初二数学培优资料

1、用提公因式法把多项式进行因式分解

【知识精读】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面,

将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项

式的公因式的确定方法是：

(1)当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次累。

(2)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解

【分类解析】

1.把下列各式因式分解

(1)-a2xm+2+abx",+'-acx",-ax",+3

(2)—b)"+2cl~(b—~—2abs—。)

分析：(1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第一项系

数是正数，在提出“一”号后，多项式的各项都要变号。

解：+ahxm+}—acxm—=—axm(ax2—Zzx+c+x3)

(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时,

3一。产=3一。产；(。―加2,1=一3一。产一I,是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a(a-bY+2a?(b-a)?-2cib(b—a)

—Q(a—+2a~(a—h)~+2ab(a—b)

=a(a-b)[(a-b)2+2a(a-/?)+2b]

=a(a-h)(3a2-4ab+b?+2b)

2.利用提公因式法简化计算过程

987“0987.一987—，987

例：计算123乂二空+268x-----h456x-----521x-----

1368136813681368

987

分析：算式中每一项都含有,可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

13681

解：原式=需

x(123+268+456+521)

1368

987

x1368=987

-B68

3.在多项式恒等变形中的应用

例：不解方程组《,一，求代数式(2%+份(21-3月+3%(21+田的值。

5x-3y=-2

分析:不要求解方程组,我们可以把2x+y和5x—3y看成整体，它们的值分别是3和一2,

观察代数式，发现每一项都含有2x+y,利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x+y

和5x—3y的式子，即可求出结果。

解：(2x+y)(2x—3y)+3x(2x+y)=(2x+y)(2x—3y+3x)=(2x+y)(5x—3y)

把2x+y和5x-3y分别为3和一2带入上式，求得代数式的值是-6。

4.在代数证明题中的应用

例：证明：对于任意自然数n,3"+2—2"2+3"—2"一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

3〃+2_2*2+3〃­2〃一3〃+2+3"-2〃+2—2”

=3n(32+l)-2n(22+1)

=10x3"-5x2”

♦.•对任意自然数n,10x3"和5x2"都是10的倍数。

3"+2_2"+2+3"_2"一定是10的倍数

5、中考点拨:

例1。因式分解3x(x-2)-(2-x)

解：3x(x—2)—(2—x)

=3x(%-2)+(x-2)

=(x-2)(3%+1)

说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。

例2.分解因式：4式1—〃)3+2(〃-1)2

解:4久1—“)3+2(〃一1尸

=4^(1-/7)3+2(1-p)2

=2(l—p)2[2q(l—p)+l]

=2(l-p)2(2”2p4+l)

说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符

号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

题型展示：

例1.计算：2000x20012001-2001x20002000

精析与解答：

设2000=。，则2001=。+1

2000x20012001-2001x20002000

=«[10000(<7+1)+(a+1)]-(a+1)(10000a+a)

=a(a+l)x10001-a(a+1)x10001

=a(«+1)x(10001-10001)

=0

说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、

2001重复出现，又有2001=2000+1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为

代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。

例2.已知：x2+fec+c(b、c为整数)是x4+6x?+25及3x4+4x?+28x+5的公因式,

求b、c的值。

分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、C,但比较麻烦。

222

注意到x+bx+c是3(/+6x+25)及3/+4x+28x+5的因式。因而也是

-(3x4+4/+28x+5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。

解：一+灰+。是3(/+6x2+25)及3/+4x2+28x+5的公因式

也是多项式3(/+6x2+25)-(3x4+4x2+28x+5)的二次因式

而3(/+6x2+25)-(3/+4x2+28x+5)=14(x2-2x+5)

•••b、c为整数

得：x2+bx+c—x~一2x+5

/.b=—2,c=5

说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14—-28x+70,从而简便求得

x2+bx+c„

例3.设x为整数，试判断10+5x+x(x+2)是质数还是合数，请说明理由。

解：10+5x+x(x+2)

=5(2+x)+x(x+2)

=(x+2)(5+x)

-x+2,5+x都是大于1的自然数

(x+2)(5+x)是合数

说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只

能被1和本身整除的数叫质数.

