新疆乌鲁木齐市经开区+(头屯河区)2024年初中学业水平检测数学试卷

新疆乌鲁木齐市经开区(头屯河区)2024年初中学业水平检测数学试卷一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．）1．（4分）2024的倒数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（4分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A． B． C． D．3．（4分）下列运算正确的是（）A．2a2•a4＝2a8 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．2a6÷a2＝2a4 D．（a﹣2）2＝a2﹣44．（4分）如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得∠2＝58°，则∠1的度数为（）A．22° B．32° C．42° D．62°5．（4分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝106．（4分）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22024的个位数字是（）A．6 B．4 C．2 D．87．（4分）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝6，则OP的长为（）A．3 B．4 C． D．8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，若BD＝3，CD＝4，则AB的长是（）A． B． C． D．59．（4分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根；⑤若方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝2．其中正确结论的个数有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）10．（4分）正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于度．11．（4分）随着新疆旅游越来越火爆，小明打算暑假到新疆旅游，他在乌鲁木齐、喀什、伊犁、吐鲁番四个城市中随机挑选两个游玩，则他选到乌鲁木齐和喀什的概率是．12．（4分）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：．13．（4分）已知圆锥的底面直径为4cm，其母线长为3cm，则它的侧面积为cm2．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D（﹣4，6），AD＝10，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为．15．（4分）如图，在△ABC中，BC边上的高为6，S△ABC＝15．点P是△ABC内一点，若BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∠PDC＝90°，则PD的最大值是．三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）计算；（1）；（2）化简，并给a取合适的值后，求代数式的值．17．（6分）解方程组：．18．（6分）某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．19．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形．20．（10分）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）图②中扇形C的圆心角度数为度；（2）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．21．（10分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝8m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°，求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）22．（12分）黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式．（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离．（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？23．（11分）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC＝8，，求AD的长．24．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．）1．（4分）2024的倒数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的倒数是；故选：C．2．（4分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：此几何体的主视图从左往右分3列，小正方形的个数分别是2，1，1，故选：A．3．（4分）下列运算正确的是（）A．2a2•a4＝2a8 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．2a6÷a2＝2a4 D．（a﹣2）2＝a2﹣4【解答】解：2a2•a4＝2a6，故选项A错误，不符合题意；（﹣2a2）3＝﹣8a6，故选项B错误，不符合题意；2a6÷a2＝2a4，故选项C正确，符合题意；（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故选项D错误，不符合题意；故选：C．4．（4分）如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得∠2＝58°，则∠1的度数为（）A．22° B．32° C．42° D．62°【解答】解：∵矩形直尺对边平行，∴∠3＝∠2＝58°，∴∠1＝90°﹣58°＝32°．故选：B．5．（4分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；依题意，可列方程为：＝10；故选：B．6．（4分）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22024的个位数字是（）A．6 B．4 C．2 D．8【解答】解：由题意知，2n个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现，∵2024÷4＝505……4，∴22023的个位数字与24相同，为6，故选：A．7．（4分）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝6，则OP的长为（）A．3 B．4 C． D．【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝4，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB＝90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°∴四边形MONP是矩形，∵OM＝ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP＝4故选：D．8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，若BD＝3，CD＝4，则AB的长是（）A． B． C． D．5【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB＝3，∴∠B＝∠DAB，∵∠ADC＝∠B+∠DAB＝2∠B，∠C＝2∠B，∴∠ADC＝∠C，∴AC＝AD＝3，如图，过A点作AH⊥CD于H，则DH＝CH＝CD＝2，在Rt△ADH中，根据勾股定理得：AH＝＝＝，在Rt△ABH中，BH＝BD+DH＝3+2＝5，∴AB＝＝＝，故选：C．9．（4分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根；⑤若方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝2．其中正确结论的个数有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，即b+2a＝0，∴3a+b＝2a+b+a＝a＜0，②错误；∵x＝3时y＞0，抛物线对称轴为直线x＝1，∴x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，①正确；∵抛物线顶点纵坐标为n，∴＝n，∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），③正确；由图象可得抛物线与直线y＝n﹣1有两个交点，∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，④正确；∵抛物线对称轴为直线x＝1，方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，∴＝1，∴x1+x2＝2，⑤正确．