数学教学知识和教学技能

初级中学：简答题2道，论述题3道

高级中学：论述题3道

教学原则

应用类考察：案例分析、教学设计

数学教学方法

数学教学知识初级中学：选择题1道

高级中学：选择题3道

概念教学与命题教学

数学教学过程

数学学习方式

第一节.教学原则

一、抽象性与具体性相结合原则

二、严谨性与量力性相结合原则

三、理论性与实际性相结合原则

四、巩固知识与发展能力相结合原则

一、抽象性与具体性相结合原则（重点）

1.抽象性与具体性

具体性：数学尤其是初等数学是以现实世界的空间形式和数量关系作

为自己的研究对象，其研究对象是十分具体的。

例如：在讲授矩形这节课的时候，可以利用门窗，课桌和瓷语等实物

图片，使学生通过模型直观更深刻的体会矩形角、边具有的特点引出

矩形的性质，将抽象的概念更直观的纳入到自身认知结构中。

例如：在讲授一次函数这节课的时候，可以利用生活中乘坐高铁的情

景，探究已知高铁的速度，能否表达出时间与路程的关系的问题，使

学生通过模型直观更深刻的体会一次函数具有的特点引出一次函数

的概念，将抽象的概念更直观的纳入到自身认知结构中。

例如：在讲授函数单调性这节课的时候，可以利用一次函数和二次函

数的图象，使学生通过模型直观更深刻的体会图象上升和下降具有的

特点引出单调性的概念，将抽象的概念更直观的纳入到自身认知结构

中。

例如：在讲授直线与平面垂直的判定定理这节课的时候，可以利用生

活中升国旗的情景，探究旗杆与地面的关系的问题，使学生通过模型

直观更深刻的体会直线与平面垂直具有的特点引出思考方向，将抽象

的概念更直观的纳入到自身认知结构中。

抽象性：数学抛开客观对象的具体特征，只抽象出空间形式和数量关

系进行研究，这就是数学抽象性。

数学的抽象性表现为：数学概念的抽象性、数学思维的抽象性以及数

学符号的抽象性，其中数学概念抽象性是最根本的。然而，任何一个

抽象的数学概念，在它形成的过程中，往往以大量的具体对象作为基

础，或者以一些具体的抽象概念作为基础。

例如：三角形的内角和的证明过程中，不仅仅是通过测量角的度数，

而是需要通过一些逻辑证明方法（合情推理和演绎推理）证明三角形

内角和是180。的结论。

例如:等差数列的通项公式的探究过程中，不仅仅是具体实例的分析,

而是需要通过一些归纳证明的方法（合情推理和演绎推理）得出等差

数列公式的结论。

2.抽象性与具体性相结合原则的理论基础(了解)

第一，由数学抽象的相对性与中学生抽象思维的局限性所决定。

第二，由教学过程与认识过程的共同性和特殊性规律所决定。

第三，由人的两种信号系统协同活动的规律所决定。

3.抽象性与具体性相结合原则的贯彻(手段)(重点)