【实战模拟】

1.分解因式：

(1)-4m2«3+_2mn

(2)a2xn+2+abx"+l-acxn-adxn-'(n为正整数)

(3)ci(ci—/?)3+2a~(h—ci)~—2cib(b—a)~

2.计算：(—2)"+(—2)i°的结果是()

A.2100B.-210C.-2D.-1

3.已知x、y都是正整数，且x(x-y)-y(y-x)=12,求x、y»

4.证明：8〃-279一夕3能被45整除。

5.化简：l+x+x(l+x)+x(l+x)2+…x(l+x)'"”，且当x=0时，求原式的值。

2、运用公式法进行因式分解

【知识精读】

把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式a2-b2=(a+b\a-b)

完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2

立方和、立方差公式ay±by=(a±b)(a2+ab+b2)

补充：欧拉公式：

a3+//+c*—3abc-(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—be—ca)

=g(a+b+c)[(a-0)2+0-c)2+(c-a)2]

特别地：(1)当a+〃+c=0时，有a，+/+c?=3a/?c

(2)当c=0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需

要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确

掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解

【分类解析】

1.把/+2。一〃-2。分解因式的结果是()

A.(a—〃)(〃+2)(〃+2)B.(a—/?)(〃+〃+2)

C.(a-b~)(a+h)+2D.(a2-2b)(b2-2a)

分析：a2+2a-b2-2h^a2+2a+1-b2-2b-l^(a+l)2-(b+l)2.

再利用平方差公式进行分解，最后得到(a-0)(a+b+2),故选择B。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同

时要注意分解一定要彻底。

2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用

例：已知多项式2》3-/+根有一个因式是2x+l,求机的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求

出〃，的值。

解：根据己知条件，设2*3—%2+机=(2%+1)(%2+办+功

则2%3-x2+m=2x3+(2a+l)x2+(a+2b)x+b

'2a+l=-1(1)

由此可得＜a+2Z?=0(2)

m-h(3)

由(1)得a=-1

把a=—l代入(2),得b

2

把人=,代入(3),得fn='

22

3.在几何题中的应用。

例：已知a、b、c是A4BC的三条边，+b2+c2-ab-bc-ac=Q,试判断

A43C的形状。

分析：因为题中有a?、b\-出?，考虑到要用完全平方公式，首先要把-"转成-2时。

所以两边同乘以2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。

解：va2+b2+c2-ab-be-ac=0

/.2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0

(a2—2ab4-Z?2)+(/?2-2hc+c2)+(c2—2ac+a2)=0

/.(a—h)2+(b-c)2+(c—a)2=0

v(a-b)2>0,(h-c)2>0,(c-a)2>0

/.a-b=0,b-c=0,c-a=0

:,a—b—c

.•・AA8C为等边三角形。

4.在代数证明题中应用

例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：设这两个连续奇数分别为2〃+1,2〃+3(〃为整数)

则(2〃+3产-(2〃+11

—(2〃+3+2几+1)(2〃+3—2〃—1)

=2(4〃+4)

=8(n+1)

由此可见，(2〃+3)2—(2〃+1)2一定是8的倍数。

5、中考点拨：

例1：因式分解：x3-4xy2=o

解：丁-4A>,2=x(x2—4y2)=x(x+2y)(x-2y)

说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2:分解因式：2x3y+8》2y2+8肛3=。

解：2x3y+8x2y2+8xy3=2xy(x2+4xy+4y=2xy(x+2y)2

说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示：

例1.已知：a=-m+\,b=—m+2,c=—m+3,

222

求a~+2ab+b~—2ac+c--2Z>c的值。

解：ci~+2ab+b"—2ac+c~—2hc

=(a+b)2-2c(a+b)+c2

=(a+b-c)2

1,,1c1

a=—m+l,b=—m+2,c=—m+3

222

原式=(a+b-c)2

-111T

=(—7«+1)+(—/«+2)-(—zn+3)

