新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册习题：综合练六

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专题综合练六(6.2-6.3)

(60分钟100分)

一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对得5分，选对但

不全的得3分，有选错的得0分)

x

1.已知函数f(x)=3-,对任意的Xi,X2,且Xi<X2,则下列四个结论

中，不一定正确的是()

A.f(xi+x2)=f(xi)-f(x2)

B.f(xi-x2)=f(xi)+f(x2)

C.(Xi-x2)[f(xi)-f(x2)]<0

+X2)f(Xi)+f(X2)

D.f-~~-<-------s---------

I2)2

-(X1+x2)

选B.对于A,f(xi+x2)=3=

-X1-X2

3•3=f(xi)-f(x2),故A一定正确；

-X1X2

对于B,f(xrx2)=3,f(Xi)+f(X2)=3—&+3-X2,

f(xrx2)=f(Xi)+f(X2)不一定成立，故B不一定正确；

对于c,因为f(x)=3-X为减函数，故满足

(X1-x2)[f(xi)-f(x2)]<0,故C一定正确；

__，二ULI、/(X1)+f(X2)3f+3交2

对于D,因为X1<X,所以-------5——J=--一>

222

・3-叼=五。…)=3一号]，故D一定正确.

2k2J

2.已知点(2,8)在幕函数f(x)=xn的图象上，设a=《孝|,b=f(lnn),

©=帽，则a,b,c的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.a<c<b

选D.由已知得：8=211,解得n=3,所以f(x)=x3,因为坐<1,坐

<1,In7i>lne=1,

也近25-3碑VT2-V18

又3.2—6—6

由f(x)=x3在R上递增，可得：

<f(ln71),所以a<c<b.

3已知函数f(x)=x,-3若f(x-l)>f(x)，则x的取值范围是(

C.历，+叼D.[”，+叼

选A.由题意f(-x)=-x(2-x-2X)=x，x-/J=g)，f(x)是偶函数，

设XI>X2N0,贝!]2%>2*2空，

所以《<5,2厂/>2叼-5>0,

1A(

所以％2X1-->x2X2

2口921

所以f(x)在［0，+8)上是增函数,

由f(x-l)>f(x)彳导f(|x-l|)>f(|x|),

所以|x-l|>|x|,(x-l)2>x2,解得x<；.

1

4.下列函数中其定义域和值域分别与函数y=2-x”的定义域和值域

相同的是()

A.y=3xB.y=Inx

C.y=210g2XD.y=2X

i

选C.因为函数y=2-x2的定义域为(0,+8),值域为(0,+oo),A

中y=3x的定义域为R,故不符合；B中y=Inx的值域为R,故不

符合；C可化为y=x(x>0),C的定义域和值域都为(0,+8),故符

合；D中定义域为R,故不符合.

-x2+(2a-3)x+3a,x<0

5.已知函数f(x)=1,(a>0且aWl)是R

[loga(X+1)+6,x>0

上的单调函数，则a的取值范围是()

A.(1,2]B.I，+j

「3](3-

C.2»2D.11,2

选C.由题意，函数f(x)二

f-x2+(2a-3)x+3a,x<0,

\(a>0且a丹)是R上的单调函数，则

[10ga(X+1)+6,X>0

a>l,

满足《,解得|<a<2.

、3a01ogal+6

[22x-1+3,x<0

6.设函数f(x)=1，若f(a)=4,则实数a的值为()

[1-log2x,x>0

选B.因为f(a)=4,所以22a-1+3=4‘或1-少=4'所以

a<0〔a〉0

]a=3,或]a=R

la<0la>0

所以a=<.

o

7.(多选)设"x,x£R,贝！］的是()

A.奇函数且在(-8,0)上是增函数

B.偶函数且在(-8,0)上是增函数

C.奇函数且在(0,+刈上是减函数

D.偶函数且在(0,+勾上是减函数

选BD.依题意，得f(-x)二V=由因=f(x),所以3是偶函

数.当x>0时，f(x)=由因叫X，该指数函数是减函数；当x<0

时，f(x)=由因=由X=,该指数函数是增函数.

8.(多选)若函数f(x)=ex-e2-x,则下列叙述正确的是()

A.f(x)在(-00,+8)上单调递增

B.f(x)的值域为(0,+8)

C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称

D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称

选AD.对于A,因为y=ex在(--,+oo)上单调递增,y=-e?-x在(-

8,+⑹上单调递增，所以f(x)在(-8,+⑹上单调递增，故A正确；

对于B,f(0)=l-e2<0,故B错误；对于C,f(0)=1-e2,f(2)=e2

-1,f(0)Wf(2)，所以y=f(x)的图象不关于直线x=1对称，故C错误；

对于D,因为f(l+x)=e1+x-e1-x,f(l-x)=e1-x-e1+x,所以f(l+

x)+f(l-x)=0,则y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,故D正确.

log2(x-1),x>l,

9.(多选)(2021.临沂高一检测)已知函数f(x)=\n*

旧，xSl，

下列结论正确的是()

A.若f(a)=1,则a=3

B.2020

C.若f(a)>2，则aS-1或a>5

D.若方程f(x)=k有两个不同的实数根，则k〉g

选BC.对于A：由f(a)=1,

fa>l,aS]，

得1或〃1地解得a=3或a=0,故A错误；

[log2(a-1)=1k=1

(2021)「2021八

对于B:\2020j二log\2020-〔J=log22020

二log12020z因为10gl2020<0,

22

(1\logj2020

12

所以=f(logi2020)=

2

二2020,故B正确；

a>l,a<l,

对于C：由f(a)>2,得j或《⑴a解得a>5或a<-

[log2(a-1)>2

1,故C正确；

对于D:作出f(x)的图象，如图所示:

又f(l)=|,结合图象可得f(x)=k有两个不同的实数根，即y=f(x)

的图象与y=k的图象有两个交点，所以k>|,故D错误.

