辽河油田第一2022年高考考前模拟数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有

一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略

不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是()

JT3

2.在直角AABC中，NC=E，AB=4,AC=2,若=则函.函=()

A.-18B.-673C.18D.60

3.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎，个位

数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则%+丁=()

用C

$B?

82工fl2y9

769I37

A.170B.10C.172D.12

4.设。,瓦尸分别为AA8C的三边BCCA,AB的中点，则丽+%=()

uua

A.-ADB・ADC.BCD.-BC

22

24-loJg.1x,—Q<x<\

5.已知函数/(x)=<2"，若/(a)=/S)(a<。)，则曲的最小值为()

2\l<x<2

参考数据：In2®0.69,In22«0.48

1R垃D,包

A.-B.----C.log2V3

242

6.把函数/（%）=45«》-奈卜"0）的图象向右平移:个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数

g（x-，〃）（〃，>（））是偶函数，则实数〃?的最小值是（）

571g54八兀.冗

A.—B.—C.-D.—

126612

7.若（l+ax）（l+x）5的展开式中产,》3的系数之和为一]0,则实数。的值为（）

A.—3

22

8.己知双曲线C:「-A=l（a>0/>0）的右焦点为尸，若双曲线。的一条渐近线的倾斜角为且点尸到该渐近线

arb~3

的距离为G，则双曲线C的实轴的长为

8行

9.过圆Y+y2=4外一点M（4,-1）引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）.

A.4x-y-4=0B.4x+y-4=0C.4x+y+4=0D.4x—y+4=0

10.数列｛a“｝满足a“+a“+2=2a“+|（〃eN*）,且4+4+/=9,4=8,贝!|为=（）

11.已知直线4：x=my（加。（））与抛物线C：y2=4x交于o（坐标原点），A两点，直线心％=/取+加与抛

物线。交于3,。两点.若|8。|=3|。4],则实数加的值为（）

1111

A.—B•—C•一D.一

4538

12.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五

类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2

类元素相生的概率为（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.平面向量方=(1,2),5=(4,2),c=ma+b(〃?eR)，且^与方的夹角等于乙与石的夹角，贝！1a=—.

14.经过椭圆与+>2=1中心的直线与椭圆相交于加、N两点(点M在第一象限)，过点M作x轴的垂线，垂足为

点E.设直线NE与椭圆的另一个交点为P.则cosZNMP的值是.

15.在平面五边形A3CZJE中，ZA=60°,AB=AE=6y/3,BC1CD,且BC=£>E=6.将五边形A8CDE沿对

角线仍折起，使平面4m与平面BCDE所成的二面角为120。，则沿对角线仍折起后所得几何体的外接球的表面积

是.

16.如图，为测量出高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得用点的仰角NMAN=6()°,C

点的仰角NC48=45°以及月C=75°;从C点测得N"C4=60°.已知山高3c=1()0/九，则山高

MN=m.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知椭圆r:J+/=13>6>0)过点(加,乎)，设椭圆r的上顶点为B,右顶点和右焦点分别为A,产，

571

J@LZAFB=—.

6

(1)求椭圆「的标准方程;

(2)设直线/：)，=丘+交椭圆「于P,。两点，设直线8P与直线8。的斜率分别为原.，kBQ,若

%"+即°=T,试判断直线/是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

/、fx=Jicos。

18.(12分)过点P(—1,0)作倾斜角为a的直线与曲线广(。为参数)相交于〃、N两点.

y=V2sin0

(1)写出曲线C的一般方程；

(2)求|加上仍川的最小值.

19.(12分)已知a>0,b>。,函数/(x)=k+a|+|2x-Z?|的最小值为1.

(1)证明：2a+h=2.

(2)若。+2/?之口"恒成立，求实数f的最大值.

20.(12分)《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高

考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为

A、B+、B、C+、C、。+、D、E共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、

16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依

照等比例转换法则，分别转换到［91,100］、［81,90］、［71,80］,［61,70］,［51,60］,［41,50］,［31,40］、［21,30］八个

分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测

试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).

(1)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；

(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间［61,80］的人数，求X的

分布列和数学期望.

(附：若随机变量4〜N(〃,b2),则P(〃—b<q<〃+b)=0.682,P(〃—2b<《<〃+2b)=0.954,

P(R-3b<〃+3cr)=0.997)

21.(12分)如图1,在边长为4的正方形ABC。中，E是AO的中点，尸是CO的中点，现将三角形。瓦'沿瓦翻

折成如图2所示的五棱锥P-ABCFE.

(1)求证：AC〃平面尸£尸；

(2)若平面PEb,平面ABCFE,求直线PB与平面Q4E所成角的正弦值.

