苏教版必修第一册52函数的表示方法随堂练习

【精挑】5.2函数的表示方法随堂练习

一.填空题

1.已知，⑴是定义在R上的函数"6的导函数，且/（x）+/'（x）＞°,则

a=2f（ln2）,人"⑴。=〃°）的大小关系为____

]

2.设函数f（x）=ln（l+|x|）—1+V,则使得f（x）＞f（2x—1）成立的x的取值范围是

3.函数,=_/+4%+3,XG[°，3]的单调递增区间是.

4.已知函数云+c的定义域为。，对于任意的xe。都有

"T）"（*）«/⑴成立，则从+〃3）的值为.

5.已知函数/（*）在R上是偶函数，在（T”'°）中任意取两个不相等的实数再，马,都

有恒成立，若〃2nT＜/（3。-2）,则实数。的取值范

围是.

6.已知函数/（x）T°g2（k—3|+2）—1,则下列命题：①尸Ax-）的最小值是0；②

y=/（x+3）是偶函数；③函数,⑴（2＞有-2个零点；④函数）'=/忖的单调递

增区间是1°'+8），其中正确命题的序号是.

7.自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的

曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程.航

海.光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为

〃x）=ae'+be-'（其中。”是非零常数，无理数e=2.71828）

（1）如果为单调函数.写出满足条件的一-组值：,b=.

（2）如果/（X）的最小值为2,则的最小值为_____.

8.已知函数/（X）是定义在R上的偶函数，且在（一8,0]上是减函数，若1）,

则实数x的取值范围是

X2-2ax+6,%<2,

f（x）=]ac

—9x>2

9.已知函数1X是R上的减函数，则a的取值范围为.

/（x）=T----------（xeR）

10.已知因+2,则不等式/（尸7-3幻</（3》-8）的解集为

（a-2）x—l,x<l

fM=<ax+\]

,x>1/\

11.已知函数1X+1在上单调递增，则实数a的取值范围是

12.已知奇函数/⑴在S'°）为增函数，且/⑵=°,则不等式（x+l）〃x+l）>°

的解集为.

13.若偶函数/（力在（一"‘°】上是增函数，则/（T?.3）."2）的大小关系是

e~x+202Q,x<0

fix)=<

2021,x>0,则满足/，_3)W/(-2x)的x的取值集合为

14.设函数

15.已知奇函数^=/（外在定义域Q巾，帆+3）上是减函数，且/（。_1）+/（2。_1）>0,

则实数〃的取值范围

参考答案与试题解析

1.【答案】c<a〈b

【解析】分析：令g(x)=〃犷，则g'(x)=e[r(x)+〃x)]>。，可以判断出

g(x)="x)e'在R上单调递增，再由"=g(M2),"=g⑴，c=g(°)根据单调性即

可比较大小.

详解：令g(x)=〃x)J则g'(x)=/(x)e'+/(x)，=e'"'(x)+/(x)],

因为/(力+ra)>0对于xeR恒成立，

所以g'(x)=e'"'(x)+/(x)]>°,

所以网力"(x)e”在R上单调递增，

a=2"ln2)=ei”(ln2)=g(ln2)

，

"=4(l)=K〃l)=g⑴

c=〃())=e°/(O)=g⑼

因为0<ln2<l,所以g(0)〈g(ln2)<g⑴,所以。<。<匕,

故答案为：c<a〈b

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是构造函数名(")=/(")J利用导数判断出g(“)在R上单

调递增，更关键的一点要能够得出a=g°n2)a=g(l),c=g(°),根据单调性即可

比较大小.

2.【答案】Q,1J

【解析】分析：判断的奇偶性和单调性，据此等价转化不等式，则问题得解.

1

_J_=ln(l+|-x|)--2=/(-%)

详解：由f(x)=ln(l+|x|)—l+f1+L町，

且其定义域为R,故f(x)为R上的偶函数，

于是f(x)>f(2x-l)即为f(|x|)>f(|2x-l|).

