高中数学《平行关系的判定》导学案

第一章立体几何初步

DIYlZHANG§5平行关系

5.1平行关系的判定

［学习目标］1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.

会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行

的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平

面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.

课前自主学习

【主干自填】

1.直线与平面位置关系的表示

文字语言符号语言

直线a与平面a平行a//a

直线。与平面a相交aAa=A

直线a在平面a内aa

2.直线与平面平行的判定定理

文字语言图形语言符号语言

若回平面外一条直线与a至a

的此平面内的一条直线平Q〃

£〃装=Qa

行，则该直线与此平面平行现〃。

3.平面与平面平行的判定定理

文字语言图形语言符号语言

园a呈a

如果一个平面内有两

/位^基a

条网相交直线都画平

置于另一个平面，则两

%/颐〃独〃3

平面平行

【即时小测】

1.思考下列问题

(1)一条直线与一个平面的位置关系有哪几种？

提示：有三种位置关系如下图：直线a在平面a内(记作aa),直线。与平

面a相交(记作aCla=A),直线a与平面a平行(记作a//a).

(2)如下图，平面a外的直线a平行于平面a内的直线尻这两条直线共面吗？

直线a与平面a相交吗？

提示：两条直线共面，直线a与平面a不相交.

(3)因为两条相交直线确定唯一一个平面，这启示我们尝试用两条相交直线来

讨论平面的平行问题.当三角板的两条边或课本的两条相交边所在直线分别与桌

面平行时，情况又如何呢？

提示：当三角板的两条边或课本的两条相交边所在直线分别与桌面平行时，

这个三角板或课本所在平面与桌面平行.

符号表示：a[i,b[i,aOh=P,

a//a,b//a^a//p.

图形表示如图.

2.若A是直线机外一点，过A且与加平行的平面（）

A.存在无数个B.不存在

C.存在但只有一个D.只存在两个

提示：A

3.圆柱的两个底面的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.平行或异面D.相交或异面

提示：B

4.若a,〃是异面直线，过〃且与a平行的平面（）

A.不存在B.存在但只有一个

C.存在无数个D.只存在两个

提示：B如右图所示，

。、。是异面直线，在上任取一点P,过P作a'//a,：.a'与。确定平面

a.由于两条相交直线仅确定一个平面，故a是唯一的.

课堂互动探究

题型一线面平行判定定理

例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA

的中点.

求证：(1)E”〃平面BCD；

(2)8。〃平面EFGH.

［证明］(1)VE,H为AB,A。的中点，J.EH//BD.

，：EHW平面8c。，BD平面BCD,

二.EH〃平面BCD.

(2)'：BD//EH,BD里平面EFGH,EH平面EFGH,

〃平面EFGH.

类题通法

(1)利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知

直线平行的直线.

(2)证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线

段成比例定理、平行公理等.

［变式训练1］如图，四边形ABC。是平行四边形，S是平面A8CD外一点,

M为SC的中点，求证：SA〃平面MDR

证明连接AC交3。于。点

s

连接OM.

为SC的中点，。为AC的中点,

：.OM//SA.

,：0M平面MOB,SA里平面MDB,

：.SA〃平面MDB.

►题型二面面平行的判定定理

例2如图，在长方体A3CD-A'B'CD'中，求证：平面C'。3〃平面

AB'D'.

［证明］-：AB^CD^D'C,

二四边形ABC'D'是平行四边形，

：.BC'//AD'.

又,：BC'2平面AB'D',AD'呈平面AB'D',

：.BC〃平面A8'.同理C'。〃平面AB'D',

:BC'nczD=C,

二平面CDB〃平面AB'D'.

类题通法

(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一

个平面.

(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在

一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.

［变式训练2］如图，已知三棱锥P-ABC中，D,E,b分别是％,PB,PC

的中点，求证：平面OEF〃平面ABC

证明在△雨B中，因为O,E分别是勿，的中点，所以£>E〃AB,

又知。E旻平面ABC,因此£>E〃平面ABC,

同理EF〃平面ABC.

又因为所以平面OEE〃平面ABC

>题型三线线、线面、面面平行的综合应用

例3如图，在正方体ABCO-AiBiGOi中，5是的中点，E、F、G分

别是BC、DC.SC的中点，求证:

(1)直线EG〃平面BDDiBi；

(2)平面EFG〃平面BDDiBi.

［证明］⑴如图，连接SB,

,:E、G分别是BC、SC的中点,

J.EG//SB.

火,：SB平面8。。出，

EG里平面BOD血，

二直线EG〃平面BDD\B\.

(2)连接SD,

:F、G分别是。C、SC的中点，.'.FG//SD.

八,：SD平面FG至平面出，

〃平面BDD\B\.

•：EG平面MG,FG平面EFG,EGCFG=G,

二平面EFG〃平面BDD\B\.

类题通法

要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且

与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平

面内找与已知直线平行的直线，即：

线面平阳线面|面面工行

|面面平行

线线平行施送I平行I而礁

［变式训练3］如图，在正方体ABCO-AiBiGDi中，E,F,G分别是CB,

CD,CG的中点，求证：平面4BQ〃平面EFG

证明如图，连接3D

,:E、F分别为BC、C。的中点，

:.EF〃BD.又BD〃B\D\,：.EF//B\D\.

又,：EF生平面ABOi,B\D\平面ABIDI,

...E/〃平面ABiDi,

同理可得EG〃平面ABD,

又；EFCEG=E,EF、EG平面E尸G,

二平面ERG〃平面AB\D\.

