误差理论与数据处理答案要点

《误差理论与数据处理》

第一章绪论

1-1.研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答：研究误差的意义为：

(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；

(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真

值的数据；

(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，

得到理想的结果。

误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。

1-2.试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？

答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统

误差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规

律变化(大小和符号都按一定规律变化)；

随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗

大误差的特点是可取性。

1-3.试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。

答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是

“大了”还是“小了”，只是差别量；

绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了

多少，-多少表示小了多少。

(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定

1-5测得某三角块的三个角度之和为180。00’02〃，试求测量的绝对误差和相对误差

解：

绝对误差等于：18000'02〃-180。=2〃

相对误差等于：

__=0.00000308641氏0.000031%

180，、1xnV*6。//

1-6.在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50已知其最大绝对误差为卬叫试

问该被测件的真实长度为多少？

解：绝对误差----测得值一真值，即：AL----L—Lo已知：L=50,△L=lpm----

0.001mm,

测件的真实长度Lo---L—L----50—0.001----49.999(mm)

1-7.用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa,该压力用更准确的办法测得为100.5Pa,

问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？

解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。

故二等标准活塞压力计测量值的误差一一测得值一实际值，

即:

100.2—100.5------0.3(Pa)

1-8在测量某一长度时•，读数值为2.31m,其最大绝对误差为20R/,试求其最大相对误差。

相对误差maxy误差maxxI00%

20X10-6

=------------x100%

2.31

=8.66x10-4%

1-9、解：

4兀2X1.04230

g==9.81053m/s2

2.0480

对g二中）进行全微分,

令h=h+h,并令1g,h,,77代替dg,dh,dr得

4兀避8兀

口"—7273

从而og=Q〃-2卫的最大相对误差为：

0.00005.-0.0005

~-------2x-------

1.042302.0480

=5.3625x10-4%

由g二兀得了二14兀2h

__

丁二：尸！！严二2.04790

由口二-H——2fl—mex,有TTmax{ABS[1（口―a—匚Ig*）],ABS[—

（八min-—"tl~~}

ghTmax2hg2hg

170检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的示

值

误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？

某量程最大示值误差

最大引用误差二xlOO%

测量范围上限

=2x100%=2%<2.5%

100

该电压表合格

1-11为什么在使用微安表等各种表时，总希望指针在全量程的2/3

范围内使用？

答：当我们进行测量时，测量的最大相对误差：

AWS=mAs-%%即’Y=mAs-%%

A4maxA

所以当真值一定的情况下，所选用的仪表的量程越小，相对误差越小，测量越准确。因此

我

们选择的量程应靠近真值，所以在测量时应尽量使指针靠近满度范围的三分之二以上.

1T2用两种方法分别测量Ll=50mm,L2=80mmo测得值各为50.004mm,80.006nm。试评定

两种方法测量精度的高低。

相对误差

L:50mmI;哭岫-50*100%=0.008%

।)50

L：80mm/=80.006—8。义曲%=0.0075%

2280

7/>72所以L2=80mm方法测量精度高。

1-13多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km,优秀射手能在

距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高？

解：

多级火箭的相对误差为：01

-------=0.00001=0.001%

10000

射手的相对误差为：1皿0.01.

=0.0002=0.02%

50m50m

多级火箭的射击精度高。

uR

1-14若用两种测量方法测量某零件的长度Ll=110mm)其测量误差分别为土'm和士9w

而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。其测量误差为±12口加，试比较三种

测量方法精度的高低。

相对误差

I=±=±0.01%

1110mm

=±0.0082%

2110mm

=±0.00%

315Qmm

/3V/2V4第三种方法的测量精度最高

第二章误差的基本性质与处理

2-1.试述标准差、平均误差和或然误差的几何意义。

答：从儿何学的角度出发，标准差可以理解为一个从N维空间的一个点到一条直线的距离

的函数；

从几何学的角度出发，平均误差可以理解为N条线段的平均长度；

2-2.试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差，两者物理意义及实际用途有何不同。

2-3试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率2-4.测量某物体重

量共8次，测的数据(单位为g)为236.45,236.37,236.51,236.34,236.39,

236.48,236.47,236.40,是求算术平均值以及标准差。

0.05+(-0.03)+0.11+(—0.06)+(-0.01)+0.08+0.07+0

x=236.4+------------------------------------------------------------------------

=236.43

(；■一=—==0.0212

*nn

2-5用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算2-4,并比较

2-6测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41,168.54,168.59,

168.40,168.50o试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

-168.41+168.54+168.59+168.40+168.50%=

5

=168.488(mA)