12

=—tn

4

说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因

式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2.已知a+Z?+c=0,a，+"+c*=0,

求证：a5+b5+c5=0

证明：•.•，『+b、+c3—3abc-(a+b+c)(a2+b~+c2—ab—be—cd)

.,.把a+Z?+c=0,a，+Zr'+c，=0代入-匕式，

可得48c=(),即a=0或b=0或c=0

若a=0,则b=-c,

:.a5+h5+c5=0

若6=0或c=0，同理也有笛+/+。5=o

说明：利用补充公式确定a,b,c的值，命题得证。

例3.若/+J?=27,J一孙+9=9,求炉+产的值。

解：*/x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=27

且％2_孙+y2_9

x+y=3,x2+2xy+y2=9(1)

又Y一孙+丁=9Q)

两式相减得肛=0

所以/+/=9

说明：按常规需求出X,y的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

【实战模拟】

1.分解因式：

(1)3+2)2-(为一1)2(2)X5(x-2y)+x2(,2y-x)

(3)Q-(x-y)-+2a(x—y)'+(x-y)”

2.己知:XH..——3，求X，4...-的值。

XX

3.若mb,。是三角形的三条边，求证：a2-b2-c2-2bc<0

4.已知：CO24-69+1=0,求692"”的值。

333

5.已知a,b,c是不全相等的实数，且"cwO,a+Z?+c=3ahcf试求

(1)a+b+c的值；(2)。('+!)+。(！+!)+。('+')的值。

bccaab

4、用分组分解法进行因式分解

【知识精读】

分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的

关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源

于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简,

求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。

下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。

【分类解析】

1.在数学计算、化简、证明题中的应用

例1.把多项式2aM+a+D+a4+aZ+l分解因式，所得的结果为()

A.(a2+a-l)2B.(a2-a+1)2

C.(a2+a+l)2D.(a2-a-1)2

分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。

解：原式=2a((a2+a+l)+a4+a2+1

=a4+2a3+3a2+2a+l

=(a4+2a3+a2)+(2a2+2a)+1

=(a2+a)2+2(a2+a)+1

=(a2+a+l)2

故选择C

例2.分解因式x5-x4+x3-x2+X-1

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5-x4+x3和-x?+x-1分别

看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x'-X，

x3-x2和X-1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解法1：

原式=(X5-X4+X3)-(X2-X+1)

=(X3-1)(x2-x+1)

=(x-l)(x2+X+l)(x2-X+1)

解法2：

原式=(X5-X4)+(X3-X2)+(X-1)

=x4(x-1)+x2(x-1)+(x-1)

=(x-l)(x4+x2+1)

=(x-l)[(x4+2x2+l)-x2]

=(x-l)(x2+X+l)(x2-X+1)

2.在几何学中的应用

例：已知三条线段长分别为a、b、C,且满足a>b,a2+c2<b2+2ac

证明：以a、b、c为三边能构成三角形

分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第

三边”

证明：va2+c2<b2+2ac

.,.a2+c2-b2-2ac<0

/.a2-2ac+c2-b2<0,BP(a-c)2-b2<0

(a—c+b)(a—c—b)<0

X-/a-c+b>a-c-b

二.a-c+b>0,a—c-b<0

a+b>c,a-b<c

即a—b<c<a+b

/.以a、b、c为三边能构成三角形

3.在方程中的应用

例：求方程x-y=xy的整数解

分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y,

故可考虑借助因式分解求解

解：,/x-y=xy

二.xy—x+y=0

/.xy-x+y-1=-1

即x(y-1)+(y-1)=-1

.-.(y-l)(x+l)=-l

,/x,y是整数

fx+1=1[x+1=-1

.,J或,

[y-l=-l[y-1=1

x=0x=-2

或，

y=0、y=2

4、中考点拨

例1.分解因式：1-m2-n2+2mn=。

解：1—m2—n2+2mn

=1-(m2-2mn+n2)

