高中数学-函数的最大（小）值与导数教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

课题：§3.3.3函数的最大（小）值与导数

授课类型：新授课

•教学目标

1.使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数/（X）在闭区间［。,以上所有

点（包括端点。为）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；

2.使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.

3.培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力.

•教学重点

利用导数求函数的最大值和最小值的方法。

•教学难点

函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系

・课标解读

1.理解函数最大值与最小值的定义.（难点）

2.掌握求函数最大值最小值的方法.（重点）

3.能根据函数的最值求参数的值.（难点）

•教学方法：问题探索法及启发式讲授法

・教具：多媒体

教学过程

一、【创设情境】

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的

性质.也就是说，如果/是函数y=/（x）的极大（小）值点，那么在点小附近找不到

比/（小）更大（小）的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数

在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小.如果%是函数的最大（小）值，那么/（%）不

小（大）于函数y=/（x）在相应区间上的所有函数值.

二、【新课讲授】

观察图中一个定义在闭区间L,同上的函数/（X）的图象.图中/（X,）与/（刍）是极小值，

/小）是极大值.函数/（x）在句上的最大值是/S）,最小值是〃不）.

1.结论：一般地，在闭区间上函数y=/（X）的图像是一条连续不断的曲线，那么函数

y=

在［a,h］上必有最大值与最小值.

说明：（1）如果在某一区间上函数y=/（x）的图像是一条连续不断的曲线，则称函数

y=/（x）在这个区间上连续.（可以不给学生讲）

（2）给定函数的区间必须是闭区间，在开区间（。,0）内连续的函数/（X）不一定有最大值与

最小值.

如函数/(幻=:在(0,+8)内连续，但没有最大值与最小值；

X

(3)在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，

(4)函数/(x)在闭区间[a,同上连续，是/(x)在闭区间[a,“上有最大值与最小值的充分

条件

而非必要条件.(可以不给学生讲)

2.“最值”与“极值”的区别和联系

(1)最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是

个

局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性.

(2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也

可

能没有一个

(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，

有

最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.

3.利用导数求函数的最值步骤：

由上面函数/(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进

行比较，

就可以得出函数的最值了.

一般地，求函数/(x)在上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求/(x)在(。力)内的极值；

(2)将/(X)的各极值与端点处的函数值/(a)、/(加比较，其中最大的一个是最大值，

最小的一个是最小值，得出函数/(x)在[a,司上的最值

三、典例分析

题目类型一、例1、求下列函数的最值：

(1)求函数f(x)=x3-3x2-9x+5,xd[—2,4]的最值.

(2)f(x)=e—X—ex,x£[0,a],a为正常数.求函数在闭区间上的最值

【变式训练】

求下列函数的最值.

(l)f(x)=x3-3x2+6x-2,xe[-l,l];

(2)f(x)=—x3+2x2+3.(x£[—3,2]).

【规律方法】

1.熟练掌握求函数在闭区间上最值的步骤，其中准确求出函数的极值是解题的

关键.

2.求函数的最值应注意以下两点：

(1)注意定义域，要在定义域(给定区间)内列表；

(2)极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨

论.

题目类型二、求含参数的函数的最值

例2、已知函数f(x)=ax3—6ax2+b,问是否存在实数a、b,使f(x)在［一1,2］

上取得最大值3,最小值一29,若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理

由.

【思路探究】(l)f(x)在［―1,2］上的最大、最小值是怎样求得的？(2)在求解最值

的过程中要不要对参数进行讨论？

【规律方法】

本题运用求解函数最值的方法确定参数a,b的值，解题的关键在于对函数中参

数a的讨论，确定函数的最值在哪一点处取得.

【变式训练】

已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a

⑴求f(x)的单调递减区间；

⑵若f(x)在区间［—2,2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

题目类型三、函数最值的综合应用问题

2

例3、已知函数/(©MV+a?+bx+c在尤=—§与x=l处都取得极值.

(1)求a、8的值及函数的单调区间；

(2)若对1,2］,不等式/(x)<c2恒成立，求c的取值范围.

【规律方法】

利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用.要使不等式f(x)

<h在区间［m,n］上恒成立，可先在区间［m,n］上求出函数的最大值f(x)max,

只要h>f(x)max,则上面的不等式恒成立.同理，要使不等式f(x)>h在区间［m,

n］上恒成立，可先在区间［m,n］上求出函数f(x)的最小值f(x)min,只要f(x)min

>h,则不等式f(x)>h恒成立.

【变式训练】

已知火X)=X3—$—2X+5,当xG［—l,2］时，/(x)Va恒成立，求实数a的取

值范围.

课堂练习

1.下列说法正确的是()

A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值

C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值

2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M,最小值是m,若M=m,则f'(x)()

A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能

四、【课堂小结】

1.函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存

在的点，区间端点；

2.函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要

条件；

3.闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有

唯一的极值，则此极值必是函数的最值

4.利用导数求函数的最值方法.