培优部落

易错点＞＞不能全面考虑空间问题

［典例］设P是异面直线。）外的一点，则过点P与都平行的平面（）

A.有且只有一个B.恰有两个

C.没有或只有一个D.有无数个

［错解］如图所示，过点尸作ai〃a,.,.过m,6有且

只有一个平面.故选A.

/

［错因分析］错解对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面的分析，

只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形.事实上，当直线。（或6）与点P确定的平

面恰与直线久或。）平行时，与a,b都平行的平面就不存在了.

［正解］C

课堂小结

1.判定直线与平面平行的方法

（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行;

（2）判定定理：（线线平行今线面平行），

a至a'

b紧a}=aIIa.

a//b,

2.用定理证明线面平行时，在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形

的中位线、平行线的判定等来完成.

3.证明面面平行的方法

(1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平

面，那么这两个平面平行；

(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.

|随堂巩固训练|

1.过直线/外两点，作与/平行的平面，则这样的平面()

A.不可能作出B.只能作出一个

C.能作出无数个D.上述三种情况都存在

答案D

解析设直线外两点为A、B,若直线A8〃/,则过A、8可作无数个平面与

/平行；若直线A3与/异面，则只能作一个平面与/平行；若直线与/相交，

则过A、8没有平面与/平行.

2.若直线/不平行于平面a,且a,则()

A.a内的所有直线与/异面

B.a内不存在与/平行的直线

C.a内存在唯一的直线与/平行

D.a内的直线与/都相交

答案B

解析直线/不平行于平面a,且/基a,所以/与a相交.故选B.

3.能保证直线a与平面a平行的条件是()

A.ba,a//b

B.ba,c//a9a//h,a//c

C.ba,A、BGa,C、D^h,SLAC=BD

D.a里a,ba,a//b

答案D

解析A错误，若ba,a//b,则a〃a或aa；B错误，若a,c//a,

a//b,a//c,则a〃a或aa；C错误，若满足此条件，则a〃a或aa或a与

a相交；根据线面平行的判定定理可知D正确.

4.在正方体EFG"-EiQGi"i中，下列四对截面彼此平行的一对是（）

A.平面EiFGi与平面EG"i

B.平面fHGi与平面BHiG

C.平面厂与平面F"Ei

D.平面EiHGi与平面EH\G

答案A

解析如图，〃屈Gi,EG至平面EiFGi,E\G\平面E1FG1,

二.EG〃平面EiFGi,

入G\F"H\E,同理可证HiE〃平面E1FG1,

又HiECEG=E,

二平面EiFGi〃平面EGH\.

|课后课时精练|

时间：25分钟

1.已知两条相交直线a,b,a//a,则〃与平面。的位置关系是（）

A.b//aB.人与a相交

C.baD.b〃。或。与a相交

答案D

解析Vn,6相交，...a,方确定一个平面夕，如果夕〃a,则8〃a,如果夕

不平行于a,则。与a相交.

2.不同直线机、〃和不同平面a、生给出下列命题：

①。\=>m//p；②_mI//n1\,,

m星a]1

…7"基a]a//£1

③「不共面④/；、令inIIB，

暗Im//a]

其中错误的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

答案D

解析由面面平行与线面平行的定义知：①是正确的.

?__

0

B

对于②，〃可能在平面夕内.

对于③，在正方体ABCQ-ABiCiOi中，如图，A4i平面AOOiAi,CCi

平面CDOiC,而44i〃GC,从而4A与CG可确定一个平面44CC即44i,

CC可以共面.

对于④，机可能在平面夕内.故②③④错，选D.

3.如图，在四面体A3CD中，若M,N,P分别为线段AB,BC,CO的中

点，则直线80与平面MNP的位置关系为（）

A.平行B.可能相交

C.相交或8。平面MNPD.以上都不对

答案A

解析因为N,P分别为BC,CD的中尽.：.NP〃BD.又NP平面MNP,

BD至平面MNP,:.BD〃平面MNP.

4.平面a与△ABC的两边AB,AC分别交于点D,E,KAD：DB=AE：EC,

如图所示，则BC与a的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.BCa

答案A

AnA17

解析在△中，方=育，：.DE//BC.

ABCUD£SC

,:DEa,BC生a,1.BC〃平面a.

5.直线/〃平面a,直线“2〃平面a,直线/与根相交于点P,且/与机确定

的平面为夕，则a与4的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.异面D.不确定

答案B

解析因为/a〃z=P,所以过/与，"确定一个平面夕.又因/〃a,"?〃a,l^m

=P,所以4〃a.

6.一条直线/上有相异三个点A、8、C到平面a的距离相等，那么直线/

与平面a的位置关系是（）

A.I//aB./_La

C./与a相交但不垂直D./〃a或/a

答案D

解析/〃a时，直线/上任意点到a的距离都相等，Ia时，直线/上所有

的点到a的距离都是0；/La时，直线/上有两个点到a的距离相等；/与a斜交

时，也只能有两点到a的距离相等.

7.已知不重合的直线a,8和平面a.给出下列命题:

①若a〃a,ba,则a〃/?；

②若a〃a,b//a,则a〃b；

③若a〃匕，ba,则a〃a；

④若a〃。，a//a,则匕〃a或。a.

其中正确的是（填序号）.

答案④

解析①若。〃a,ba,则a,〃平行或异面；

②若a〃a,b//a,则a,。平行或相交或异面；

③若a〃匕，ha,则a〃a或aa.

④正确.

8.对于平面a与平面夕，