高中数学《不等式的性质》导学案

第2课时不等式的性质

卜课前自主预习

不等式的性质

性质1：a>b0b叵]<a.

性质2：a>h,b>c^a1^1>c.

性质3：a>b^a+c^>b+c.

性质4：⑴c>O=^acW>bc；

(2)a>b,c<O=>^cI—I<bc.

性质5：a>b,c>+cI—I>h+d.

性质6：a>b>0,c>d>O^ac1^1>bd.

性质7：a>b>^anIM,>b'\neN,〃22).

性质8：«>Z?>0=>yjaI—I>y[b{nGN,n22).

【知识拓展】

不等式的命题的判断与求范围应注意的问题

1.利用不等式判断正误的2种方法

①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证

明；对于说法错误的只需举出一个反例即可.

②特殊值法：注意取值要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简

单，便于验证计算；三是所取值要有代表性.

2.利用不等式求范围应注意的问题

求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具

有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避

免改变代数式的取值范围.

F自诊小测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打"X")

(1)若a>b,b》0,则a>0.()

⑵由;<3可得%<3a.()

(3)若加+〃<e+/且机<e,则〃勺()

(4)若a<—"5,贝！J。2>25.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)V

2.做一做

⑴若〃<0,a+b>0,则a—b0(填“〉”或

⑵若4。<0,则a2的填"/或

⑶若a>b>0,0<c<d,则今与g的大小关系是.

(4)已知12<兴60,15。<36,则称的取值范围为

答案(1)>(2)>(3)安⑷惇，4)

卜课堂互动探究

探究1利用不等式的性质判断真假

例1对于实数％从c,下列命题中的真命题是()

22

A.若a>b9贝ljtzc>Z?c

B.若a>b>0,则:寸

C.若a<b<0,则\宁

D-若a>b'则a>°'

答案D

解析解法一：,.•/20,.,.，=()时，

有ac1=bc2,故A为假命题；

由a>b>Q,有">。台为嘉今晨，

故B为假命题;

a<Z?<0=>—a>—Z?>0=>—r>—->0b

uCl>——一a、一

ba,

a<b<0=^—a>—b>0,

故C为假命题；

a>b^b~a<0

1111b—a(^ab<0.

->T=»—T>0=>—7—>0

abababJ

'：d>b,...aX)且。<0,故D为真命题.

解法二：(特殊值排除法)

取C=0,则&?=反2,故A错误.

111

---

取a=2,b=l,则G=£，人4力

取a=-2,b=—\,则?=]，*=2,有彳<f，故C错误.

拓展提升

利用不等式的性质判断真假的方法

运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其

是不能凭想当然随意捏造性质，解有关不等式的选择题时，可采用特殊值法进行

排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便

于验证计算.

不等式的性质常与比较大小问题结合起来考查，此类题目一般可以结合不等

式的性质，利用作差法求解.

【跟踪训练1]下列命题：

①若a<b,则a/cbc2；

②若聂>§，则a>b；

③若a>b,c<d,贝Ua-c>b~d-,

④若a>b,c>d,则ac>bd；

⑤若a>b,则《

其中正确命题是.

答案②③

解析当c=0时，①是假命题.若则^>0,：.a>b成立，故②正确.③

先利用不等式的性质变为同向不等式，再相加，可得结果，故为真命题.a>b,

0d可取a=2,b=l,c=—1,d=-2,可得ac=-2,hd=-2,故④错误.

可取a=l,b=—\,可得",故⑤错误.

探究2利用不等式的性质证明不等式

例2(1)已知。>力，e>f,c>0.

求证：f-ac<e-be；

...、a-\-b一c+“

(2)右hc—ad^Q,bd>0.求证：〃W..

证明(1)Va>h,c>0,/.ac>bc,

-ac<-bc.

.".f-ac<e—bc.

(2)bc-ad^O,:.adWbc,又'：bd>0,

拓展提升

利用不等式的性质证明不等式的注意事项

(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要

在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且

不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.

【跟踪训练2】已知a>/?〉0,c<d<0.求证:

证明"：c<d<0,：.-c>-d>0.