:Z7

・，

。二［《一1=0.082(mA)

0.082

=0.037(mA)

y/n6

或然误差：R=0.6745G=0.6745x0.037=0.025(mA)

平均误差：T=0.7979G-=0.7979x0.037=0.030(/M)

2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据(单位为mm)为20.0015,

20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定

-20.0015+20.0016+20.0018+20.0015+20.0011

测量结果。x=--------------------------------5-------------------------------

=20.0015(mm)

区2

g=0.00025

5-1

正态分布p=99%时，t=2.58

5=±to

limxx

0.00025

=±2.58x------A-v5

=±0.0003(mm)

测量结果:X=x+5,=(20.0015±0.0003)加加

iimA

2—7在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm)为20.0015,

20.0016,20.0018,20.0015,20.0011,若测量值服从正态分布,试以99%的置信概率确

定测量结果。

解：

求1［术平均值£i

i

X=T=\=20.0015wmn

求单次测量的标准差V2……

26x108〜T八

--------------=2.55xlO-4mm

求算术平均值的标准差

。_二二。九2.55x10-4.

〃5^1.14xlO-4mm

确定测量的极限误差

因n=5较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。现自由度为：v=n-l=4；a=1

—0.99=0.01,查t分布表有：ta=4.60

极限误差为

5后士/o.=±4.60x1.14x10-4=5.24x10-4mm

lim

写出最后测量结果^=X+5X=lim

0.0015±5.24x10-4

2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差。二2004〃叫若要求

测量结果的置信限为士。.此〃〃〃，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数。

正态分布p二99%时，t=2.58

2.58x0.004…彳

nn=-----------------=2.064

0.005

n=4.26

取〃二5

2-10用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差。=0.001mm,若要求测量的允许极限

误差为±0.0015mm,而置信概率P为0.95时;应测量多少次？解：根据极限误差的意义，

有

±。=±1=<0.0015

*nn

根据题目给定得已知条件，有

上<%=15

<n—0.001

查教材附录表3有

若n=5,v=4,a=0.05,有t=2.78,

t2.782.78

~==-----=1.24

nn552.236

若n=4,v=3,a=0.05,有t=3.18,

t3.183.18

/二K二~T二g

即要达题意要求,必须至少测量5次。

2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa）为102523.85,102391.30,102257.97,

102124.65,101991.33,101858.01,101724.69,101591.36,其权各为1,3,5,7,8,6,

4,2,试求加权算术平均值及其标准差。

£px.

X='二102028.34（尸。）

£p

尸1

I£PV2

o_=+专氏86.95（a）

x卜8,）£pi1尸1

2T3测量某角度共两次,测得值为\二24336〃，°2二24。13,24”,其标准差分别为

。k3T,02=13.8〃，试求加权算术平均值及其标准差。

p.p—=19044:961

1，262

x=24.13'20"+,9044X16"+96|X4"=24.13,35"19044+961

19044

o=o_3.1”x;x3.0M

；ifP*1OH/1/1J.。41

2-14甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角。各重复测量5次，测得值如下:

a甲：7,2'20”,7.3'0”,7‘2,35”,7。2,20”,7。2'15”;

a乙：72'25"7225",7-220*7.2*50°,7.2'45”;

试求其测量结果。

20"+60"+35”+20M+15"

甲：元甲=7。*二7230

5°

.1'1(-10")2+(30")2+5"2+(-10")2+(-15")2

“甲寸耳「=18.4”

18.4"--

_o甲二二8.23

o;甲二5\：5

—...25"+25"+20"+50"+45")

乙：乙：72'+----------------------------=72'33"

5

(-8")2+(-8〃)2+(一］3“)2+(17〃)2+(12〃)2

3

=13.5"o.=°z=l!"=6.04"p:p==-A：AA=3648:6773

广甲厂乙02028.2326.042

x甲,乙

-pX/S+pX3648X30"+6773x33".......