二、填空题(每小题5分，共15分)

10.定义区间［X1,X2］的长度为X2-X］,已知函数f(x)=3因的定义域为

［a,b］,值域为［1,9］,则区间［a,b］长度的最小值为.

因为函数f(x)=3因的定义域为［a,b］,值域为［1,9］,又3。=1、32=

3|2|=9,所以0引a,b］.2和-2至少有一个属于区间［a,b］,故区间［a,

b］的长度最小时为［-2,0］或［0,2］,即区间［a,b］长度的最小值为2.

答案：2

11.已知当x>0时，函数f(x)=(2a-l)x］a〉0,ag|的值总大于1,则

函数y=a2x-x2的单调增区间是________.

因为当x>0时，函数f(x)=(2a-l){a>0,ag］的值总大于1；所以

2a-1>1,即a>l；若令y=a1,t=2x-x2,易知：函数y=小单调递

增，t=2x-x2在x£(-8,1]单调递增，X£[l,+8)单调递减；所

2

以在XW(-00,1]上丫=22*=-单调递增.

答案!(-℃>,1]

Inx,x>l,

12.设函数f(x)=\则f(f(0))=________,若f(m)>l,

[1-x,x<l.

则实数m的取值范围是________.

由题意,f(0)=1-0=1>1,

所以f(f(0))=f(l)=lnl=0；

m>l

若mNl,则彳，解得m>e；若m<l,则

f(m)=Inm>l

m<l

'、1，解得m<0.

f(m)=1-m>l

所以实数m的取值范围是(-8,0)U(e,+oo).

答案：0(-(X),0)U(e,+s)

三、解答题(每小题10分，共40分)

13.已知函数f(x)=logm|^|+j+l(m>0,m#l)的图象恒经过与m无

关的定点A,

(1)求点A的坐标；

(2)若偶函数g(x)=ax2+bx-c,xG[1-2c,c]的图象过点A,求a,b,

c的值.

⑴因为f(x)=logm[|+1]+l(m>0,n#l),

令|+|=1,解得x=1,此时y=1,所以定点为A(1,1).

(2)因为偶函数定义域应关于原点对称.

所以1-2c+c=0.所以c=1.因为g(x)为偶函数.

所以g(l)=g(-1).

所以b=0.所以g(x)=ax2-1.

因为g(x)过A(1,1).

所以g⑴=a-1=1.所以2=2.

综上所述,a=2,b=0,c=1.

14.设函数f(x)=ax+mbx,其中a,m,b£R.

(1)若a=2,b=;且f(x)为R上的偶函数，求实数m的值；

(2)若a=4,b=2且f(x)在R上有最小值，求实数m的取值范围；

(3)a£(0,l),b>l,解关于x的不等式f(x)>0.

xm

(l)f(x)=2x+mgj,所以f(l)=2+y

=f(-1)=2+2m,

所以1,检验，此时f(x)=2X+国,

f(-X)MX+2x,

所以f(-X)=f(x),f(x)为偶函数,所以m=1.

(2)f(x)=4X+mi,令t=2x>0,

则g(t)=t2+mt在(0,+8)上有最小值，

所以-号〉。得m<0.

(3)f(x)=ax+mbx>0,所以ax>-mbx,

所以点='>-m,因为a£(0,1),b>l,所以年e(0,1).①-m

<0,即m>0,解集为R；

②-m>0,即m<0,解集为(-8,log^(-m)).

b

15.已知函数f(x)=loga(l-ax)(a>0且a#l).

⑴若a〉l,解不等式f(x)<0.

(2)若函数f(x)在区间(0,2］上单调递增，求实数a的取值范围.

(1)因为a>l,loga(l-ax)<0,

所以loga(l-ax)<logal,所以0<1-ax<l,所以-1<-ax<0,解得

0<x<a".

所以a>l时，不等式的解集为卜［<x<3.

(2)因为关于x的函数f(x)在区间(0,2］上单调递增，而t=1-ax在区

0<a<l,

间（。，2］上单调递减，所以—且t〉。.再由，解得

0<a<；,则实数a的取值范围为10,3.

h(x)+n

16.已知定义域为R的函数f(x)二———一是奇函数，h(x)为指

数函数且h(x)的图象过点(2,4).

⑴求f(x)的表达式；

(2)若对任意的t£[-1,1].不等式f(t2-2a)+

f(at-1巨0恒成立，求实数a的取值范围.

⑴由题意,设h(x)=ax,因为h(x)过点(2,4)，可得a2=4,解