=I-(m-n)2

=(1+m-n)(l-m+n)

说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一

起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。

例2.分解因式：x2-y2-x+y=

解：x2-y2-x+y=(x2-y2)-(x-y)

=(x+y)(x-y)-(x-y)

=(x-y)(x+y-l)

说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。

例3.分解因式：X3+3X2-4X-12=

解：x3+3x2-4x-12=x3-4x+3x2-12

=x(x2-4)+3(x2-4)

=(x+3)(x+2)(x-2)

说明：分组的目的是能够继续分解。

5、题型展不：

例1.分解因式：m2(n2-1)+4mn-n2+1

解：m2(n2-1)+4mn-n2+1

=m2n2-m2+4mn-n2+1

=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn-n2)

=(mn+I)2-(m-n)2

=(mn-m+n+l)(mn+m—n+1)

说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn,

配成完全平方和平方差公式。

例2.已知：a2+b2=1,c2+d2=1,且ac+bd=O,求ab+cd的值。

解：ab+cd=abx1+cdx1

=ab(c2+d2)+cd(a2+b2)

=abc2+abd2+cda2+cdb2

=(abc2+cdb2)+(abd2+cda2)

=bc(ac+bd)+ad(bd+ac)

=(ac+bd)(bc+ad)

,:ac+bd=0

原式=0

说明：首先要充分利用已知条件a?+b2=l,c2+d2=l中的1（任何数乘以1,其值不

变)，其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=O可算出结果。

例3.分解因式：x3+2x-3

分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=l时，它的值为0,这

就意味着x-1是x3+2x-3的一个因式，因此变形的目的是凑x-1这个因式。

解一(拆项):

x3+2x-3=3x3-3-2x'+2x

=3(x-l)(x2+x+1)-2x(x2-1)

=(x-l)(x2+x+3)

解二(添项)：

X3+2X-3=X3-X2+X2+2X-3

=x2(x-1)+(x-l)(x+3)

=(x-1)(x2+x+3)

说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否

可解？

【实战模拟】

1.填空题：

(1)分解因式：a2-3a-b2+3b=

(2)分解因式：x2-2x-4xy+4y2+4y=

(3)分解因式:1-mn(l-mn)-m3n3=

2.已知：a+b+c=0,求a，+a?c-abc+b%+b，的值。

3.分解因式：炉+a+l

4.已知：x2-y2-z2=0,A是一个关于x,y,z的一次多项式，且Y-y，-z，=(x-y)(x-z)A,试

求A的表达式。

5.证明：(a+b-2ab)(a+b-2)+(l-ab)2=(a-l/(b-l)2

5、用十字相乘法把二次三项式分解因式

【知识精读】

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

%2+（。+圾1+必=（尤+。）（％+。）进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两

个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项a?+bx+c(a、b、C都是整数，且来说，如果存在四个整数

%,G，a2,满足4|。2="，C]Q=c，并且2cl=匕，那么二次三项式

2，

OX+〃X+C即。]。2工2+(atC2+。2。1卜+<:臼可以分解为(。1%+£'|)(42%+。2)。这里要确定

四个常数C,.心，。2,分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画

十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】

1.在方程、不等式中的应用

例1.已知：x2-1lx+24>0,求x的取值范围。

分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。

解：vx2-llx+24>0

(x—3)(x—8)>0

x—3>0x—3<0

\或《

x—8>0x—8<0

二x〉8或x<3

例2.如果/一一+如2-2〃吠一2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值,

并把这个多项式分解因式。

分析：应当把/分成,而对于常数项2,可能分解成(—1)x2,或者分解成

(-2)x1,由此分为两种情况进行讨论。

解：(1)设原式分解为(/+»-1)(/+-+2),其中a、b为整数，去括号，得：

x4+(a+Z2)x，+x2+(2a—b)x—2

将它与原式的各项系数进行对比，得：

a+h=—1,m=1,2a—h=-2m

解得：a=—1,b=0,m=\

此时，原式—(x~+2)(x~—x—1)

