准方程的问题，考查双曲线的定义，解三角形及三角形面积等基础知识，考查化归与转化的数学思想，考查逻辑推理与数学运算等数学素养.【答案】BFF2cFA2FA,FAFA2aFA4a,FA2a【解析】设，由得，又因为12121212F30FFA90,FF2c2aAF1F，所以，故的面积为212121212x2y2FFFA2a2632c2b26，故C的方程为1.，即a122369.【考查意图】本小题设置有关切线的数学课程学习，考查导数的几何意义､导数的应用等基础知识，考查运算求解､推理论证等能力；考查化归与转化等思想方法.【答案】C10，则切线方程为yxx0，即yyxAx,x0【解析】设与曲线相切于点0000111eyx01k,010k，解得，则.0010.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设置三角函数图象问题，主要考查三角函数图象及其性质等基础知识；考查化归与转化能力､运算求解能力；考查数形结合思想，数学运算核心素养.【答案】A112πππ6，得sinf0，所以fxsinx【解析】由，因为，所以，将该函226π数图象向右平移个单位长度后所得函数图象对应的解析式为3π3sinxππ36ππ36ππ36yfxsinxysinx.由已知得，函数为ππ152πkZkkZ，又，所以，解得0的最小值为奇函数，所以.36211.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计空间几何问题，主要考查正方体中直线与直线的位置关系､线线角的计算等基础知识与基本技能；考查空间想象能力，考查化归与转化等思想，考查逻辑推理､直观想象等数学素养.【答案】AAC∥ACABC【解析】如图，由正方体的性质，可得为正三角形，1111ACAC所成的角，等于60,A选项正确；1所以同理为与11AD∥BC,ABCAD,C选项错误；为与所成的角，等于11111BD1ABDACCD∥CD由平面，则，B选项错误；由，11111111DCCD所成的角，在Rt1tanBDC2为与中，，1111显然D选项错误.12.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计与椭圆有关的综合问题，考查利用简单图形的几何性质求解点的坐标，线段长度等基础知识，考查化归转化､数形结合等思想方法，考查直观想象､数学运算等数学素养.【答案】BFF2c【解析】设，由题知，不妨设1222acb2acb2baacbac1Pc,,2P,2Q,2Q，又因为aacaaac22aac2acbb2112e，则，所以即a2c.2aac4ac4､二填空题13.【考查意图】本小题设置数学学科学习情境，考查函数的奇偶性等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查逻辑推理等数学核心素养.【答案】0【解析】因为为偶函数，所以，即a1x2asinxa1x2asinx，所以fxfxfx2asinx0恒成立，所以a0.14.【考查意图】本小题设置数学课程学习情景，主要考查线性规划问题；查数形结合思想；考查直观想象､数学运算素养.【答案】11A2,B2,C3所构成的三角形及内部区域，当【解析】不等式组所表示的平面区域是由连接z2x3yC1,3时，的值最大，其最大值为11.z所表示的直线过点15.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计多面体的内切球问题；主要考查正四棱台的底面与高､斜高等基础知识；考查数形结合､化归与转化等思想方法；考查直观想象､逻辑推理､数学运算等数学素养.【答案】22【解析】如图，取球心O､球与上下底面的切点1,O，球与左右侧面的切点､3,OEFF1E确定的截面.易124OFOFOFOF2FF123，1得，故114124从而四棱台的高h32122.216.【考查意图】本小题设置数学文化情境，设计数列应用问题，主要考查等差数列公差､数列通项公式等基础知识；考查运算求解能力，阅读理解能力，推理论证能力；考查数学文化，逻辑推理素养，数学运算素养.【答案】21aaaa【解析】设每日所织尺数为正项等差数列，公差为，由已知得d1234即anaaa,7124a6daa111a39221.10解得或a6daad,d2d20111､三解答题17.【考查意图】本小题设置生活实践情境，主要考查独立性检验的基本思想及其初步应用､概率等基础知识；考查统计与概率等数学思想；考查数学运算､数据处理､数学建模等数学核心素养.300(401008080)1201801201802100271）由题，K23.7042.706，因此，有的把握认为产品质量与生产线有关系.（2）记这6件产品中产自于甲生产线的有2件，记为A,A，产自于乙生产线的有4件，记为21B,B,B,B.4123从这6件产品中随机抽取2件的所有基本事件有：，A,A,A,B,A,B,A,B31211121，，共B,B,B,B4A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,B,B,B,B,B,B,B,B14212223241213142324315个.