(1)直观教学：实物直观、模型直观、图形直观、言语直观

(2)具体数形结合

(3)注重观察

(4)重视教学手段改革

①通过运用生动、形象、具体直观的现实材料和教学语言来引入和查

明新的数学概念等内容。

②教师在运用生动形象、具体直观的数学材料来引入和阐明新的数学

概念时，应及时发挥教师的主导作用，引导学生归纳出抽象、具体一

般性的数学概念和结论，如：。具体和直观只是手段，培养抽象思

维能力才是目的。

③学习了有关的、抽象的数学理论之后，应将它再运用到具体的实践

中去，如解决具体问题、解释具体的想象，这是又从抽象到具体的过

程，这一过程对学生深刻掌握有关的数学理论知识，培养学生的能力

有重要的实践意义。

④从具体到抽象，再从抽象到具体的过程，往往不是一次完成的，有

时要经过循环往返才能完成。只有在教学中时时注意坚持具体到抽象

相结合的原则，才能取得最佳的教学效果。

二、严谨性与量力性相结合原则（重点）

1.严谨性是数学学科的基本特点之一，即逻辑的严谨性和

结论的确定性

数学概念必须严格地加以定义，即使是那些最基本、最常用而不能按

逻辑方法加以定义的原始概念，除了直观地用语言描述之外，还要求

用公理加以确定；它要求数学结论的叙述必须准确、精练，数学推理、

论证必须合乎逻辑地迸行，即使数学计算也要求无可争辩。整个数学

学科体系就是一个严谨的逻辑结构。

数学教学的严谨性要求在中学数学中，教师在安排和讲授教学内容

时，学生在理解、掌握、运用这些知识时，应该根据数学学科的基本

特点，教学内容的叙述必须精练，结论的推导、论证和体系的安排要

严格、周密。事实上，对于数学的严谨性，学生要有一个逐步适应的

过程。它随着人们认识能力的发展而提高。

例如：通过观察、分析比较得到某数列的通项公式，对于其猜想结果

的正确性，必须予以一定的逻辑证明，此时以采用数学归纳法的方法

进行证明，体现了数学的严谨性。

例如：通过观察、动手操作、分析比较得到平行四边形的性质,对于

其探究结果的正确性，必须予以一定的逻辑证明，此时可以采用三角

形全等的方法进行证明，体现了数学的严谨性。

2.教学的量力性，就是量力而行，要求教学内容能够被学生

接受

量力性：由青少年心理发展的阶段性(学业水平和认知水平)所决定

的。教学过程中，要对学生知识基础、年龄心理特征、认知水平、兴

趣爱好等情况做到心中有数。对教学内容与学生的接受能力有较大差

距的内容，即数学难点、重点要设法分散，将之转化为学生容易接受

的知识，及时解决疑难，扫清障碍。关键在于逐步提高要求，逐步进

行训练。

例如：在学生刚学习代数式时，教师不应该新课中直接告诉学生代数

式的概念，而应该以一些生活实际例子让学生感受从数到式得变化及

应用，进一步加深学生对代数式的理解和运用。

例如：等比数列的求和公式的学习在过程中，教师在讲授重难点时要

有明确的区分，掌握公式很重要，但更为重要的是公式的推导过程以

及其中蕴含的数学思想方法，学生逐步感受知识的构建，加深对知识

的理解和应用。

3.严谨性与量力性相结合原则的贯彻

(1)明确要求，谨慎处理数学的严谨性与量力性要很好地结合，在

教学中注意教学的"分寸"，即注意教材的深广度，从严谨着眼，从

量力着手；

(2)从开始抓起，持之以恒要注意阶段性，使前者为后者作准备，

后者为前者的发展，前后呼应；

(3)要求学生周密思考、言必有据对学生严谨性的培养使学生养成

良好的思考习惯。

三、理论性与实际性相结合原则(了解)

理论与实践相结合，既是认识论与方法论的基本原理，又是教学论中

的一般原理。理论联系实际原则，是指要在理论和实践的结合中传授

和学习基础知识及基本技能，引导学生学懂、会用，培养学生分析问

题、解决问题的能力。理论联系实际原则处理的是抽象的理论知识与

实践应用的关系。

在教学活动中贯彻这一原则，对教师有以下要求：

(1)正确处理理论知识与实际经验之间的关系。重视理论知识，并

注重在联系实践中进行教学。

(2)注重讲练结合。做到精讲多练、精讲巧练、讲读议练相结合。

(3)培养学生运用知识的能力。教师要勇于放手，鼓励学生去尝试

和探索，运用所学知识解决实际问题，同时在解决问题的过程中获取

新的知识，补充书本知识的不足，从而使各种能力得到锻炼、发展。

(4)联系实际应当多方面入手。首先，应当尽可能广泛地让学生接

触社会生活的各个方面；其次，应当尽可能结合本地区的特点；再次,

应当注重学生发展的实际。

(5)帮助学生总结收获。教师要加以引导，提供机会并提出要求，

让学生及时交流体验，表达感受。

(6)补充必要的实际知识。

(7)理论联系实际可以有多种多样的方式，无论用哪一种方式，教

师都必须有明确的教育目的。

四、巩固知识与发展能力相结合原则(了解)