(2)设原式分解为(/+5-2)(/+dx+l),其中c、d为整数，去括号，得:

x4+(c+d*-x2+(c-2d)x—2

将它与原式的各项系数进行对比，得：

c+d=-l,m=-Lc-2d=-2m

解得：c=0,d=—1,m——\

此时，原式=卜2-2)(--彳+1)

2.在几何学中的应用

例.已知：长方形的长、宽为x、y,周长为16cm,且满足

x-y-x2+2xy-y2+2^0,求长方形的面积。

分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。

解：*/x-y-x2+2xy-+2=0

(x2-2jcy+y2)-(x-y)-2=0

・•.(x-y)2—(x—y)—2=0

(x-y-2)(x一y+1)=0

「.x—y-2=0或x—y+l=O

又•・•x+y=8

x-y-2=0[x—y+\=0

x+y=S~[x+y=8

x=5x=3.5

解得：4或＜

[y=3y=45

‘长方形的面积为反m?或日加

3、在代数证明题中的应用

例.证明：若4x-y是7的倍数，其中x,y都是整数，则8/+10肛—3产是49的倍数。

分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。

证明一：8x?+10xy-3)P=(2x+3y)(4x-y)

2(2x+3y)-4x+6y=4x-y+7y

•••4x—y是7的倍数，7y也是7的倍数(y是整数)

，2(2x+3y)是7的倍数

而2与7互质，因此，2x+3y是7的倍数，所以8/+10刈-3y?是49的倍数。

证明二：...d尤一y是7的倍数，设4x—y=7m(m是整数)

则y=4x-Im

又8x2+10xy—3y*=(2x+3y)(4x—y)

(2x+12x—2lm)(4x—4x+7附=4x—2Im)=49"2x—3m)

Vx,m是整数，，，《(2%-3机)也是整数

所以，8/+10划一3y2是49的倍数。

4、中考点拨

例1.把4-y2-5%2y2—9y2分解因式的结果是。

解：4x4y2-5x2y2-9y2

-y2(4%4-5x2-9)

=y2(4x2-9)(x2+1)

=y2(x2+l)(2x+3)(2x-3)

说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。

例2.

因式分解：6%2—7x—5=

解：6x2-7x-5=(2x+l)(3x-5)

说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。

5、题型展示

例1.若/一y2+的+5y-6能分解为两个一次因式的积，则m的值为()

A.1B.-lC.±1D.2

解：x2—y2+mx+5y—6=(x+y)(x—y)+mx+5y—6

-6可分解成(-2)x3或(-3)x2,因此，存在两种情况：

(1)x+y*(2)x+y-3

XV

x-y/、3x-y/、2

由(1)可得：加=1,由(1)可得：m=-l

故选择Co

说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再

通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。

例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足(a—。)？=40-a)(c-»。

求证：a-b=b-c

证明：•・,(〃-up=4(Z?-fz)(c—/?)