其中，至少有一件产自于甲生产线的基本事件有9个.93所以，抽取的2件产品中至少有一件产自于甲生产线的概率为即.15518.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计结构不良问题，主要考查正弦定理，三角形面积公式，锐角三角形等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，数学运算素养，逻辑推理素养.abc234【解析】若选①，由正弦定理得sinAsinBsinCπ，sin3所以b4sinB,c4sinC，2π32π2πcCB4sincosBsinB2BB，33113B2BB所以SABCsinA222BcosB2B23sin2B31cos2B3sin2B3cos2B3π22B3，62πππ因为ABC为锐角三角形，所以0CB0B且，322ππB所以所以，62ππ5π1π2B,sin2B„1，66626„33，π2322B所以6故锐角ABC面积的取值范围为23,33.cb2若选②，由正弦定理得，sinCsinBsinBπ3sinBBCABBsinBsinB3所以1，csinBsinBtanB2πππ因为ABC为锐角三角形，所以0CB0B且，322ππB所以，623314，所以tanB,c3tanB313SsinAc,23所以..2223故锐角ABC面积的取值范围为,23219.【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计直线与抛物线的综合问题，主要考查直线与抛物线的交点坐标､抛物线的对称性等基础知识，考查特殊与一股､化归与转化等数学思想，考查类比推理及数学运算素养.y1）由题知，直线l与轴不垂直，xAx,y,Bx,y.2故可设直线l的方程为1122y4x,2y480.由得x2显然，Δ16m2320，1yy4,yyxx2yy1224于是所以.12121216xxyy4.1212（2）当直线lx轴时，l:xA2,22,B22，故当时，点Qx轴.轴不垂直时，由抛物线的对称性知，满足条件的点Qx当直线l与x轴，设Qn,0，由得kkBQ0，AQ1y20，即1n2n整理得yxnyxn0，即12211y2ny2n0，1222y2nyy0.2所以12116m42nm02.，解得n故综上，存在定点Q2,0满足条件.20.【考查意图】本小题设置数学课程学习情境，设计柱体相关的综合问题，主要考查直线与平面垂直的判定及性质，平面与平面垂直的性质，二面角的平面角的计算等基础知识与基本技能；考查数形结合､化归与转化等思想方法，考查直观想象､逻辑推理､数学运算等数学素养.CCBHCC1于H，1）在平面中作11AACCCC，11因为平面平面11AACCBBCCCC，111且平面平面11所以平面CC，从而.11ABCABCCB中，1ABC,AC在三棱柱平面平面ABC，111AC1B所以.1BACCC又因为，所以平面，11ACBB因此.1（2）假设点P存在，在平面ABC中，111作PM∥ACBC于1交M，111则PM∥，因为AC平面CC，故PMCC平面.11111BCB1BC12，且.在平行四边形中，因为1S1B224.所以1B1144所以VSPMPM，P1B1B13331所以PM1.PM12AC2因，所以.111故符合条件的点P存在，为AB的中点.1121.【考查意图】本小题以幂函数､三角函数等通过四则运算构成的新函数为数学探究创新情境，主要考查函数的图象和性质､导数､不等式等基础知识；考查化归与转化､分类与整合､数形结合等数学思想；考查数学抽象､逻辑推理､数学运算､直观想象等数学核心素养.ππ221）当a0时，在,fx上是单调递增函数，理由如下：fxxcosx,fxcosxsinx思路1：依题意，，π2xfxcosxsinx0；当当故时，πx,0cosxsinx0fxcosxsinx0，时，，则2ππx,时，fx0，22ππ,所以在fx上是单调递增函数.22fxxcosx,fxcosxsinx思路2：依题意，为奇函数，故可先判断在，πfxfx由于，则fxfx上单调性.2π2xfxcosxsinx0fx，此时单调递增，当时，ππ22由于为奇函数，所以在fxfx,上是单调递增函数.（2）由fxax3xxfxax2cosxsinx，得，依题意，只需探究fxax2cosxsinx在π上的零点个数即可.令fxax2xsinx，则ux6axcosxx6acosx，ux16在πux…0恒成立，6…1，即…6acos…0时，，此时（i）当则即fxfx…f01，单调递增，故ux此时在ππfx上无零点，则在上的极值点个数为0.fx1（ii）当06a1，即0a时，πx，使得x6acosx0cos06a，即，00060xxux0xπux0时，，可知时，0所以即在上单调递增，在1，0,π上单调递减，uxfxx0由于f0fπaπ2116①若fπa