1.巩固知识与发展能力

(1)所谓知识，广义地理解为人们在改造世界的实践中所获得的认

识和经验的总和。

(2)所谓能力，是保证人们成功地进行实际活动的较稳固的心理特

征的综合。

(3)巩固知识与发展能力相结合的意义：

学习知识的目的在于应用，而应用的先决条件就是要有巩固的知识。

反之，要想获取巩固的知识，必须将知识付诸于应用，发展能力。

从能力发展过程看，应用是核心，应用的熟练程度标志着能力的高低。

因此，要想发展能力，必须先巩固知识。

2.巩固知识与发展能力相结合原则的贯彻

(1)遵循记忆的规律，巩固所学知识通过加深理解，增强识记和保

持。通过归纳、类比、联想，促进再认、再现。

(2)巩固知识要着眼于发展能力

基础知识的复习，要注重数学思想的培养和数学方法的训练。

综合知识的复习，要有计划、有步骤地进行题组训练。

第二节数学教学方法

一、数学教学中的常用教学方法

二、教学方法的选择

一、数学教学中的常用教学方法

1.讲授法

(1)讲授法的优点：能保证教师传授知识的系统性、主动性与连贯

性，易于控制课堂教学，充分利用时间。

(2)讲授法的缺点：学生处于被动状态，不利于培养学生自学习惯

和独立思考能力，容易变成注入式、满堂灌。

2.谈话法

(1)谈话法的优点：它在设计中就把师生的双边活动固定化了。

(2)谈话法的缺点：由于学生对提出的问题是即席回答，缺少思想

准备和一定的组织准备，会耽误一定的时间。

3.讲练结合法

(1)讲练结合法优点：能够把教师的教与学生的学紧密地联系起来,

较好的发挥教师的主导作用和学生的主体作用。

(2)讲练结合法的缺点：讲与练得衔接不易控制，教师难以预料习

题中可能出现的各种情况。

4.自学辅导法

(1)自学辅导法：主要优点是能够培养学生的研究能力和养成认

真钻研课本的好习惯。教材既是教师教的蓝本，也是学生学习的范本,

任何轻视教材的行为都是不可行的。

(2)自学辅导法的缺点：时间不易掌握，运用不好会影响教学质量。

5.发现法(讨论法)(重点)

(1)发现法的优点：

①学生的学习主动性、积极性可得到发挥，学生常处于主动进取的学

习状态之中。

②在学习过程中，学生具有较高级的心理活动。有利于培养学生发现

和探究问题的习惯，激发学习数学的兴趣，增强自信心，使学生理解

知识深刻而牢固。

③有利于培养学生掌握探索问题的方法与研究问题的能力，特别是自

学能力。

（2）发现法的缺点

①花费时间较多，不利于学生掌握系统知识，影响数学理论体系建立。

②易减少教学中数学知识容量，程度较差的学生可能较难适应。

第一步：分组+目标问题+时间控制

第二步：巡视点拨

第三步：结束

第四步：回答+点评+归纳

第五步：板书

二、教学方法的选择

1.教学方法的选择要考虑教学目标

2.教学方法的选择要考虑教学内容特点（重点、难点）

3.教学方法的选择需要考虑教师自身特点

4.教学方法的选择需要考虑学生的实际情况（兴趣，已有水平等）

5.教学方法的选择要考虑教学条件

7.新课程倡导的学习方式（P208）

（1）自主学习

自主学习关注的是学习者的主体性与能动性，是学生自主而不受他人

支配的学习方式。

(2)探究学习

探究学习也称为发现学习。学习过程除了被动接受知识外，还存在大

量的发现与探究等认识活动。

(3)合作学习

合作学习是指学生以小组为单位进行学习的方式。合作学习的展开往

往是在自学基础上进行小组合作学习和小组内讨论。

第三节概念教学与命题教学

一、概念教学

二、命题教学

一、概念教学

1.数学概念的意义

数学概念是一类特殊的概念，是其所反映的事物在现实世界中的空间

形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。

例如，平行四边形这个数学概念，"四条边""两组对边分别平行"

