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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下图是民航部门统计的某年春运期间,六个城市售出的往返机票的平均价格(单位元),以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图,以下叙述不正确的是()A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B.天津的往返机票平均价格变化最大C.上海和广州的往返机票平均价格基本相当D.相比于上一年同期,其中四个城市的往返机票平均价格在增加2.已知纯虚数满足,其中为虚数单位,则实数等于()A. B.1 C. D.23.已知全集,集合,,则()A. B. C. D.4.已知,是函数图像上不同的两点,若曲线在点,处的切线重合,则实数的最小值是()A. B. C. D.15.若直线与曲线相切,则()A.3 B. C.2 D.6.已知函数,若函数在上有3个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.7.是虚数单位,则()A.1 B.2 C. D.8.已知等比数列满足,,则()A. B. C. D.9.函数f(x)=lnA. B. C. D.10.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为,则该三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.11.设集合,,则集合A. B. C. D.12.已知点是双曲线上一点,若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如果函数(,且,)在区间上单调递减,那么的最大值为__________.14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,点P是上底面15.设平面向量与的夹角为,且,,则的取值范围为______.16.若实数,满足不等式组,则的最小值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.已知点的直角坐标为,过的直线与曲线相交于,两点.(1)若的斜率为2,求的极坐标方程和曲线的普通方程;(2)求的值.18.(12分)在平面直角坐标系中,已知点,曲线:(为参数)以原点为极点,轴正半轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(Ⅰ)判断点与直线的位置关系并说明理由;(Ⅱ)设直线与曲线的两个交点分别为,,求的值.19.(12分)已知.(1)若的解集为,求的值;(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.20.(12分)一种游戏的规则为抛掷一枚硬币,每次正面向上得2分,反面向上得1分.(1)设抛掷4次的得分为,求变量的分布列和数学期望.(2)当游戏得分为时,游戏停止,记得分的概率和为.①求;②当时,记,证明:数列为常数列,数列为等比数列.21.(12分)已知分别是椭圆的左、右焦点,直线与交于两点,,且.(1)求的方程;(2)已知点是上的任意一点,不经过原点的直线与交于两点,直线的斜率都存在,且,求的值.22.(10分)在中,角的对边分别为,且,.(1)求的值;(2)若求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析,由此得出叙述不正确的选项.【详解】对于A选项,根据折线图可知深圳的变化幅度最小,根据条形图可知北京的平均价格最高,所以A选项叙述正确.对于B选项,根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大,所以B选项叙述正确.对于C选项,根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当,所以C选项叙述正确.对于D选项,根据折线图可知相比于上一年同期,除了深圳外,另外五个城市的往返机票平均价格在增加,故D选项叙述错误.故选:D【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析,属于基础题.2、B【解析】
先根据复数的除法表示出,然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可.【详解】因为,所以,又因为是纯虚数,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值,难度较易.若复数为纯虚数,则有.3、B【解析】
直接利用集合的基本运算求解即可.【详解】解:全集,集合,,则,故选:.【点睛】本题考查集合的基本运算,属于基础题.4、B【解析】
先根据导数的几何意义写出在两点处的切线方程,再利用两直线斜率相等且纵截距相等,列出关系树,从而得出,令函数,结合导数求出最小值,即可选出正确答案.【详解】解:当时,,则;当时,则.设为函数图像上的两点,当或时,,不符合题意,故.则在处的切线方程为;在处的切线方程为.由两切线重合可知,整理得.不妨设则,由可得则当时,的最大值为.则在上单调递减,则.故选:B.【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了推理论证能力,考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出和的函数关系式.本题的易错点是计算.5、A【解析】
设切点为,对求导,得到,从而得到切线的斜率,结合直线方程的点斜式化简得切线方程,联立方程组,求得结果.【详解】设切点为,∵,∴由①得,代入②得,则,,故选A.【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,直线方程的点斜式,属于简单题目.6、B【解析】
根据分段函数,分当,,将问题转化为的零点问题,用数形结合的方法研究.【详解】当时,,令,在是增函数,时,有一个零点,当时,,令当时,,在上单调递增,当时,,在上单调递减,所以当时,取得最大值,因为在上有3个零点,所以当时,有2个零点,如图所示:所以实数的取值范围为综上可得实数的取值范围为,故选:B【点睛】本题主要考查了函数的零点问题,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于中档题.7、C【解析】
由复数除法的运算法则求出,再由模长公式,即可求解.【详解】由.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法和模,属于基础题.8、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,选B.9、C【解析】因为fx=lnx2-4x+4x-23=10、C【解析】