五、【书面作业】

六、【板书设计】

七、【教后记】

本人的课后反思

结果因过程而精彩，现象因方法而生动.无论是情境创设,还是探究设计，都必须以学生为主

体、教师为主导、训练为主线，设法从庞杂的知识中引导学生去

寻找关系，挖掘书本背后的数学思想，建构基于学生发展的知识体系，教学生学会思考,让教学

真正成为发展学生能力的课堂活动。因此，本课例在推导及计算中舍得花大量时间，便是为

了培养学生学会探究与创新，它就像一缕温暖的阳光，不一定能唤醒万物，却能催开人世间

最绚丽的花朵。

从学生的课堂积极性和学习成果来看，学生较好的完成了函数的最大值和最小值的学习，

在获得知识的基础上提高了分析问题解决问题的能力。当然，一节课的知识与能力的提高时

有限的，特别是数学思想的渗透。但是，我们能够从一节课中吸取精华，让一节又一节的课

堂活动连贯起来，促进学生学习能力的提高，数学素养的提升。

§3.3.3函数的最大(小)值与导数

学情分析：就学生而言，函数单调性与导数、函数的极值与导数是学生学习之前已经具备

的知识基础，是学习函数的最大(小)值与导数的基础。利用导数判断函数单调性的有关知

识和利用导数求极值的知识对本节课的学习，起到关键性的作用。能较好的理解函数最大值

与最小值的定义，掌握求函数最大值最小值的方法。

本节内容为函数的最大(小)值与导数，利用导数法求最值，实质是通过比较某些特

殊的函数值得到最值。上一节为函数的极值与导数，对极值的概念进一步理解，会求函数的

极值，对本节的理解起到了关键性的作用。但最值与极值的区别，极值与极值点的区别有待

加强，极值是一个局部概念，由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比

较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小，但最值常在极值点和边

界点处取得最值，本节课是上节课的延伸，是进一步学习导数知识解决最值问题。它不仅在

现实生活中有着广泛的实际应用，是对函数求最值的补充，是学生今后学习和工作中必备的

数学素养。

学生对“求含参数的函数的最值，函数最值的综合应用问题”较难理解。根据函数的最

值求参数的值是本节课的难点。运用求解函数最值的方法确定参数a,b的值，解题的关键

在于对函数中参数a的讨论，确定函数的最值在哪一点处取得.

学生的认知障碍点：

1.转化的思想的应用：利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应

用.要使不等式f(x)<h在区间［m,n］上恒成立，可先在区间［m,n］上求出函数的最大值

f(x)max,只要h>f(x)max,则上面的不等式恒成立.同理，要使不等式f(x)>h在区间［m,

n］上恒成立，可先在区间［m,n］上求出函数f(x)的最小值f(x)min,只要f(x)min>h,则

不等式f(x)>h恒成立.

2.计算能力有待提高。

§3.3.3函数的最大(小)值与导数

【效果分析】

《函数的最大(小)值与导数》是高中数学人教A版选修1-1第三章第三节的内容，本

节是导数这章中的一个重要内容，在现实生活中有着广泛的实际应用，所渗透的数学思想方

法,是学生今后学习和工作的必备数学素养.

本节内容为函数的最大（小）值与导数，利用导数法求最值，实质是通过比较某些特殊

的函数值得到最值。上一节为函数的极值与导数，对极值的概念进一步理解，会求函数的极

值，而极值是一个局部概念，由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比

较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小，但最值常在极值点和边

界点处取得最值，本节课是上节课的延伸，是进一步学习导数知识解决最值问题。它不仅在

现实生活中有着广泛的实际应用，是对函数求最值的补充，是学生今后学习和工作中必备的

数学素养。

整节课采取了“探究一一典例分析”的教学模式，以实际问题作为背景创设教学情境。

在具体问题上，抽象出解决一般问题的方法，由“特殊到一般，再由一般到特殊”，让学生

亲历提出问题，解决问题，反思总结的全过程。在已有知识和经验的基础上主动建构新知识。

同时，运用了学案，成果展示等新的教学理念。既保留了传统教学的优势，又增添了新式教

学的辅助。新老结合，效果显著。

从学生的课堂积极性和学习成果来看，学生较好的完成了函数的最大（小）值与导数的

学习，在获得知识的基础上提高了分析问题解决问题的能力。当然，一节课的知识与能力的

提高时有限的，特别是数学思想的渗透。但是，我们能够从一节课中吸取精华，让一节又一

节的课堂活动连贯起来，促进学生学习能力的提高，数学素养的提升。

求函数的最值，不仅仅是数学中的函数知识的演绎，更主要的是实际生活中的许多最值

问题需要用导数的知识加以解决.例如，教育储蓄问题、住房贷款问题等等，都是与最值和

有关的生活中的实际问题.通过函数知识在现实生活中广泛的应用，使学生经历从日常生活

中的实际问题抽象出函数模型的过程，探索并掌握其中的一些基本的数量关系，感受函数数

学模型的广泛应用，在运用它解决一些实际问题的过程中更多地体会数学的应用价值.同时,

在解决问题的过程中也能对学生的价值观和世界观的培养有着积极的影响，充分发挥数学的

教育功能.

