专题6-3 方程思想解题技巧（考题猜想10种技巧）原卷版-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（人教版）

专题6-3方程思想解题技巧（考题猜想，10种技巧）技巧1：方程思想在证三角形形状中的应用【例题1】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为（

）A． B．C． D．【变式1】（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在中，给出以下4个条件：①；②；③；④．从中任取一个条件，可以判定出是直角三角形的有．（填序号）【变式2】（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，于点F．

(1)若，求的长；(2)若，求证：为直角三角形．【变式3】（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于两点，，，直线与直线交于点．

(1)求直线的解析式；(2)判断的形状，并说明理由；(3)动点在直线上，动点在直线上，当以为顶点的四边形是平行四边形时，求两点的坐标．技巧2：方程思想在求阴影部分的面积中的应用【例题2】（2024春•南宁期中）如图，长方形中，，，将该矩形沿对角线折叠．（1）求的长；（2）求阴影部分的面积．【变式1】（20-21八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于．若，，求图中阴影部分的面积．【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折，A与点C重合，折叠后在其一面着色．(1)求的长；(2)求图中阴影部分的面积．【变式3】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点与重合，与重合，若长方形的长为8，宽为4，(1)求的长；(2)求阴影部分的面积．技巧3：方程思想在探究线段相等的条件中的应用【例题3】（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．过点作于点．在点的运动过程中，当为时，能使．【变式1】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒3个单位的速度向右运动.设点的运动时间为.过点作于点.在点的运动过程中，当为时，能使？【变式2】（20-21八年级下·湖北武汉·期中）如图，在▱ABCD，AB＝2cm，BC＝16cm，∠A＝45°、点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F运动速度为1cm/s，它们同时出发，同时这运动，经过s时，EF＝AB．【变式3】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接．(1)当时，则______；(2)当为以为腰的等腰三角形时，求t的值；(3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？技巧4：方程思想在求线段长中的应用【例题4】（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【变式1】（22-23八年级下·云南昆明·期中）已知等腰的底边，是腰上一点，且，，则的长为．【变式2】（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图，在四边形中，，边的垂直平分线分别交，于点，．若，，，求的长．【变式3】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．(1)如图，连接，求证四边形的菱形；(2)求的长．技巧5：方程思想在求几何中函数解析式的应用【例题5】（22-23八年级下·山东滨州·期末）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料）．设，矩形的面积为．

(1)请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围：(2)怎样围才能使矩形场地的面积为？(3)能否使所围矩形场地的面积为，若能，请算出此时矩形的长与宽，若不能，请说明理由．【变式1】（22-23八年级下·福建厦门·期中）如图1，在正方形（正方形四边相等，四个角均为直角）中，，P为线段上一点，连接，过B作，交于点Q，将沿所在的直线对折得到，延长交于点N．

(1)求证：；(2)若，求的长；(3)如图2，延长交的延长线于点M，若，的面积为s，求s与x之间的函数关系式．【变式2】（2023八年级下·上海·专题练习）已知：如图1，梯形中，，，，，E是直线上一点，联结，过点E作交直线于点F，联结，(1)若点E是线段上一点（与点A、D不重合），（如图1所示）①求证：；②设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域；(2)直线上是否存在一点E，使是面积的3倍，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由．【变式3】（2023八年级下·上海·专题练习）已知：如图1，在线段的同侧作正方形和正方形，连接并延长交于点M，作，垂足为N，交于P．设正方形的边长为1．(1)证明：；(2)设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)如果按照题设方法作出的四边形是菱形，求的长．技巧6：方程思想在解工程问题中的应用【例题6】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）现有一段长为5000米的马路需要整修，由甲、乙两个工程小组先后接力完成，甲工程小组每天整修200米，乙工程小组每天整修250米，共用时22天．设甲工程小组整修马路米，乙工程小组整修马路米，依题意可列方程组（

）A． B．C． D．【变式1】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组．【变式2】（22-23八年级下·吉林·期末）为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：

(1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___；(2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式；(3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式；(4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间．【变式3】（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）某地计划修建一条长48千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天．(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米?(2)已知甲工程队修路费用为20万元/千米，乙工程队修路费用为15万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用低于820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案?哪种方案最省钱?技巧7：方程思想在解实际等距问题中的应用【例题7】（21-22八年级下·河南安阳·阶段练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定【变式1】（22-23八年级下·河南郑州·期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距，C、D为两村庄，，，于点A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求km．【变式2】（22-23八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，公路上A、B两站相距25km，在公路附近有C、D两所学校，于点A，于点B．已知，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两所学校到E的距离相等，则E应建在距点A多远处？【变式3】（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，直线为一条公路，，处有两个村庄，于点，于点，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站，使得到，两个村庄距离相等，请求出此时到的距离．

技巧8：方程思想在求平面直角坐标系中函数解析式的应用【例题8】（2024春•越秀区校级期中）星期六小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，小明所走的路程（米与所用时间（分之间的关系如图所示．（1）小明休息前爬山的平均速度和休息后爬山的平均速度各是多少？（2）求小明休息后爬山中与之间的函数关系式，并计算经过80分钟小明爬山所走的路程．【变式1】（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）“白银号”种子的价格是元，如果一次性购买以上的种子，则超过部分的种子价格打折购买种子所需的付款金额单位：元与购买量单位：之间的函数关系如图所示：

(1)根据图象，写出当购买种子超过时，付款金额单位：元关于购买量单位：的函数解析式；(2)若购买的种子，求付款金额；(3)当顾客付款金额为元时，求此顾客购买了多少种子．【变式2】（22-23八年级下·吉林长春·期中）某人需要经常去复印资料．甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费、两复印社每月的收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题；

(1)乙复印社要求客户每月支付的会员费是______元．(2)求出乙复印社收费y（元）关于复印量x（页）的函数解析式．(3)当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？(4)如果每月复印210页，应选择哪家复印社？【变式3】（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格，图中，分别表示去年、今年水费（元）与用水量之间的关系．(1)分别写出，的函数解析式．(2)小雨家去年用水量为140立方米，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多多少元？技巧9：方程思想在求实际问题中最值的应用【例题9】（23-24八年级上·内蒙古包头·期中）某单位准备和甲乙两个出租公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶x千米，每月应付给甲公司的费用为元，付给乙公司的费用为元，、与x的关系如图，若该单位每月行驶的路程为，为了使费用最少，则应选择（）A．甲公司 B．乙公司 C．甲乙都一样 D．无法确定【变式1】．（2024春•锦江区校级期中）随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售中心决定采购型和型两款新能源汽车，已知每辆型汽车进价是每辆型汽车进价的1.5倍，若用300万元购进型汽车的数量比用240万元购进型汽车的数量少2辆．（1）每辆型和型汽车的进价分别为多少万元？（2）该汽车销售中心购进型和型汽车共20辆，且型汽车的数量不超过型汽车的数量的2倍．已知型汽车的售价为35万元，型汽车的售价为23万元．如何制定进货方案，可以使得销售中心利润最大，请求出最大利润和此时的购进方案．【变式2】（23-24八年级下·福建·期中）为全面贯彻党的教育方针，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某校讦划采购部分篮球和足球，已知1个篮球和2个足球共140元，2个篮球和1个足球共130元．(1)求篮球，足球的单价分别是多少元；(2)该校需购买篮球和足球一共100个，且足球的数量不少于篮球数量的，那么购买篮球和足球各多少个时花费最少？【变式3】（23-24八年级上·山东烟台·期中）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装．经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装．(1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？(2)由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价．求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少．技巧10：方程思想在求统计中“三数”的应用【例题1】（23-24八