x=±2—-1乙二二------------------+72'=72'32"

p+p3648+6773。。

o_=o—p甲一=8.23"x:—3648—=4.87

x*甲，p甲+pz33648+6773

X=x±3o-=12'32"±15"

X

2-15.试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测量值的权。

证明：

解：因为n个测量值属于等精度测量，因此具有相同的标准偏差：

n个测量值算术平均值的标准偏差为：°=o/

已知权与方差成反比，设单次测量的权为P1,算术平均值的权为P2,则

11

P:P=­：------=1:nn

X

Pi-nP、

2-16重力加速度的20次测量具有平均值为9.811帆/.$2、标准差为0.014m/.V2o另

外30次测量具有平均值为9.802〃〃S2,标准差为0.022m/S2。假设这两组测量属

于同一正态总体。试求此50次测量的平均值和标准差。

111I

r202210.01412V0.02212

XX2I育JI・J

242义9.811+147*-

cQno工9.808(〃?/s2)

242+147

0.014,242

o_=—xI-------------------x0.0025(m/s2)

x<20\'242+147

2-17对某量进行10次测量，测得数据为14.7,15.0,15.2,14.8,15.5,14.6,

14.9,14.8,15.1,15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差。X=14.96

按贝塞尔公式01=0.2633

严的

按别捷尔斯法…=1.253x.O(j^1)x0.2642

由-2-=1+〃得〃=—2--1=0.0034

OiOi

2

|»|<=0.67所以测量列中无系差存在。

n—1

278对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准

线圈比较得到的，测得结果如下(单位为mH)：

50.82,50.83,50.87,50.89；

50.78,50.78,50.75,50.85,50.82,50.8k

试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。

使用秩和检验法：

排序：

序号12345

第一组

第二组50.7550.7850.7850.8150.82

序号678910

第一组50.8250.8350.8750.89

第二组50.85

T=5.5+7+9+10=31.5查表7=147=30

T>7+所以两组间存在系差

2-19对某量进行10次测量，测得数据为14.7,15.0,15.2,14.8,15.5,14.6,14.9,14.8,

15.1,15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差。元=叱96

按贝塞尔公式0尸°.2633

按别捷尔斯法1=1253x士氏0.2642

<10(10-1)

00

由7・=1+〃得〃=7・-1=0.0034

0,0,

-2-

U<=0.67所以测量列中无系差存在。

n--1

2-20.对某量进行12次测量,测的数据为20.06,20.07,20.06,20.08,20.10,20.12,

20.11,20.14,20.18,20.18,20.21,20.19,试用两种方法判断该测量列中是否存在系统

误差。

解：

⑴残余误差校核法

%=20.125

口二(-0.065-0.055-0.065-0.045-0.025-0.005)-(-0.015+0.015+0.055+0.055+

0.085+0.065)=-0.54

因为显著不为0,存在系统误差。

⑵残余误差观察法

残余误差符号由负变正，数值由大到小，在变大，因此绘制残余误差曲线，可见存在线形系

统误差。

£周

02=1.253》=0.66

O

-2-1+U

O

iou=­1=0.19oi

U<-A===0.603

所以不存在系统误差。

2-22

①莱以特盛则：计募得

ir=3x（MB27=00JKI

IB据董以特徙则，第旧次a（h：值的残余谋羞

M4f=0l04>005>St

®格罗布斯准则1下的M个制3

y=2&.504,仃二也口3rL

按型据耻曲的大小一解序作网附卜，广登如，如・，=*总曳在育工个韶员近?）•町却可忸疑“也

+

?-.\」=2&504-2&4。二（K104

A

升iyi47H2S-2S504=0026

故庖遵先怀蛙阳口是否含有出大误工一

汁科

“修修一

=0.05,,安得，盘｛13。附”川，就

ft=3.!S04>gA15J105）=2.41

〈以『霜量处।：仃招大我小”」.•除

注意「此时不能而推时、《呼)迸行期曲，•次只傕联除•个用港.

