专题2-1弦中点与第三定义（点差法）

专题21圆锥曲线——弦中点与第三定义（点差法）中点弦模型（圆锥曲线中的垂径定理） 椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有证明（点差法）：设，，则，，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得① ②两式相减得：，整理得∴【思考】①椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？；②在双曲线中是否有类似的性质？设，，则，仍有，，∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得① ②两式相减得：，整理得∴可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型．∵A，B在双曲线上，代入A，B坐标得 ① ②两式相减得：，整理得∴ 注：抛物线中同样存在类似性质： 第三定义 那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有证明（点差法）：设，，，，，∵P，A在椭圆上，代入坐标得① ②两式相减得：，整理得∴法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？设，，，，，① ②两式相减得：，整理得∴法二：双曲线垂径定理设，∵P，B在双曲线上，代入双曲线方程得① ②两式相减得：，整理得∴2022年全国甲卷（理）T10——第三定义椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.2023全国乙卷·理11·文12设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确2022·新高考II卷T16——弦中点已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．【答案】【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，设，，设直线，，，则，，，因为，所以联立直线AB与椭圆方程得消掉y得其中，∴AB中点E的横坐标,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直线，即 重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一中点弦人教A版（2019）选择性必修第一册习题3.1P14已知椭圆,一组平行直线的斜率是.(1)这组直线何时与椭圆相交?(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.答案(1)直线与椭圆相交.(2)这些直线被椭圆截得的线段的中点均在直线上.解析设这组平行线的方程为.把代人椭圆方程,得,其根的判别式.(1)由,得.所以当这组直线在轴上的截距的取值范围是时,直线与椭圆相交.(2)设直线被椭圆截得的线段的中点为,则,其中是方程的两个实数根.联立和,消去,得.因此当这组直线与椭圆相交时,这些直线被椭圆截得的线段的中点均在直线上.给定双曲线，过点能否作直线m，使m与所给的双曲线相交于A、B两点，且P是线段AB的中点．这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在．说明理由。分析：点差法解出．但是将代人双曲线方程得一元二次方程，此方程无实根，故满足题设的直线不存在。这种题型只要给出曲线方程，和一个定点坐标，利用点差法肯定能计算出以这一点为中点的直线方程。但是如果忽视对判别式的考察．将得出错误的结果．所以解题时一定要注意点差法的不等价性，即考虑判别式大于零。同时由此题可看到中点弦问题中判断点P的位置非常重要。(1)若中点P在圆锥曲线内。则被点P平分的弦一般存在；(2)若中点肘在圆锥曲线外．则被点P平分的弦可能不存在．已知中心在原点,焦点在轴上,焦距为4的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为2,则此椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解:由题设,若椭圆方程为,令直线与椭圆交点分别为,,则有①,②, 两式作差可得：,即, 易知,弦的中点,所以,,因为直线：,所以, 故,所以,又,,解得,,故的方程为.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（

）A． B． C． D．，或【答案】A【解析】先设，，再由点差法求出，再由点，在椭圆内，求出的范围即可得解.【详解】解：设，，又点，在椭圆上，则，两式相减可得：，又，则，又点，在椭圆内，则，则，所以2023届·安徽省“江南十校”3月一模已知直线与椭圆交于两点，线段中点在直线上，且线段的垂直平分线交轴于点，则椭圆的离心率是.【答案】【分析】利用点差法证明二级结论，再结合，则两式相比可得，即，代入即可求出离心率.【详解】设，其中，显然点在椭圆内，记坐标原点为，直线的斜率分别为，易知三条直线斜率均存在，又，两式相减整理可得，即，又，所以两式相比可得，即，代入，整理可得，所以离心率2023·重庆巴蜀中学适应性月考（六）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，设P为线段AB的中点，若，则双曲线的离心率为．【答案】/【分析】由可得点P，求得,由点差法得,可求得离心率.【详解】如图:,由,,可得点P的坐标为，则直线OP斜率为,直线AB斜率为，另一方面，设则,两式相减得,整理得,即，故已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.【详解】由题设，则线段的中点为，由三角形重心的性质知，即，解得：即代入直线，得①.又B为线段的中点，则，又为椭圆上两点，，以上两式相减得，所以，化简得②2023·福建厦门二模不与x轴重合的直线l过点N（,0）（xN≠0），双曲线C：（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为．若，则C的离心率为．