1

当x2O时，f(x)=ln(l+x)—1+x,

y=ln(x+l),y=——r()

1+x在均是单调增函数，

所以f(x)为［0,+8)上的增函数，

则由f(|x|)>f(|2x-l|K^x|>|2x-l|,

两边平方得3X2—4X+1<0,解得3<X<1.

切

故答案为：13)

【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及利用函数性质解不等式，属综合基础题.

3.【答案】［0,2］

【解析】分析：根据二次函数的开口方向以及对称轴即可求解.

详解：解：.・4=-/+以+3的图象开口向下，

又°=一r+4》+3的对称轴为(-1)x2,

•,♦/(X)的单调递增区间是2］.

故答案为：［°，］.

4.【答案】6

【解析】分析：由/(“)4/⑴，可得函数/⑴在尤=1处取到最大值，可求出。的值,

再由/(T)"/(x),根据对称性可得一一+云+。2。的解集为［T，3］,可求出c的值,

进而求出函数解析式，即可得出结果.

详解：由『⑴""I),可得函数/⑺=J2+版+，在％=1处取到最大值,

即y=-x+bx+c的对称轴为2，解得6=2,

又由二次函数的对称性可得，一/+加+。之。的解集为

则一c=—1x3=—3,即c=3,所以/(》)=J-x一+2x+3,

则。.c+/（3）=2x3+（）=6,

故答案为：6.

【点睛】

本题考查复合函数的单调性和二次函数的性质，属于中档题.

3

5.【答案】（1,+a））

【解析】分析：根据题意，得出函数,（"）在区间（Y°'°）单调递减，进而得到函数/（*）

的图象关于y轴对称，把不等式/（2a—2）,化为为|2。-33”2],即可

求解.

详解：由题意，函数在区间S①都有-/⑸k。恒成立，

可得函数/（"）在区间（I"'O）单调递减，

又由函数•"“）是R上是偶函数，可得函数/（“）的图象关于y轴对称，

因为八2。T）<“3a-2）,可得|2a-1|<囚-2],

3

2XV一

整理得5右一8。+3>°,解得5或%>1,

3

（—00,=）、（1,+00）

即实数。的取值范围是5

3

（-8,川（1,+00）

故答案为：5.

【点睛】

求解函数不等式的方法：

6.【答案】①②.

【解析】分析：利用图象的变换画出/（的=1°82（归一31+2）-1的图象可得①的正误，

y=/（x+3）=log2（W+2）-1,可得②的正误，在同一坐标系中画出y=/（x）和

，一（2）的图象，可得③的正误，由/（幻的图象和y=,（凶）是偶函数可得④的正误.

详解：将函数'=l°g2x的图象向左平移2个单位得到函数V=log?（%+2）的图象,

再将函数y=l°g2（X+2）的图象左边去掉，右边对称过来得到函数）'=l°g式W+2）的图

象，

的图象如下:

通过图象可判断出函数y=/（x—3）的最小值是o,故①正确

y="x+3）=log2（W+2）-1是偶函数，故②正确

在同一坐标系中画出丁=/（幻和.2的图象如下：

y=/（%）-（-/_

由图可得，函数2有3个零点，故③错误

当XNO时，尸由图可得y=f（⑷在［°，3］上单调递减，在［3,+8）上

单调递增

因为是偶函数，所以y=/（W）在〔To1上单调递增，在（一8,一可上单调递减

所以函数>=仲］）的单调递增区间是［一3,0］,［3,+CO）,故④错误

所以正确的命题是①②

故答案为：①②

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是熟悉函数的图象变换，准确地画出函数的图象，然后要结

合函数的奇偶性解题.

7.【答案】1-12

【解析】分析：（1）取。=1,结合函数是单调函数，利用复合函数的单调性求解〃的值

即可；

（2）根据/（力的最小值为2,分类讨论确定。>°,8>°,结合基本不等式进行求解

即可.

详解：⑴令。=1,则“Mem,

Qy="是增函数，y=”、是减函数，

要使/（x）=e*+加-是单调函数，

只需。=T.

综上，当。=1时，匕=T时，〃劝=」一"、为增函数.