■重复上述步骤，判断是否还含有粗差，

•③狄克松准则同理，判断后每次剔除一个粗差后重复.

第三章误差的合成与分配

3-1相对测量时需用"-255nm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基本尺寸

为。=40,74=L0°5叫经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为

m

Ah--0.7/w,/，2=+°3叫Ab=一网,

Al=+0.1pa,6.1=±0.35pm,&1=+0.25p肛&1=+0.20pm,H1=±0.20pw。试求量块组按基本

尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。

修正值二-(A/,+A/2+Ah+A74)

=-(-0.7+0.5-0.3+0.1)

=0.4(ptn)

测量误差：

6=±『62+62+62+62

)%lim%lim%limlim

=±v(0.35)2+(0.25)2+(0,20)2+(0.20R

=+0.51(pm)

3-2为求长方体体积V,直接测量其各边长为a=⑹.6"叫

b=44.5mm，=1。皿，已知测量的系统误差为=L2™",Ab=Q8""",

Ac=0.5mm测量的极限误差为6«=±0.8mm,

6=±0.5mmb6-±o5mm)试求立方体的体积及其体积的极限误差。

V=abc

Vo=abc=161.6X44.5x11.2

=80541.44(mmi)

体积V系统误差AV为：

A.V=bcAa+acA.b+ahA.c

=2745.744(mm3)«2745.74(mm3)

立方体体积实际大小为：展4次/=77795.70(〃司)

4仪舒仪4'大

6=±.;(一)26+(—)26+(一)26

iimVaaaaahhacc

=±7—262+(ac)262+(ab)262abc

-±3729.11(mmi)

测量体积最后结果表示为：

V=Vi)-AV+6u=(77795.7013729.1

3—3长方体的边长分别为ai,a/a3测量时：①标准差均为。：②标准差各为。

2、oso试求体积的标准差。

解：

长方体的体积计算公式为：

一,aVaVaV

体积的标准差应为：Oy.(------)2。2+()202+(-----)202

Yaa1aa2aa3

,]23

aV现可求出：一-aaa

右.：O1-02=。3

:avavav■avavav

0=.(---------)2O2+(--------------)2O2+(----------)2O2=O：(--------)2+(------------)2+(-一.)

vaa1aa2aa3aaaaa。

/I23,123

=0[(a4)2+(。Q)2+(。Q)2

若：0,WO2WO3

则有：。二J(Q〃)2。2+(QQ)2。2+(QQ)2。2串2231132123

3-4测量某电路的电流,=22.5妨，电压U=12.6"测量的标准差分别为。,.=0.5〃乂

。(/二°7求所耗功率P=U及其标准差与。P=U[=12.6*22.5=283.5(〃而

P=f(U,I)U、/成线性关系/.P(//=1

0=：(工202+(/)202+2(/)(/')00

paaUuaz；aUa/u

a/a/...................

=o+—o=/o+t/o=22.5X0.1+12.6x0.5aUuatIUI

=8.55(mw)

3.9,测量某电路电阻R两端的电压U,按式l=U/R计算出电路电流，若需保证电流的误差为

0.04A,试求电阻R和电压U的测量误差为多少？

解：在I=U/R式中，电流I与电压U是线性关系，若需要保证电流误差不大于0.04A,则要保证电压的误差也不大

于0.04xRo

3-12按公式V=nr2h求圆柱体体积，若己知r约为2cm,h约为20cm,要使体积的相对误差

等于1%,试问r和h测量时误差应为多少？

解：

若不考虑测量误差，圆柱体积为

v=JL,n-h-3.14x22x20=251.2ctn^

根据题意，体积测量的相对误差为1%,即测定体积的相对误差为：

o

-=1%V

即0=u.1%=251.2X1%=2.51

现按等作用原则分配误差，可以求出

测定r的误差应为：

0=---------------------=A77.=0.007cm

r<2av/ar1.412兀hr

测定h的误差应为：

012.511

o=------=-----------=0.142cm

h<2av/ah1.417L-n

3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位g)为428.6,429.2,426.5,430.8。

已知测量的已定系统误差△:一2.6g•测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表

所

若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。

极限误差/g

序号误差传递系数

随机误差未定系统误差

12.1—1

2——1.51

3—1.01

4—0.51

54.5—1

6——2.21.4

71.0—2.2

8—1.81

_428.6+429.2+426.5+430.8

X=....................................................