22.(10分)设数列｛4｝,其前〃项和S,=—3〃2,又也｝单调递增的等比数列，结2^=512,q+4=%+4.

(1)求数列｛为｝,｛，｝的通项公式；

h2

(11)若。“=e_2沁-1)'求数列｛%｝的前11项和并求证：

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定

此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.

【详解】

当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.

此时椭圆长轴长为）12?+6?=&、万，短轴长为6,

'2^5

所以ee0,---.

I5.

故选：C

【点睛】

本题考查了楣圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.

2.C

【解析】

Ar1

在直角三角形ABC中，求得=—上=一,再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量

AB2

积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值.

JT

在直角AABC中，NC=—,A8=4,AC=2,,

2

AC1

cos/CAB-——9

AB2

___3___

若4方与，则①•而=（而一女）（通一近）=而•而一而京一蔗•福+而2

3—23—————2351

=-AB--ABAC-ACAB+AC=-xl6--x4x2x-+4=18.

22222

故选C.

【点睛】

本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题.

3.D

【解析】

中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.

【详解】

由茎叶图知，甲的中位数为80+x=86,故尤=6；

78+82+80+y+89+91+93+97

乙的平均数为=88

7

解得y=6,所以x+y=12.

故选：D.

【点睛】

本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.

4.B

【解析】

根据题意,画出几何图形，根据向量加法的线性运算即可求解.

【详解】

根据题意,可得几何关系如下图所示：

1——1——

=—AB+—4C=AD

22

故选:B

【点睛】

本题考查了向量加法的线性运算，属于基础题.

5.A

【解析】

首先/(x)的单调性，由此判断出由/⑷=/S)求得a,。的关系式.利用导数求得log?必的最小值，由

l<b<2

此求得a匕的最小值.

【详解】

2+log,x,-<x<\,、r1A

由于函数/(x)=J58,所以/(x)在g,l上递减，在［1,2］上递增.由于/(a)=/S)(a<0),

2\l<x<2L,

/R］=2+log，=5,〃2)=22=4,令2+log］尤=4,解得》=1,所以.且2+log〃=2",化简

2

⑻/241</,<2

bh

得log2a=2-2,所以log?ab=log2a+log2b=2-2+log2b,构造函数g(x)=2-2"+log2x(l<x<2),

11—r2'11?2

g(x)=—2'ln2+.构造函数〃(x)=l-x・2*-ln22(l<xK2),

xln2xln2

/z(x)=-(l+xln2)-2A-ln22<0,所以〃(x)在区间(1,2］上递减，而〃⑴=l-21n22al-2x0.48=0.04〉。，

/i(2)=l-81n22«1-8x0.48=-2.84<0,所以存在尤o«l,2),使〃(%)=0.所以g(x)在(1,飞)上大于零，在

(知2)上小于零.所以g(x)在区间(1,%)上递增，在区间(如2)上递减.而g⑴=0,g(2)=2-22+log22=-l,所

以g(x)在区间0,2］上的最小值为—1,也即log?她的最小值为-1,所以时的最小值为2T=上

乙

故选：A

本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

6.A

【解析】

先求出g（x）的解析式，再求出（加>0）的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数加满足的等式，从

而可求其最小值.

【详解】

/'(X)-Asin12x-^（A丰0）的图象向右平移四个单位长度,

4

（冗冗、Asinf2x-—Y

所得图象对应的函数解析式为g（x）=Asin2x----

\267I3)

(2万、

故=Asin2x-2m----.

\37

令2x—26----=kjrH—%£Z,解得x=ITL-\-----1---9keZ.

329122

因为y=g（X-m）为偶函数，故直线X=o为其图象的对称轴,

令团+导券=0,SZ,故,“=W,1,

5万

因为m>0,故％<—2,当人=一2时，〃%1in=—

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量X做加减，比如把y=/(2x)的图

象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为y=/[2(x-l)]=/(2x-2),另外，如果X=m为正弦型函数

〃x)=Asin3x+e)图象的对称轴，则有八m)=±A,本题属于中档题.

【解析】

由(1+^)(1+%)5=(1+%)5+公(1+x)5,进而分别求出展开式中A-2的系数及展开式中x3的系数，令二者之和等于

-10,可求出实数〃的值.

【详解】

由(1+0x)(1+x)5=(1+x)5+0x(1+x)5,

23

则展开式中x的系数为c；+«C5'=10+5a,展开式中X的系数为c；+aC^=10+10a,

二者的系数之和为(10+5a)+(10a+10)=15a+20=—10,得。=一2.