结果因过程而精彩，现象因方法而生动.无论是情境创设,还是探究设计，都必须以学生为

主体、教师为主导、训练为主线,设法从庞杂的知识中引导学生去寻找关系，挖掘书本背后的

数学思想，建构基于学生发展的知识体系，教学生学会思考，让教学真正成为发展学生能力的

课堂活动。因此，本课例在推导及计算中舍得花大量时间，便是为了培养学生学会探究与创

新，它就像一缕温暖的阳光，不一定能唤醒万物，却能催开人世间最绚丽的花朵。

从学生的课堂积极性和学习成果来看，学生较好的完成了函数的最大值和最小值的学

习，在获得知识的基础上提高了分析问题解决问题的能力。当然，一节课的知识与能力的提

高时有限的，特别是数学思想的渗透。但是，我们能够从一节课中吸取精华，让一节又一节

的课堂活动连贯起来，促进学生学习能力的提高，数学素养的提升。

课题：§3.3.3函数的最大（小）值与导数

授课类型：新授课

［教材分析］

本节内容为函数的最大（小）值与导数，利用导数法求最值，实质是通过比较某些特殊的

函数值得到最值。上一节为函数的极值与导数,对极值的概念进一步理解,会求函数的极值，

而极值是一个局部概念，由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是

最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小，但最值常在极值点和边界点

处取得最值，本节课是上节课的延伸，是进一步学习导数知识解决最值问题。它不仅在现实

生活中有着广泛的实际应用，是对函数求最值的补充，是学生今后学习和工作中必备的数学

素养。

•三维目标

知识与技能：使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点

（包括端点）处的函数值中有最大（或最小）值必有的充分条件；使学生掌握用导数求函

数的极值及最值的方法和步骤。

过程与方法：培养学生结合图形分析问题，总结问题的能力.

情感、态度、价值观：对于函数在闭区间上的最值体现的函数的整体性质更深地了解..

教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.

教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.

教学建议：函数的值域和最值是函数的重要性质，也是必修教材中的教学重点和难点。

评测练习:

3.3.3函数的最大（小）值与导数

知识梳理•

1.最大值：如果在函数定义域/内存在必，使得对任意的总有，

则称yu＞）为函数在______________的最大值.

2.一般地，如果在区间［4,句上的函数y=/（x）的图象是一条的曲线，

那么段）必有最大值和最小值.此性质包括两个条件：（1）给定函数的区间是;

（2）函数图象在区间上的每一点必须.函数的最值是比较整个的

函数值得出的，函数的极值是比较的函数值得到的.

3.一般地，求在口，加上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求兀0在3,%）内的；

（2）将於）的各极值与比较，其中的一个是最大值,

的一个是最小值.

作业设计•］

一、选择题

I.下列结论正确的是（）

A.若.穴无）在口，句上有极大值，则极大值一定是［。，句上的最大值

B.若兀r）在［a,加上有极小值，则极小值一定是［a,可上的最小值

C.若加）在［a,句上有极大值，则极小值一定是x=a和x=6时取得

D.若加）在［a,句上连续，则危）在［a,句上存在最大值和最小值

2.函数人x）=/—4x+l在［1,5］上的最大值和最小值是（）

A.41),43)B.13),/5)

C./I),/5)D./5),12)

X

3.函数在。2］上的最大值是()

12

A.当x=l时，B.当x=2时，y=£

n*」__L

C.当x=0时，y=0D.当x=£,〉=延

4.函数在（0,1）上的最大值为（）

A，V2B.1C.0D.不存在

5.已知函数y（x）=a?+c,且/⑴=6,函数在［1,2］上的最大值为20,则c,的值为（)

A.1B.4C.-1D.0

6.已知函数夕=—/—2%+3在［4,2］上的最大值为竽，则a等于（）

311.3

A.—2B，2C.—2D.一/或二

题号123456

答案

二、填空题

7.函数/U）=lnx-x在（0,e］上的最大值为.

Ir兀"］

8.函数贝x）=］eX（sinx+cosx）在区间0,］上的值域为.

9.若函数大用二%3一?*一。在区间［0,3］上的最大值、最小值分别为M、N,则例一N的

值为.

三、解答题

10.求下列各函数的最值.

(l)/(x)=p;+sinx,[0,2n]；

(2)/(x)=x^—3x2+6x~2,[—1,1].