4

=428.775(g)氏428.8(g)

最可信赖值x=X-A=428.8+2.6=431.4(g)

bxT(昙；...P(为2ii

±±±9(g)

测量结果表示为:X=X-A+5X=(431.4士4.9)g

第四章测量不确定度

4一1某圆球的半径为r,若重复10次测量得r±o,=(3.132±0.005)cm,试求该圆球最大

截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99%o

解：①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度

已知圆球的最大截面的圆周为：0=2九”

其标准不确定度应为："=-[O2=,bKbo2=\.4*3.141592*0.0052

(3rJrr

=0.0314cm

确定包含因子。查t分布表tool(9)=3.25,及K=3.25故圆球的最大截面的圆周的测量

不确定度为：

U=Ku=3.25X0.0314=0.102

②求圆球的体积的测量不确定度

圆球体积为：V=3•九•，3

其标准不确定度应为：

〃=if些TO2=4•兀.郎02二,16*3.141592*3.132义0.0052：0.616

"％jrr

确定包含因子。查t分布表to(9)=3.25,及K=3.25最后确定的圆球的体积的测量不确

定度为

U=Ku=3.25X0.616=2.002

4-2.望远镜的放大率D=fl/f2,已测得物镜主焦距fl±a1=(19.8±0.10)cm,目

镜的主焦距f2土02=(0.800±0.005)cm,求放大率测量中由fl、f2引起的不

确定度分量和放大率D的标准不确定度。

4-3.测量某电路电阻R两端的电压U,由公式I=U/R计算出电路电流I,若测得

U±ou=(16.50±0.05)V,R±oR=(4.26±0.02)Q、相关系数pUR=-O.36,试

求电流I的标准不确定度。

4-4某校准证书说明，标称值10。的标准电阻器的电阻R在20C时为10.0007@塞12

9O(P=99%),求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的

不确定度。

••一由校准证书说明给定

,属于B类评定的不确定度

-R在［10.000742c-129闷，10.000742。+129闷］范围内概率为99%,不为100%

,不属于均匀分布，属于正态分布

a=129当p=99%时，Kp=2.58

a129

=50（闷）

KP2.58

4-5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而

成，其尺寸分别是：＜=40mm,12=,h=2.5mm,量块按“级”使用，经查

手册得其研合误差分别不超过土°户-加、±。3。四加、士。.25四也(取置信概率P=99.73%

的正态分布)，求该量块组引起的测量不确定度。L-52.5mmI-AQmm\

\Qmm1—2.5mm

p-99.73%Kp-3

U~~—一0.15(@ni)U---------0.10(@ni)

ak3ak3

pP

U--------------J―§--0.08(Sm)

13k3P

UL=<U(+UI+U3-<0,152+O.IO2+O.O82

-0.20(§in)

第五章线性参数的最小二乘法处理

3x+y-2.9

5-］测量方程为P-2y-0.9试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。误差方程为2x-3y-

1.9

北-2.9-(3x+y)

<v-0.9-(x-2y)

v-1.9-(2x-3y)

列正规方程乳XZ=1日代入数据得

i2il+Zaay-Zal

i~\

14.凡4解得卜0-962

-5x+14y--4.61y-0.015

v-2.9-(3x0.962+0.015)-0.001

将x、y代入误差方程式卜：=0.9-(0.962-2x0.015)--0.032；-

1.9-(2x0.962-3x0.015)-0.021

3

Zv2

测量数据的标准差-0.038

为。寸n-7

14d・5d=1

dd-5d+14dz10

求解不定乘数udd1112

\4d-5d=0

-5d+14d=1

2122

解得小户J22=0.082

\y的精度分另i］为。x=O47=0.°i

x-3y--5.6,p

二1

5-7不等精度测量的方程组如下：〈4x+y=8.1,p二

2

2x-y-0.5,p-3

3

试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。

%―5.6-(x-3y1P/-1列误差方程\u・

8.1-(4x+yip-2

v=0.5-(2x—y),p=3

£paax+£paay-£palm