••・W

又,：a>b>0,

两边同乘以一1,得寸|<非」

探究3利用不等式的性质求取值范围

例3⑴已知2<aW5,3〈b<10,求。一江杯的取值范围;

(2)已知一方Wa<夕音，求gg9/的取值范围;

Y

(3)已知x,y为正数，且1Wig(町)W2,3W%W4,求1g的取值范围.

解⑴•.•3WX10,二一10<一6W—3.

又,.,2<aW5,，-8<a—bW2.

又,-J-c；—<—

人•10Q3'-5Q3，

TT7T

(2)V-/

.兀)a兀7U

••一尸相不

4,

两式相加得一红笥

・.117a7i兀一13it

•一霹5%，一号一3<不

两式相加得一

一八a-0兀—一§

又,/a〈B，<0,/.—3"<0.

(3)由题意设o=lgx,b=\gy,

,1g(xy)=a+b,

X

\g-=\gx—\gy=a-b,

y

IgQ4y2)=4Q+2A,

设4a+2b=m(a+b)+n(a—b),

/??+//=4,机=3,

c解得,

j?i-n=2,n=\.

4a+2Z?=3(a+/?)+(a—b),

又,：3W3(a+b)W6,3Wa—6W4,

...6W4a+2bW10,

Alg(dy2)的取值范围为传,10］.

［变式探究］本例(1)中，条件不变，求。+",必的取值范围又如何？

解由2<aW5,3Wb<10得

2+3<。+方<5+10,2X3<ab<5X10,

即5<。+/?<15,6<。。<50.

拓展提升

利用不等式的性质求代数式的取值范围要注意的问题

(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质.

(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎

是很显然的理由，代替不等式的性质，如由及c>4,推不出ac>M；由<7>仇

推不出/>房等.

(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误.

【跟踪训练3】若二次函数y=7U)的图象关于y轴对称，且

iqU)W2,3《/(2)W4,求人3)的范围.

解设大组二加+以0/。)，

则«l)=a+c,/2)=4a+c.

又•.\A3)=9a+c,故设2成1)+2成2)=负3),

Ai+4A2=9,

则有

.21+22=1,

.跋2)—5液1)

•—3•

•••1W/(1)W2,3W_A2)W4,

...5W凯1)W10,24W队2)W32.

，14W8/(2)—5液1)W27.

..生蛆押久9,即詈©W9.

f---------------------------1那裹升1-----------------------------

［规律小结］

1.在应用不等式的性质时应注意的问题

使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化

它们成立的条件，盲目套用.例如：

(1)«>/?,c>d^a+c>b+d,已知的两个不等式必须是同向不等式.

(2)a>/?>0且0d>00ac>M,已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等

式两边必须为正值.

(3)a>8>0=>a">b"(〃WN,〃22),及。>/?>0=>%>砺(〃6N,”22)成立的条

件是已知不等式两边为正值，并且〃dN,n>\,否则结论就不成立.假设去掉

匕>0这个条件，取a=3,b=—4,n=2,就会出现3?>(一4尸的错误结论；又若

去掉了"八£N且〃，2”这个条件，取a=3,h=2,n=~\,又会出现3一1>2

I,即聂的错误结论.

(4)不等式的性质有的可以互推，如a>b0b<a；a>b^>a+c>b+c,有的不

可互推.

(5)性质7和性质8在〃取正奇数时，可放宽条件，命题仍成立，即有：

a>b^a">b'\n=2k+1,MN).

a>b=^y［a>，\［b(n=2k+1,ZGN).

2.性质8的证明

性质8的证明可采用反证法，即假设%不大于船，则有两种情况：或者

缶〈加，或者缶=砺.由性质7,当缶<%时，a。，当时1=阪时,有a=

b,这些都与已知条件。>方>0矛盾，所以缶〉砺.

［走出误区］

易错点>运用不等式的性质不当致错

［典例］已知lWa+/?W5,—iWa—bW3,求3a—2/?的范围.

［错解档案］—iWa一8W3,

又,.,lWa+bW5,—3W—(a—")W1,-1WAW3.