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）10．（4分）正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于144度．【解答】解：由于正多边形的中心角等于36°，360÷36°＝10，所以正多边形为正10边形，又因为其外角和为360°，所以其外角为360÷10＝36°，其每个内角为180°﹣36°＝144°．故答案为144．11．（4分）随着新疆旅游越来越火爆，小明打算暑假到新疆旅游，他在乌鲁木齐、喀什、伊犁、吐鲁番四个城市中随机挑选两个游玩，则他选到乌鲁木齐和喀什的概率是．【解答】解：将乌鲁木齐、喀什、伊犁、吐鲁番四个城市分别记为A，B，C，D，列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12种等可能的结果，其中他选到乌鲁木齐和喀什的结果有：（A，B），（B，A），共2种，∴他选到乌鲁木齐和喀什的概率是＝．故答案为：．12．（4分）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：．【解答】解：若设有x人，物品价值y元，根据题意，可列方程组为，故答案为：．13．（4分）已知圆锥的底面直径为4cm，其母线长为3cm，则它的侧面积为6πcm2．【解答】解：底面直径为4cm，则底面周长＝4π，侧面积＝×4π×3＝6πcm2．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D（﹣4，6），AD＝10，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为．【解答】解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴∴∠BHC＝90°，∵点D（﹣4，6），AD＝10，∴DE＝6，∴AE＝＝8，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°∴∠CBH＝∠DCH，∵∠DCP+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，∠CPD＝∠APO，∴∠DCP＝∠DAE，∴∠CBH＝∠DAE，∵∠AED＝∠BHC＝90°，∴△ADE≌△BCH（AAS），∴BH＝AE＝8，∵OE＝4，∴OA＝4，∴AF＝4，∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠BAF，∴△APO∽△BAF，∴，∴，∴BF＝，∴B（8，），∴k＝8×＝，故答案为：．15．（4分）如图，在△ABC中，BC边上的高为6，S△ABC＝15．点P是△ABC内一点，若BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∠PDC＝90°，则PD的最大值是．【解答】解：过点P作PE⊥AB于E，作PF⊥AC于F，∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∠PDC＝90°，∴PE＝PF＝PD，设PE＝PF＝PD＝x，∵S△ABC＝BC×6＝15．∴BC＝5，∵S△ABC＝BC•x+AB•x+AC•x＝（AB+AC+BC）•x＝（AB+AC+5）•x＝15，则AB+AC最小时，PD的值最大，过点A作AH∥BC，作点C关于AH的对称点C′，连接BC′交AH于A′，连接A′C，则A′C＝A′C′，C′C＝6×2＝12，此时AB+AC最小为A′B+A′C′＝BC′＝＝＝13，∴（13+5）•x＝15，解得x＝，∴PD的最大值为，故答案为：．三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）计算；（1）；（2）化简，并给a取合适的值后，求代数式的值．【解答】解：（1）原式＝1+2×﹣（﹣3）×2＝1++6＝7+；（2）原式＝•+＝﹣+＝，由题意得：a≠±1，当a＝0时，原式＝＝1．17．（6分）解方程组：．【解答】解：原方程组可化为，即，①+②得，6x＝18，x＝3．①﹣②得，﹣4y＝﹣2，y＝．故原方程组的解为．18．（6分）某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，由题意得，﹣＝，解得：x＝15．经检验：x＝15是原方程的解．答：骑车学生的速度为15km/h．19．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形．20．（10分）为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）图②中扇形C的圆心角度数为90度；（2）计划在A，B，C，D，E五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B，E这两项活动的概率．【解答】解：（1）调查的学生人数为36÷30%＝120（人），∴图②中扇形C的圆心角度数为360°×＝90°．故答案为：90．（2）画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中恰好选中B，E这两项活动的结果有2种，∴恰好选中B，E这两项活动的概率为＝．21．（10分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝8m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°，求塔AB的高度（tan27°取0.5，取1.7，结果取整数）【解答】解：由题意得：DE⊥EC，在Rt△DEC中，CD＝8m，∠DCE＝30°，∴DE＝CD＝4（m），∴DE的长为4m；由题意得：BA⊥EA，在Rt△DEC中，DE＝4m，∠DCE＝30°，∴CE＝DE＝4（m），在Rt△ABC中，设AB＝hm，∵∠BCA＝45°，∴AC＝＝h（m），∴AE＝EC+AC＝（4+h）m，∴线段EA的长为（4+h）m；过点D作DF⊥AB，垂足为F，由题意得：DF＝EA＝（4+h）m，DE＝FA＝4m，∵AB＝hm，∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣4）m，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝27°，∴BF＝DF•tan27°≈0.5（4+h）m，∴h﹣4＝0.5（4+h），解得：h＝4+8≈15，∴AB＝15m，∴塔AB的高度约为15m．22．（12分）黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富．一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼．捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛．下图是渔政船及渔船与港口的距离s和渔船离开港口的时间t之间的函数图象．（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（1）直接写出渔船离港口的距离s和它离开港口的时间t的函数关系式．（2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离．（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？【解答】解：（1）当0≤t≤5时，s＝30t，当5＜t≤8时，s＝150，当8＜t≤13时，s＝﹣30t+390；（2）设渔政船离港口的距离s与渔政船离开港口的时间t之间的函数关系式为s＝kt+b（k≠0），则，解得．所以s＝45t﹣360；联立，解得．所以渔船离黄岩岛的距离为150﹣90＝60（海里）；（3）s渔＝﹣30t+390，s渔政＝45t﹣360，分两种情况：①s渔﹣s渔政＝30，﹣30t+390﹣（45t﹣360）＝30，解得t＝（或9.6）；②s渔政﹣s渔＝30，45t﹣360﹣（﹣30t+390）＝30，解得t＝（或10.4）．所以，当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里．23．（11分）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC＝8，，求AD的长．【解答】（1）证明：过点O作OE⊥AB于点E，∵AD⊥BO于点D，∴∠D＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，∵∠AOD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠OAD，又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∴∠BCO＝∠D＝90°，∵∠BOC＝∠AOD，∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，在△BOC和△BOE中，∵，∴△BOC≌△BOE（AAS），∴OE＝OC，∵OE⊥AB，OE是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°，∴∠EOA＝∠ABC，∵BC＝8，tan∠ABC＝，∴AC＝BC•tan∠ABC＝，则AB＝＝，由（1）知BE＝BC＝8，∴AE＝﹣8＝，∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，∴＝，∴OE＝4，OB＝＝4，∵