（2）当a"，°时，"X）为单调函数，此时函数没有最小值，

当a<°,6<°,"X）有最大值，无最小值，

所以，若/（X）有最小值为2,则必有a>°,匕>°,

止匕时，'（x）=ae'+"ef_2^aexx.be''=2\［ab=2

即疝T,即。0=1,

则O+6..2疝=2,当。=6=1时等号成立,

即a+方的最小值为2.

故答案为：LT?

【点睛】

利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一

正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，

积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参

数是否在定义域内，二是多次用之或《时等号能否同时成立）.

8.【答案】0cx<1

【解析】分析：由题意可得了⑶在10,上是增函数，由f（2x-,可得

/（|2x-l|）</（］）,运用单调性和绝对值不等式的解法，即可得到所求范围.

详解：函数是定义在R上的偶函数，且在（一8,印上是减函数，

可得/（》）在［0,+00）上是增函数，

由/（2x—1）,

可得〃|2xT|）</（1）,

即有|2xT|<l,

可得—l<2x—1<1,

解得0<x<l.

故答案为：0<》<1

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查绝对值不等式的解法，意在考查学生

对这些知识的理解掌握水平.

,20,

9.【答案】［2,—］

【解析】分析：由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求.

x—2依+6,冗，2

•••fM=\a

一,x>2

详解：解；1X是R上的减函数，

CL.2

<a>0

4-4。+6・・.@

I2

解可得,2*

2,32

故答案为：L9J

【点睛】

本题主要考查了分段函数的单调性的应用，二次函数及反比例函数性质的应用是求解问

题的关键，属于中档题.

10•【答案】（2,3）

l,x>0

/(%)=x+2

------,x<0

【解析】分析：根据题意得12-x，进而根据函数单调性得函数图象如图,

-3x<0

再根据函数图象得了（V-3x）<f（3x_8）等价于f_3x<3x-840或.3x-820,解不

等式即可得答案.

l,x>0

_.x+2

zx+2

凶+2------,x<0

详解：解：根据题意得.2-x

4

/'（%）=--------7>0

因为当x<0时，（2一力,故函数“X）在（f°）

上单调递减,

由因为/（-2）=°,故函数图象如图所示,

x2-3x<0

所以-3x)<f(3x-8)等价于-3x<3x-8M0或［3■x—820

OQ

2<x<--<x<3

解不等式得：3或3

故不等式/（*2_3X）</（3X_8）的解集为（2,3）

故答案为：（2,3）

【点睛】

l,x>0

/(x)=x+2

----,x<0

本题解题的关键在于取绝对值得12-x,进而研究单调性得函数图象，再

根据函数单调性将函数值得大小转化为自变量的大小，即：x2-3x<3x-84°或

x2-3x<0

V

、3“-820.考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.

11.【答案】2<a&7

a-2>0

1一。<0

a-2-l<---

【解析】分析：由分段函数的单调性可得2,即可得解.

ax+\ax+a-a+i\—a

/（x）二a-\----

详解：因为当X>1时，X+1X+1x+1

所以若要使函数/（幻在（口'"0）上单调递增,

a-2>0

<l-a<0

c1。+1

df-2-1<----

则l2,解得2<。（7,

所以实数a的取值范围是2<a<7.

故答案为：2<aW7.

【点睛】

本题考查了由分段函数的单调性求参数范围，考查了运算求解能力，属于基础题.

12.【答案】（Y,-3）D（1,—）

［解析］分析：根据奇函数的性质得出,（X）在（°,+°0）上为增函数，再利用单调性和奇

函数的性质求解即可.

详解：解：/⑴是奇函数且在E°）为增函数，

••・/（X）在（°，+8）上为增函数，

又"2）=0,

/（-2）=0

f

当x+l>0,即x>-l时，（x+l）〃x+l）>。

即x+l>2,解得：X>1.

当x+l<0,即x<-l时，（x+l）/（x+l）>0,

即x+l<-2,解得：x<-3.

综上所述「«一一3）（1,同

故答案为：（-'-3）51，+°°