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

8.B

【解析】

双曲线C的渐近线方程为丫=±2%,由题可知2=tan工=6.

aa3

|辰|

设点F(C,0),则点f到直线y=®的距离为=6解得。=2,

J(后+(-1)2

所以02=〃+加=4+3/=442=4,解得4=1,所以双曲线C的实轴的长为2。=2,故选B.

9.A

【解析】

过圆x2+y2=r2外一点(m,n),

引圆的两条切线，贝!J经过两切点的直线方程为加1+期-尸=0,故选A.

10.A

【解析】

先由题意可得数列伍“｝为等差数列，再根据4+g+/=9,%=8,可求出公差，即可求出生.

【详解】

数列｛an]满足4+*=2%(〃£”),则数列｛an]为等差数列，

•・•4+/+/=9,%=8,

/.3q+3d=9,q+3d=8,

d=—,

2

,521

4=勾+d=o8+—=——,

22

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

11.D

【解析】

设8(%,必)，联立直线与抛物线方程，消去X、列出韦达定理，再由直线％=阳与抛物线的交点求出A

点坐标，最后根据得到方程，即可求出参数的值；

【详解】

解：设3(M，y),。仇,%)，由＜2/，得y-4/2-4m=0,

[y=4x

2

VA=16m+16m＞0，解得加＜一1或加＞0,%=4m，y,y2=-4m.

[x=my_/x

又由，2—4，Wy-4my=0,...〉=()或y=4根，9,

'：\BD\=3\OA\,

22

二(l+m)(^1-y2)"=9(16m4+16机),

又：(x—%)2=(y+%y_4yly2=16m2+16加，

•••代入解得/〃=).

8

故选：D

【点睛】

本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.

12.A

【解析】

列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式

可得结果.

【详解】

金、木、水、火、土任取两类，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，

其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，

所以2类元素相生的概率为2=,，故选A.

102

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的

关键，基本事件的探求方法有（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；（2）树状图法：适合于较

为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（A，g）,（4,鸟）….（4,纥），

再（人,即,（4也）.....（4,耳）依次（4,⑷⑷,纥）…这样才能避免多写、漏写现象的发生.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

试题分析：c=mJ+^=m（l,2）+（4,2）=（m+4,2m+2）,不与。的夹角等于^与5的夹角，所以

a-cb-c7/z+4+4m+44m+16+4m+4

nr=I_i•./=2

同同W向小V20

考点：向量的坐标运算与向量夹角

14.0

【解析】

作出图形，设点/由,%）,则N（—x。，—%）、石（％,0），设点P（%,y），利用点差法得出利用斜

率公式得出进而可得出女MMMP=T，可得出MN，MP,由此可求得cosNWP的值.

【详解】

设点>0,%>0）,则、E（/,0）,设点P（玉，x）,

y2.

,十X）一

则:,两式相减得五二三+（才—%）=0,即华为=一1，

X,22"'%一片2

—+V.=

即%%=0・❷=44=4，

%,-x0%+/0xx-x02

由斜率公式得％=&£=*=3?=5L，•..4=L%NP=L,K%N]=9MNL，•.•爆v%=T，故

乙"o乙"0乙，IZ，，

MN1MP,

因此，cosZ.NMP=0.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

15.252〃

【解析】

设AABE的中心为。-矩形BCDE的中心为。2,过。作垂直于平面ABE的直线4,过。?作垂直于平面BCDE的

直线4,得到直线4与/?的交点。为几何体43CDE外接球的球心，结合三角形的性质，求得球的半径，利用表面积公

式，即可求解.

【详解】

设AA5E的中心为。।,矩形BCDE的中心为02,

过0｝作垂直于平面ABE的直线4,过。2作垂直于平面BCDE的直线/,,

则由球的性质可知，直线《与4的交点。为几何体A6CDE外接球的球心,

取BE的中点E,连接。|P，02F,

由条件得。尸=。2/=3,ZO,FO2=120°,连接。尸，

因为△OFQ三\OFO2,从而00、=373,

连接。4,则Q4为所得几何体外接球的半径，

12

在直角AAOQ中，由QA=6,OO[=373,0A=00;+0}A=27+36=63,

即外接球的半径为R=OA=底,

故所得几何体外接球的表面积为S=4兀R2=252万.

故答案为：252〃.

【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中熟记空间几何体的结构特

征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力与运算求解能力，属于中档试题.

16.1

【解析】

试题分析：在A/WC中，•.•/84。=45。,/48。=90。,8。=100,;.4。=-^-=100底，在AAMC中，

sin45°

vZMAC=75°,ZMCA=60°,/.ZAMC=45°,由正弦定理可得———=———,即AM=100^,解

sinZACMsinZAMCsin60°sin45°

得AM=100百，在放44M/V中，MN=AM-sinZMAN=100>/3xsin60°

=150(m).