11.已知K^ux3一?一x+3,[-1,2],«¥)—〃7<0恒成立，求实数"7的取值范围.

能力提升

12.设函数人打二^^工.

⑴求7U）的单调区间；

（2）若当［—2,2］时，不等式段）>小恒成立，求实数机的取值范围.

13.若./U）=/—6〃/+b,x£［—1,2］的最大值为3,最小值是一29,求。、b的值.

⑥反思感悟

1.求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时X对应的函数值，通

过比较大小确定函数的最值.

2.在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字

母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题.

3.3.3函数的最大（小）值与导数

答案

知识梳理

1.式x）wyu（））定义域上

2.连续不断（1）闭区间（2）连续不间断定义域极值点附近

3.（1）极值（2）端点处的函数值九/）,肚）最大最小

作业设计

1.D［函数1》）在［a,切上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会

在端点处取得，而在［a,上一定存在最大值和最小值.］

2.D\f'（x）=2x—4,令/（x）=0,得x=2.

•••y（l）=-2,-2）=—3,式5）=6.

,最大值为犬5）,最小值为火2）.］

3.Ay=^f=^令y'=0得x=L

12

•."=0时，y=0,x=\时，y=~,x=2时，y=/,

最大值为!（x=l时取得）.］

4.A歹=4一药工•由<=°，得X耳

又（Xxv；时，y'>0,^<x<l时，y'<0,

5.B[V/。)=3渥，：.f(l)=3a=6,

・・a=2.

当x£[l,2]时,，。)=6/>0,即1x)在[1,2]上是增函数，.7/U)max=/(2)=2X23+c=20,

.\c=4,]

6.C》=一21一2,令y=0,得工=一1.当。0—1时，最大值为五-1)=4,不合题意.当

—1<〃<2时，在［〃,2］上单调递减，最大值为X〃)=一解一2〃+3=号，解得。=一；或

。=一去舍去).］

7.-1

11—x

解析f(x)=^-l=U•，令F(x)>0得0<x<l,令，(x)<0得x<0或在(0,1］

上是增函数，在(1,e］上是减函数.

，当x=i时，y(x)有最大值火i)=-i.

8后圜

解析,.”《［o,,/./(x)=eAcosx^O,

・・・的方心)勺付.

11TT

即产於)W/eg.

9.20

解析f。）=3/一3,令/（x）=0,

得x=l,（X=—1舍去）.

'：AO）=~a,fiy）=-2~a,y（3）=18-a.

：.M=18—n,N=-2-a.：.M-N=20.

10.解（1»‘（x）=；+cosx.

令f（x）=0,又；OWxW27t,

又：/(0)=0,fl2n)=n.

：.当%=o时，危)有最小值/0)=0,

当x=2兀时，>(x)有最大值火2兀)=兀.

(2/(x)=39—6x+6=3(f—2x+2)

=3(x—1>+3,

・"(x)在［-1,1］内恒大于0,

..次v)在［-1,1］上为增函数.

故x=-1时，y(x)最小优=-12；

X=\时，兀v)*大优=2.

即贝x)在［-1,1］上的最小值为一12,最大值为2.

11.解由兀》—〃i<0,即加次x)恒成立，

知”，之(X)max,

f'(x)=3x2-2x-},令/(x)=0,

解得x=—或x=\.

因为犬-3)=男，

11)=2,1-1)=2,42)=5.

所以«r)的最大值为5,

故机的取值范围为(5,+°°).

1x

12.解(1)［(x)=xev+2X2ev=yex(x+2).

由,x(x+2)>0,解得x>0或x<—2,

.二(—8,-2),(0,+8)为式x)的增区间，

由，x(x+2)<0,得一2<X<0,

...(-2,0)为火x)的减区间.

.•/x)的单调增区间为(一8,-2),(0,+8)；

单调减区间为(一2,0).

(2)令f'(X)0,得x=0或-2,

2

•••4-2)=/,/2)=2e2,式0)=0,

.­.Xx)e[0,2e2],

又恒成立，m<0.

故，"的取值范围为(-8,0).

13.解=ax3—6ax2+b,

:(x)=3a%2—i2ax.

令/(x)=0,解得x=0或4.

：4任[-1,2],故舍去,

.7/U)取最大值，最小值的点在x=—l、0,2上取得,

fi-l)=~la+b,ft0)=b,

fl2)=-16a+〃.

当a>0时，最大值为b=3,

a=2,

最小值为-16a+〃=-29,解得彳

匕=3,

当a<0时，最大值为-16a+6=3,6=—29,

伍=-2

解得，“,

[b=-29

a—2a=~2

综上所述:或.

6=3〔b=一29

§3.3.3函数的最大(小)值与导数

课后反思：

根据教学经历和学生的反馈信息，我对本课有如下几点反思：

(1)在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了三个活动环节：(