【答案】2【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得离心率.【详解】设，则，两式相减得，即，即，所以，因为是AB垂直平分线，有，所以，即，化简得，故①②及，解得：，即离心率湖北省八市2023届高三下学期3月联考已知抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于两点，的中点纵坐标为，则.【答案】或【分析】由题可设直线的方程为，，与抛物线联立可得交点坐标关系，根据相交弦长公式及中点坐标公式即可求得的值.【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，，所以，则，联立，消去得：，恒成立，所以，所以，则，又，整理得：，所以，解得或.题型二第三定义课本习题设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点.（1）若直线与的斜率之积是，求点的轨迹方程．（2）若直线与的斜率之积是，求点的轨迹方程【答案】（1）点的轨迹是除去，两点的椭圆【分析】分析：设点的坐标为，那么直线，的斜率就可用含，的关系式分别表示．由直线，的斜率之积是，可得出，之间的关系式，进而得到点的轨迹方程．【解析】设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率同理，直线的斜率由已知，有化简，得点的轨迹方程为∴点的轨迹是除去，两点的椭圆．（2）同理可得化简，得点的轨迹方程为∴点的轨迹是除去，两点的双曲线.已知双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为.【答案】【分析】利用对称性可得，再设结合双曲线的标准方程计算．【详解】由题意，，由于双曲线与都关于轴对称，因此它们的交点关于轴对称，所以，设，则，，．故答案为：．已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出两点的坐标，根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的标准方程.【详解】设，则，依题意，，解得，所以椭圆的标准方程为.2024届·湖北省腾云联盟高三联考（10月）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为．【答案】【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解．【详解】由题意可知，，设，可得直线的斜率分别为，，因为点在双曲线上，则，整理得，所以，设点，可得直线，的斜率，，因为点在椭圆上，则，整理得，所以，即，则，所以直线与关于轴对称，又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，又，则，所以，整理得，即，解得，或（舍去），所以椭圆的离心率为．故答案为：．2023届宁波二模T7——2条焦点弦平行设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率.【详解】如图，取的中点为，连接，则由题意可得，，所以相似，所以,因为直线PQ，PF的斜率之积为，所以,设，则有，两式相减可得，即，即，即，所以椭圆的离心率为2023届·浙江省杭州市桐庐中学高三上学期1月期末已知椭圆C：，经过原点O的直线交C于A，B两点．P是C上一点（异于点A，B），直线BP交x轴于点D．若直线AB，AP的斜率之积为，且，则椭圆C的离心率为．【答案】【分析】设点的坐标，求斜率，由题知，两式相减，化简得，结合，知，再利用及离心率公式即可求解.【详解】设，，，则直线AP的斜率为，BP的斜率为，由题知，两式相减得，即，即，即，又，则，即，即，则，所以，即，则椭圆C的离心率为.2023届·八省（T8）第一次联考已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设,则由直线恰好是以为直径的圆的切线,可得，再利用点差的方法可得，即得，从而可得的关系，即可求得椭圆离心率.【详解】依题意，设，直线的斜率一定存在,分别为，直线恰好是以为直径的圆的切线,则,则,则，∴，∵，两式相减得，∴，即，∴，∴，∴，∴椭圆的离心率2023届·武汉华中师大一附中校考期末已知双曲线，直线过坐标原点并与双曲线交于两点（在第一象限），过点作的垂线与双曲线交于另一个点，直线交轴于点，若点的横坐标为点横坐标的两倍，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，根据垂直关系及坐标可得直线的方程，联立可求得点坐标，代入双曲线方程中，结合在双曲线上，可化简整理得到，由离心率可求得结果.【详解】由题意知：直线斜率存在且不为零，则可设直线，设，则，，，，则直线，又，直线，由得：，即，在双曲线上，，又在双曲线上，即，，，即，，，又，，双曲线离心率.山东省青岛莱西市2023届高三上学期质量检测（二）已知双曲线与直线相交于，两点，点为双曲线上的一个动点，记直线，的斜率分别为，，若，且双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为．【答案】【分析】设点，，，利用点差法求得直线的斜率，得到，再由点到直线的距离求得，得出、，即可求出离心率.【详解】设点，，，则且，两式相减，得，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，即，因为焦点到渐近线的距离为，所以，可得，又因为，所以，所以双曲线的离心率.江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】设出点P，M的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得轴，再利用和角的正切公式求出a，b的关系作答.【详解】如图，设，点共线，点共线，所在直线的斜率分别为，点在双曲线上，即，有，因此，点在椭圆上，即，有，直线的斜率，有，即，于是，即直线与关于轴对称，又椭圆也关于轴对称，且过焦点，则轴，令，由得，显然，，，解得，所以双曲线的离心率.2023届·武汉市二月调研——斜率大乱斗设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线