/.(a-c)2-4(。-a)(c-b)=0

a2-2ac+c1-4Z?c+4ac-4ah+4〃=0

?.(a+c)2-4b(a+c)+4b2=0

(Q+C-2b)2=0

,\a+c-2b=0

:.a-b=b-c

说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。

例3.若工3+5工2+71+。有一因式x+1。求a,并将原式因式分解。

解：vx3+5x2+7工+。有一因式工+1

・•・当x+l=0,即x=—1时，/+7x+a=0

••ci—3

+5x2+7x+3

=x，+x2+4x2+4x+3x+3

=x2(x+1)+4x(x+1)+3(x+1)

=(x+l)(x2+4x+3)

=(x+1)(尤+l)(x+3)

=(x+l)2(x+3)

说明：由条件知，》=—1时多项式的值为零，代入求得a,再利用原式有一个因式是x+1,

分解时尽量出现x+1,从而分解彻底。

【实战模拟】

1.分解因式：

(1)a2h2+l6ab+39(2)15x2n+7x"yn+l-4y2n+2

(3)(x~+3x)—-22(x~+3x)+72

2.在多项式x+Lx+2,x+3,x~+2.x—3>x"+2x—1,x~+2x+3,哪些是多项

式卜2+2x)4-10(%2+2x)2+9的因式？

3.已知多项式2/一/一13了+火有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。

4.分解因式：3工2+5冲一2y之+x+9y—4

5.已知：x+y=05,x+3j=1.2,求3/+12xy+9y?的值。

7、因式分解小结

【知识精读】

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中

代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几

点。

1.因式分解的对象是多项式：

2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5.结果如有相同因式，应写成基的形式；

6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7.因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提,

其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使

得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添

项）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容。

【分类解析】

1.通过基本思路达到分解多项式的目的

例I.分解因式X5f4+x3-x2+x-l

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把X5-X4+X3和-X?+X-1分别

看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x5-x3X3-X2,

X-1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：原式=(X，-X，+xb-(X?-X+1)

=x3(x2-x+1)-(x2-X+1)

=(x3-l)(x2-x+1)

=(x-l)(x2-X+l)(x2+X+1)

解二：原式=(x5f4)+(x3-x2)+(x—l)

=x4(x-1)+x2(x-1)+(x-1)

=(x-l)(x4+X2+1)

=(x-l)[(x4+2x2+l)-x2]

=(x-l)(x2-X+l)(x2+X+1)

2.通过变形达到分解的目的

例1.分解因式X3+3X?-4

解一：将3x2拆成2x?+x2,则有

原式=x3+2x2+(x2-4)

=X2(X+2)+(X+2)(X-2)

=(x+2)(x2+x-2)

=(x-l)(x+2)2

解二：将常数T拆成-1-3,则有

原式=X3—1+(3X2-3)

=(x-1)(x2+x+1)+(x-l)(3x+3)

=(x-l)(x2+4x+4)

=(x-l)(x+2)2

3.在证明题中的应用

例：求证：多项式a2-4)(x2-10X+21)+100的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项

式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：(x2—4)(x2—10x+21)+100

=(x+2)(x-2)(x-3)(x-7)+100

=(x+2)(x-7)(x-2)(x-3)+100

=(x2-5x-14)(x2-5x+6)+100

设y=x?-5x,贝！］

原式=(y-14)(y+6)+100=y2-8y+16=(y-4产

无论y取何值都有(y-4/>0

.•.(x2-4)(x2-10x+21)+100的值一定是非负数

4.因式分解中的转化思想

例:分解因式：(a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b,b+c与a+2b+c的关系，努力

寻找一种代换的方法。

解：设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B

原式=(A+B)3-A3-B'

=A3+3A2B+3AB2+B3-A3-B3

=3A2B+3AB2

=3AB(A+B)

=3(a+b)(b+c)(a+2b+c)

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨：

例I.在AABC中,三边a,b,c满足a2-16b2-c2+6ab+lObc=0

求证：a+c=2b

证明：va2-16b2-c2+6ab+lObc=0

a2+6ab+9b2-c2+lObc-25b2=0

即(a+3b/-(c-5b尸=0

(a+8b-c)(a-2b+c)=0

,/a+b>c

a+8b>c,即a+8b-c>0

于是有a-2b+c=0

即a+c=2b

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

例2.已知：x+-=2,则*3+与=__________

XX3

解：X3+4=(x+—)(x2-1+—)