作出三棱锥的实物图,然后补成直四棱锥,且底面为矩形,可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球,然后计算出矩形的外接圆直径,利用公式可计算出外接球的直径,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥的实物图如下图所示:将其补成直四棱锥,底面,可知四边形为矩形,且,.矩形的外接圆直径,且.所以,三棱锥外接球的直径为,因此,该三棱锥的外接球的表面积为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积,解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图,并分析三棱锥的结构,选择合适的模型进行计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.11、B【解析】
先求出集合和它的补集,然后求得集合的解集,最后取它们的交集得出结果.【详解】对于集合A,,解得或,故.对于集合B,,解得.故.故选B.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查对数不等式的解法,考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是:先将二次项系数化为正数,且不等号的另一边化为,然后通过因式分解,求得对应的一元二次方程的两个根,再利用“大于在两边,小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.12、A【解析】
设点的坐标为,代入椭圆方程可得,然后分别求出点到两条渐近线的距离,由距离之积为,并结合,可得到的齐次方程,进而可求出离心率的值.【详解】设点的坐标为,有,得.双曲线的两条渐近线方程为和,则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,所以,则,即,故,即,所以.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率,构造的齐次方程是解决本题的关键,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、18【解析】
根据函数单调性的性质,分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【详解】解:①当时,,在区间上单调递减,则,即,则.②当时,,函数开口向上,对称轴为,因为在区间上单调递减,则,因为,则,整理得,又因为,则.所以即,所以当且仅当时等号成立.综上所述,的最大值为18.故答案为:18【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的单调性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.14、π.【解析】
设三棱锥P-ABC的外接球为球O',分别取AC、A1C1的中点O、O1,先确定球心O'在线段AC和A1C1中点的连线上,先求出球O【详解】如图所示,设三棱锥P-ABC的外接球为球O'分别取AC、A1C1的中点O、O1由于正方体ABCD-A则△ABC的外接圆的半径为OA=2设球O的半径为R,则4πR2=所以,OO则O而点P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此,点P所构成的图形的面积为π×O【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关问题,根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹,属于中档题.15、【解析】
根据已知条件计算出,结合得出,利用基本不等式可得出的取值范围,利用平面向量的数量积公式可求得的取值范围,进而可得出的取值范围.【详解】,,,由得,,由基本不等式可得,,,,,因此,的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围,考查计算能力,属于中等题.16、5【解析】
根据题意,画出图像,数形结合,将目标转化为求动直线纵截距的最值,即可求解【详解】画出不等式组,表示的平面区域如图阴影区域所示,令,则.分析知,当,时,取得最小值,且.【点睛】本题考查线性规划问题,属于基础题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1):,:;(2)【解析】
(1)根据点斜式写出直线的直角坐标方程,并转化为极坐标方程,利用,将曲线的参数方程转化为普通方程.(2)将直线的参数方程代入曲线的普通方程,结合直线参数的几何意义以及根与系数关系,求得的值.【详解】(1)的直角坐标方程为,即,则的极坐标方程为.曲线的普通方程为.(2)直线的参数方程为(为参数,为的倾斜角),代入曲线的普通方程,得.设,对应的参数分别为,,所以,在的两侧.则.【点睛】本小题主要考查直角坐标化为极坐标,考查参数方程化为普通方程,考查直线参数方程,考查直线参数的几何意义,属于中档题.18、(Ⅰ)点在直线上;见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)直线:,即,所以直线的直角坐标方程为,因为,所以点在直线上;(Ⅱ)根据直线的参数方程中参数的几何意义可得.【详解】(Ⅰ)直线:,即,所以直线的直角坐标方程为,因为,所以点在直线上;(Ⅱ)直线的参数方程为(为参数),曲线的普通方程为,将直线的参数方程代入曲线的普通方程得,设两根为,,所以,,故与异号,所以,,所以.【点睛】本题考查在极坐标参数方程中方程互化,还考查了直线的参数方程中参数的几何意义,属于中档题.19、(1);(2)【解析】
(1)利用两边平方法解含有绝对值的不等式,再根据根与系数的关系求出的值;(2)利用绝对值不等式求出的最小值,把不等式化为只含有的不等式,求出不等式解集即可.【详解】(1)不等式,即两边平方整理得由题意知和是方程的两个实数根即,解得(2)因为所以要使不等式恒成立,只需当时,,解得,即;当时,,解得,即;综上所述,的取值范围是【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题,也考查了分类讨论思想,是中档题.20、(1)分布列见解析,数学期望为6;(2)①;②证明见解析【解析】
(1)变量的所有可能取值为4,5,6,7,8,分别求出对应的概率,进而可求出变量的分布列和数学期望;(2)①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上,分别求出两种情况的概率,进而可求得;②得分分两种情况,第一种为得分后抛掷一次正面向上,第二种为得分后抛掷一次反面向上,可知当且时,,结合,可推出,从而可证明数列为常数列;结合,可推出,进而可证明数列为等比数列.【详解】(1)变量的所有可能取值为4,5,6,7,8.每次抛掷一次硬币,正面向上的概率为,反面向上的概率也为,则,.所以变量的分布列为:45678故变量的数学期望为.(2)①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上,概率的和为.②得分分两种情况,第一种为得分后抛掷一次正面向上,第二种为得分后抛掷一次反面向上,故且时,有,则时,,所以,故数列为常数列;又,,所以数列为等比数列.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望,考查常数列及等比数列的证明,考查学生的计算求解能力与推理论证能力,属于中档题.21、(1)(2)【解析】
(1)不妨设,,计算得到,根据面积得到,计算得到答案.(2)设,,,联立方程利用韦达定理得到,,代入
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