•.•0WaW4,—匕W3,

；.0W3aW12,-6W—2/?W2,二一6W3a—2/7W14.

［误区警示］在错解中，由已知条件推出不等式一6W3a—28W14的各个

步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但结论是不正确的，事实上，由

1Wa+Z?W5与一1Wa-Z?W3,得到0WaW4,-1WAW3,但这并不意味着a与

匕可各自独立地取得区间［0,4］与［-1,3］的一切值.如取a=4,8=3时，a+b=

7,就已超出题设条件lWa+bW5中的范围，细究缘由，就是推出关系并非等

价关系.

［规范解答］设》=。+力，y=a-b,则。=咛2,。=工子.

XW5,—1・户3,

-2W；x+|vW10,即一2W3a—26W10.

［名师点津］要求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解,

同向不等式具有可加性，同向正值不等式具有可乘性，但是不能相减或相除，利

用性质时，必须步步有据，避免改变代数式的取值范围.

I随堂达标自测。

1.设mb,c,d£R,则（）

A.a>b,c:=ac<bd

°ab、,

cc

C.苏>〃。力

ab

11

2029〃。>一<二

D.tz>Z?,0=ab

答案c

解析用排除法，A错误，显然c=d=O时，结论不成立.B错误，c<0时，

结论不成立.D错误，当。=-2,b=-l时，结论不成立.故选C.

2.已知：a,b,c,JGR,则下列命题中必成立的是（）

A.若a>b,c>b,则a>c

B.若a>—b,则c—a<c+b

C.若a>b,c<d,则

D.若a?〉y,则一q<一。

答案B

解析选项A,若。=4,b—2,c=5,显然不成立；选项C不满足倒数不

等式的条件，如a泌>0,c<0<d时，不成立；选项D,当a=—1,b=0时不等式

不成立，故选B.

3.若一l<a<Q<l,则下列各式中恒成立的是（）

A.—2<a—/?<0B.—2<a—/?<—1

C.-l<a一夕<0D.-l<a一4<1

答案A

解析由一l<a<l,—1<夕<1,得一1〈一口<1,所以一2<a一夕<2,但a<4,故

知一2<a—0<0.

4.若x>y,a>b,贝U在①“一%>/?一>②a+x>/?+y,③@x-b>y—a,

这四个式子中，恒成立的所有不等式的序号是.

答案②④

解析令》=—2,y=—3,a=3,b=2,

符合题设条件x>y,a>b,

"•'a—x=h—y=5,「.a—x>b—y不成立.

又,.•ar=/?y=—6,/.ax>by也不正确.

x>y,a>b,.•・〃+尤>/7+y成立.

*：a>b,/.——b>——a,

Xx>y,•\x-h>y—a.

综上知②④成立.

5.已知一1W〃+Z?W1,1Wo—2〃W3.求Q+3/7的取值范围.

解设a+3〃=X\(a+〃)+叔。-2b)=(Ai+Xi)a+(2i—22i}b,则

21+12=1,

Ai-2后=3,

5?

解得九=予h=-y

55522

又因为一—2<—§(a—2/?)W—

所以一?Wa+3bWL

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.下列结论中，成立的个数为（）

x+y>Q,x>0,

①若则＜

xy>Q,J>0.

x>0,x+y>0,

②若则＜

ly>0,、孙>0.

x>\,x+y>2,

则＜

dy>l.

x+y>2,x>1,

④若则,

xy>l,J>1.

A.4个B.3个C.2个D.1个

答案B

解析由盯>0知x与y同号，又x+y>0,...x〉。且y>0,故①正确;

Vx>0,_y>0,，x+y>0,xy>0,.•.②正确；

x>\,y>\,，x+y>2,xy>l,.•.③正确；

1x>l,

当x=4,y=5时，x+y>2,xy>\,但孑不成立.故选B.

z[y>\

2.已矢口04<y<a<l,贝女)

A.log«(xy)<0B.0<log«(xy)<l

C.l<log«(xy)<2D.log”(孙)>2

答案D

解析由已知0<r<j<a<l,取特殊值，对应可取0<m<l,则A、B、C三

个选项都不正确，只有D正确.