就是平行四边形这个概念的本质属性；“圆的概念"，反映了"平面

内到定点的距离等于定长的点集"这一圆的本质属性；“方程”的概

念，反映了"含有未知数的等式"这一方程的本质属性。

2.概念的内涵与外延(重点)

概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和。

概念的外延就是概念所反映的事物的总和。

概念的内涵与外延是分别对事物的质和量的规定。

内涵越多外延越少：例如：四边形-平行四边形-菱形-正方形（内涵

逐渐增多，外延逐渐减少）

3.概念间的关系

（1）相容关系

①全同关系（同一关系或者重合关系）：无理数和无限不循环小数;

②交叉关系："矩形"和"菱形"；"等差数列"和"等比数列"

③从属关系（包含关系）：概念A的外延是概念B的外延的真子集。

外延较大的概念叫做属概念，外延较小的概念叫做种概念。正整数这

个概念，其属概念可以为整数、有理数、实数、复数，而其种概念可

以是正奇数，可以是正偶数，还可以使质数，合数等

（2）不相容关系

①对立关系（反对关系）

在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延之和小于属概念的外

延，而且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为

反对关系或者对立关系。

②矛盾关系

在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延的和等于属概念的外

延，而且这两个种概念具有全异关系，那么这两个种概念的关系为矛

盾关系。

4.概念的定义(重点)

(1)定义的结构

任何定义都是由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。被定义项

就是其内涵被揭示的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义

联项则是用来联接被定义项和定义项的，常用的定义联项：“是"、

"叫做"、"称为"等等。

例如：三条边都相等的三角形是等边三角形。

(2)定义的方法

①属加种差定义法(最常用的定义方式)

对某一概念有若干属概念，从最邻近的属概念出发来定义，即把被定

义的概念归入另一个较为普遍的概念(属概念)。被定义的概念=最

邻近的属概念+种差。概念的种差，就是在同一个属概念里，一个种

概念与其他种概念之间本质属性的差别。

例如：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例如：一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形"。

邻近的属加种差的定义方法有两种特殊形式：

(1)发生式定义方法。它是以被定义概念所反映的对象产生或形成

的过程作为种差来下定义的。

例如，"在平面内，一个动点与一个定点等距离运动所成的轨迹叫做

圆”即是发生式定义。在其中，种差是描述圆的发生过程。

(2)关系定义法。它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间

关系或它与另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。

②揭示外延的定义方法

数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的

定义。

例如(逆式定义法)实数是有理数和无理数的总称。

整数和分数统称为有理数。

正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；

椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；

逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等

第四节、数学思想

数学思想：符号化思想、转化与化归思想、模型思想、推理

思想、方程与函数思想、数学集合思想、极限思想、特殊与

一般思想、类比思想

(1)符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。

例如：函数表达式；定理的符号表示形式。

(2)转化与化归思想：化未知为已知，非常规问题化常规问题，实

际问题数学化，是一种最基本的数学思想。

例如：直接转化法、换元、解方程等解题过程中。

(3)模型思想

例如：一次函数、二次函数、指数函数等。

(4)推理思想

(5)函数与方程思想：用函数、方程的观点和方法处理变量间的关

系，从而解决问题的一种思维方式。

例如：把方程，数列，不等式问题构造成函数模型，利用函数图像性

质进行研究;利用对于空间立体几何相关问题的求解可以转化成向量

运算(求法向量等)进行解决主要就是方程思想的体现。

(6)分类与整合思想：分类讨论思想，就是先把要研究的数学对象

按照一定的标准划分为若干不同的类别，再逐类进行研究、求解的

一种数学解题思想