高中数学习题2：合情推理

合情推理

一、选择题

1.如图2—1—4为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那

么第36颗珠子应是什么颜色（）

图2—1—4

A.白色B.黑色

C.白色可能性大D.黑色可能性大

【解析】由图知，珠子三白二黑周而复始，相继排列，因为36+5=7余

1,所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色，故选A.

【答案】A

2.（2013•佛山高二检测）观察下列事实：|x|+3=l的不同整数解（x,

力的个数为4,+3=2的不同整数解（x,力的个数为8,|x|+|y|=3的不

同整数解（x,力的个数为12,…，则W+|y|=20的不同整数解（必力的个数

为（）

A.76B.80

C.86D.92

【解析】由题意知3+3=1的不同整数解的个数为4,|X|+3=2

的不同整数解的个数为8,3+5=3的不同整数解的个数为12,则可归纳出

等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|削

+1H=20的不同整数解的个数为80.

【答案】B

3.已知数列｛aj的前〃项和（启2）,且4=1,通过计算a2,a3,

&，猜想等于（）

22

，

A.n+\2Bnn+l

22

C----n-----

2"-l2n-l

【解析】由a=l,5=2?•包=。|十包得色=；,X<3,4-32+33=9Xa3Wa,,

o

112

=~,且a+a+a+a=42•&得…猜想a“=---匚一.

6123)10nn+1

【答案】B

4.(2013♦杭州高二检测)已知集合［={3"+2川力>〃且加，z?WN},若将集合

力中的数按从小到大排成数列{4},则有a=3=2X0=3,&=32+2X0=9,&

=32+2Xl=ll,包=避=27,…,依次类推，将数列依次排成如图2—1—5所

示的三角形数阵，则第六行第三个数为()

为

当

咸氏公

图2—1—5

A.247B.735

C.733D.731

【解析】由条件可以看出，第s行第£个数是3'+21-1),所以第六行

第三个数应为3，+2X(3-1)=729+4=733.

【答案】C

5.(2013•南昌高二检测)观察下列各式：55=3125,56=15625,57=78

125,…,则5所的末四位数字为()

A.3125B.5625

C.0625D.8125

【解析】V55=3125,5''=15625,57=78125,5'末四位数字为0625,59

末四位数字为3125,5］。末四位数字为5625,5"末四位数字为8125,5"末四位

数字为0625,…，由上可得末四位数字周期为4,呈规律性交替出现，••.5颉

=5许。+末四位数字为8125.

【答案】D

二、填空题

,2

6.（2013•大同高二检测）已知2+-=2・

O

（a,大均为正实数），类比以上等式，可推测a,力的值，则a+t=.

【解析】由所给等式知，a=8,t=82—1=63,,,.a+t=71.

【答案】71

3141

311-X-X---T

7.观察下列等式：TT7TX-=1-T7,X222X3夕HX

iAZZ乙3X2?'1X2

141511

于+工二*犷=1—八右，...’由以上等式推测到一个一般的结论：

,丁.314177+21

对于“£此必X］十巨*梦+…十〃〃+］义］=--------

【解析】观察所给等式知，第〃个等式的右边为1一一二

【答案】

kc1-----A-+--1------X--2--"

8.在中，NC=90°,AC=b,BC=a,则△49C的外接圆半径为r

=亚尹，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：.

【解析】利用类比推理，可把RtZUSC类比为三棱锥一一力比；且为，PB,

尸。两两垂直，当为=a,PB=b,/T=c时，其外接球半径为A=亚耳^£.

【答案】在三棱锥"一/回中，PA,PB,尸。两两垂直，PA=a,PB=b,PC

=c,则三棱锥产一4a'的外接球的半径为A=亚甘士C

三、解答题

9.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2—1—6（1）、（2）、（3）、（4）

为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺

绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第〃个图形包含

M个小正方形.

(1)(2)(3)(4)

图2—1—6

⑴求出f⑸；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出FS+1)与f(〃)的关系式，并

根据你得到的关系式求f(/7)的表达式.

【解】⑴f(2)=5,A3)=13,*4)=25,

.•"(5)=25+4X4=41.

(2)Vf(2)-Al)=4=4X1,

f(3)-r(2)=8=4X2,

f(4)-f(3)=12=4X3,

f(5)—f(4)=16=4X4,

由上式规律得出F(〃+l)—F(〃)=4z;.

.•"(2)—f(l)=4Xl,

f(3)—f(2)=4X2,

f⑷一F⑶=4X3,

『(〃一1)一/1(〃-2)=4•(/?—2),

F(z?)—=4•(z?—1).

-f(l)=4[l+2+…+(77-2)+(P-1)]

=2(z?—1),n,

f(n)=2n~2〃+1.

10.在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命

题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值为-a类比上述命

题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简

要的证明.

【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的

距离之和是定值/-a.

O

证明：设,"是正四面体尸一四。内任一点，物到面/8C,面为反面为C,面

皈的距离分别为a,d2,“，A

由于正四面体四个面的面积相等，故有：

匕/-"Bc+KV-PASIh»ic+Kv-PSC

=：•S^ABC•(d+&+4+&)，

而,_亚2”—蛆3

ITIJJ△做'—4a，Vise—]2a，

\[Q

故d+“+&+d=3-a(定值).

o

11.(1)下图(a),图(b),图(c),图(d),为四个平面图形.数一数，每个

平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？请将结果填入

下表中.

(a)(b)(c)(d)

顶点个数边的条数区域个数

(a)

(b)

(c)

(d)

(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点个数、边的条数、区域个数之间有

什么关系.

(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上

关系确定这个图有多少条边.