X-XX

=(X+1)[(X+-)2-2-1]

XX

=2x1

=2

说明：利用*2+口=(*+!)2-2等式化繁为易。

XX

题型展示：

1.若X为任意整数，求证：(7-*)(3-刈(4-*2)的值不大于100。

解：v(7-X)(3-X)(4-X2)-100

=_(x-7)(x+2)(x-3)(x-2)-100

=-(x2-5x-14)(x2-5x+6)-100

=-[(x2-5x)-8(x2-5x)+16J

=-(x2-5x-4)2<0

.■.(7-X)(3-X)(4-X2)<100

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100,即要求它们

的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。

2.将a?+(a+I)2+(a2+a)2分解因式，并用分解结果计算62+72+422。

解：a2+(a++(a2+a)2

=a2+a2+2a+l+(a2+a)2

=2(a2+a)+1+(a2+a)2

=(a2+a+I)2

62+72+422=(36+6+I)2=432=1849

说明：利用因式分解简化有理数的计算。

【实战模拟】

1.分解因式：

(1)3x5-10x4-8x3-3x2+lOx+8

(2)(a2+3a-3)(a2+3a+l)-5

(3)x2-2xy-3y2+3x-5y+2

(4)x3-7x+6

2.已知：x+y=6,xy=-l,求：x^+yS的值。

3.矩形的周长是28cm,两边x,y使x3+x2y-xy2-y'=0,求矩形的面积。

4.求证：n3+5n是6的倍数。（其中n为整数）

5.已知：a、b>c是非零实数，Ka2+b2+c2=1,a(—+-)+b(-+-)+c(-+—)=-3,求a+b+c

bccaab

的值。

6.已知：a、b、c为三角形的三边,比较a?+b2-c2和4a2b2的大小。

10、分式的运算

【知识精读】

1.分式的乘除法法则

ac_ac

bdbd

—a—c—a•—d-a-d

bdbcbe

当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2.分式的加减法

（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：

①取各分母系数的最小公倍数；

②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的基的因式都要取；

③相同字母（或含有字母的式子）的幕的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则

aba±b

-±—--------

（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3.分式乘方的法则

啖（n为正整数）

4.分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重

要应用。学习时应注意以下几个问题：

（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；

（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；

（3）运算中及时约分、化简；

（4）注意运算律的正确使用；

（5）结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四则运算。

【分类解析】

,.、，幺—x—2x~+x—6,,,,„„

例1：计算—--------十---------的结果是（)

x~~x—6%~+九一2

X2-1%2+1

D.—

X2-9无2+3

分析：原式二(二一2)(%+1)+。+3)。—2)

(x—3)(x+2)(x+2)(x—1)

_(x-2)(x+1)(x+2)(x—1)

(x-3)(x+2)(x+3)(x-2)

_(x+l)(x-1)

(x+3)(x-3)

x2-1

x2-9

故选C

说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

例2：已知Hc=l,求---+---+---的值。

1Z?C+/?+1QC+C+1

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用。儿替换待求式中的“1”，将三个分式化

成同分母，运算就简单了。

eh—aababc

解：原式=-；------—---------——+------；------

。+1abc+。力+。abc+abc+ab

aababc

=--------1---------1--------

次?+。+11+。/7+。Q+l+ab

_a+ab+\

+a+1

例3：已知：2/n-5n=0,求下式的值：

/<nm八nm、

(1+---------)x4-(1+----------)

mm—nmm+n

分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分

子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个

字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。

e八〃m、“nm、

解：(1+---------)+(1+----------)

mm-nmm+n

m(m-n)+n(m-n)-m+n)+n{m+n)-m

m(m-n)mQn+n)

-nm(m+ri)

m(m-n)-n

m+n

m-n

5

2m-5n=0m=—n

2

5

—n+n737

故原式-----—n+—n=一