故答案为L

考点：正弦定理的应用.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

r2

17.(1)—+/=1(2)直线/过定点，该定点的坐标为(2,-1).

4

【解析】

621

(1)因为椭圆「过点(0,拳)，所以/+寿=1①，

设。为坐标原点，因为乙4用=学，所以=又|8尸|=^/?寿=〃，所以人=』。②,

662

a=2Y2

将①②联立解得，,(负值舍去)，所以椭圆「的标准方程为L+V=1.

b=\4'

⑵由⑴可知8(0,1),设P(X1,yJ,。(马,/2).

V,

将〉=京+〃代入一+y2=1,消去)，可得(l+4-)f+8切X+4/_4=0,

4

则/=(8%)2-4(1+必2)(4〃2-4)=16(必2-〃2+1)>0,西+%=一-"X电=4〃二,

1+4K\+4k2

y-1।y-1x，kxi+〃)一/+x(kx+n)-x2kxix2-1)(石+x)

所以卜祝+kpQ--1----+2--------------------------x-----2------------x—112

中2

~~8kn

+(〃-1)・

1+4-1+4公8%(〃-1)

4〃2-44(〃+1)(〃-1)n+1

1+4〃

所以〃=—2A—1,此时4=16[4公-(-2%-1)2+1]=-64左>0,所以k<0,

此时直线/的方程为y=kx-2k-l,即y=%(x-2)-l,

令x=2,可得.丫=一1,所以直线/过定点，该定点的坐标为(2,-1).

224

18.(1)一r+2-=1；(2)

323

【解析】

(1)将曲线的参数方程消参得到普通方程；

22

(2)写出直线MN的参数方程，将参数方程代入曲线方程工+二=1,并将其化为一个关于，的一元二次方程，根

32

据伊河卜|产川=,「修，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出|PMHPN|的最小值.

【详解】

x=\J3cos0

(1)由曲线C的参数方程「(。是参数)，

y=y/2sin0

2222

可得工+匕=cos2e+sin2e=l,即曲线C的一般方程为工+二=1.

3232

x=-1+/•cosa

(2)直线MN的参数方程为^。为参数)，

y=t-sma

22

将直线MN的参数方程代入曲线土+匕=1,

32

得2(-l+fcosa)~+3(/sina『=6,整理得(3-cos%)•r-4cosai-4=0,

设M,N对应的对数分别为4，t2,则1PMM=a4.,

当cosc=0时，归例卜|「'|取得最小值为g.

【点睛】

该题考查的是有关参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，直线的参数方程的应用，属于简

单题目.

9

19.(1)2；(2)-

2

【解析】

分析：(1)将/(%)=|%+。|+|2%-。|转化为分段函数，求函数的最小值

(2)分离参数，利用基本不等式证明即可.

详解：(I)证明：2

2

-3%—Q+〃,X<—Q

b

~x+a+4—a<x<］，显然f(x)在上单调递减，在上单调递增,

2

..h

3x+a一仇犬〉一

2

b=。+"1=1,即2a+b=2.

所以/(x)的最小值为了

.1

(n)因为。+力2sb恒成立，所以幺丁之，恒成立,

ab

a+2〃121

----2—I———

abba2

7n+?hQ

当且仅当a=b=；时，幺f取得最小值;，

3ab2

99

所以即实数，的最大值为7.

22

点睛：本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用，第二问恒成立问题分离参数，利用基本不等式求解

很关键，属于中档题.

20.（I）1636人；（II）见解析.

【解析】

（I）根据正态曲线的对称性，可将区间（47,86）分为（47,60）和（60,86）两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出

成绩在区间（47,86）内的概率，进而可求出相应的人数；（H）由题意得成绩在区间［61,80］的概率为w，且

X~8（3,|1,由此可得X的分布列和数学期望.

【详解】

（I）因为物理原始成绩J〜N（6O,132）,

所以P（47<专<86）=P（47<J<60）+P（60V。<86）

=1P（60-13<^<60+13）+1P（60-2X13<^<60+2x13）

0.6820.954

=-------+--------

22

=0.818.

所以物理原始成绩在（47,86）的人数为2000x0.818=1636（人）.

2

（H）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间［61,80］内的概率为二.

所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为0,1,2,3,且X~,

所以P（X=0）=

P（X=2）=C；.

5125

（2丫8

尸(X=3)=

$125

所以X的分布列为

X0123

2754368

P

Y25125125125

所以数学期望E（X）=3x|=1.

【点睛】

（D解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时

注意结合正态曲线的对称性.

（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望.当被抽取的总体的容量较大

时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布.

21.（