3.若a,0GR,且a+|例<0,则下列不等式中正确的是()

A.a-b>0B.a3+/?3>0

C.a2—h2<QD.a+b<0

答案D

解析解法一：由a+|加<0知，a<0,Q^\b\<-a,

•*.Z>2<a2,.,.屋一82〉o；

V\b\^b,...a+AWa+|例<0；

♦l切2—b,:.a—bWa+向<0；

-a>\b\^b,a)3>b3,a3+b3<0.

/.A,B,C错误，故选D.

解法二：取a=-2,b=±l,易知a—b<0,<23+/?3<0,a2—Z?2>0,排除A,

B,C,故选D.

4.如图，y=«x)反映了某公司的销售收入y万元与销量x之间的函数关系，

y=g(x)反映了该公司产品的销售成本y万元与销售量x之间的函数关系.

(1)当销量________时，该公司赢利；(2)当销量_______时，该公司亏损.

①x>a；②尤<a；③xNa；④0Wx<a.()

A.①②B.③④C.①④D.②③

答案C

解析当销售收入兀0大于销售成本g(x)时，公司赢利；当销售收入次龙)小于

销售成本g(x)时，公司亏损.故选C.

二、填空题

5.设a>力>1,c<0,给出下列三个结论：

—

①余②/<加；(3)log/,(a—c)>loga(^c).

其中所有的正确结论的序号是.

答案①②③

11cc

解析由c<0,得了石，嘉函数y=W(c<0)在(0,+8)上是减函

数，所以废<〃；因为。-c>〃-c>0,所以log/,(q—c)>log“(a—c)>loga(b—c),①②

③均正确.

6.已知2辰a<—小贝哈的取值范围为.

答案(一1,2)

解析2b<a<—b,/.2b<—b.b<Q,二铲0.

・•丁<尸口即TR<2.

7.对于实数a,b,c,有下列说法：

①若a>b,则ac<bc-,

②若小泌洛则a〉b：

③若a<b<0,则。2>必>店；

④若c>a>b>0,则.

c-ac-b

其中正确的是(填序号).

答案②③④

解析①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与反的大小缺乏依

据，故①不正确.

②中，由“/乂七2,知cWO,故02>0,所以a>b成立,故②正确.

③中，"°=^a2>ab,'°人'^ab>b2,所以内加炉，故③正确.

[a<0[b<0

④中，a>b>O=^—a<—b=^c—a<c—b.

Vc>6F,/.c——a>0./.0<c——a<c——b.

上式两边同乘以7—J—77,得」一>」7>0.

(c-a)(c—b)c-ac~b

nb

又9>0,二--->―r,故④正确.

c-ac-b

三、解答题

8.已知l<a<3,24<5,试求下列各式的取值范围:

(1)2〃一3/7+1；

⑵恶.

解(l)Vl<a<3,：.2<2a<6.

'：2<b<5,/.-15<-3/?<-6,

/.-12<2a—3Z?+1<1,

即2a-3b+l的取值范围为(一12,1).

(2)Vl<a<3,：.l<y[a<y/3.

"：2<b<5,，4幼2<25,

,,3Vbi2-1<24,•.24<^2_]<3，

.J_也V3

••24%2—1(3，

即若的取值范围为怎，书.

9.已知一6<。<8,2。<3,分别求2a+",a-b,行的取值范围.

解V-6<a<8,2</?<3,

—12<2a<16,-10<2«+/?<19.

又；一3(一。<一2,

—9<a~b<6,

人.3<62，

⑴当0，<8时，0号<4；

⑵当一6<a<0时，-3<|<0,

由⑴(2)得一3卷<4.

综上可知所求的范围分别为一10<2。+/?<19,—9<a-b<6,—3<^<4.

10.甲、乙两车从A地沿同一路线到达8地，甲车一半时间的速度为。，另

一半时间的速度为乙车一半路程的速度为a,另一半路程的速度为b.若a^b,

试判断哪辆车先到达8地.

解设A,B两地间的路程为s,甲、乙两辆车所用的时间分别为A,t2,则

2ss.s

九=币，於=五