高中数学《正切函数的性质与图象》导学案

1.4.3正切函数的性质与图象

卜课前自主预习

1.正切函数的图象

(1)正切函数的图象

(2)正切函数的图象叫做田正切曲线.

(3)正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线②x=

兀

所隔开的无穷多支曲线组成的.

2+

2.正切函数的性质

(1)正切函数的性质

函数y=tarn

定义域区pJT才£R且才中方+万冗次eZ

值域ER

周期最小正周期为固|式

奇偶数回奇函数

团在每个开区间(—标十£式,£~十£吟）（在

单调性乙乙

Z)上都是增函数

⑻（”,o）及ez

对称中心

\乙

IT

(2)函数y=tan①x(toWO)的最小正周期是②茴.

U自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“义”)

(1)正切函数的定义域和值域都是R.()

(2)正切函数在整个定义域上是增函数.()

(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值.()

(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形.()

答案(1)X(2)X⑶J(4)X

2.做一做

(1)尸tan_r()

A.在整个定义域上为增函数

B.在整个定义域上为减函数

C.在每一个开区间(一1+E,5+E](Z£Z)上为增函数

TT7T

D.在每一个闭区间一]+E(%£Z)上为增函数

答案C

解析由正切函数的图象及性质易知C正确.

(2)―tan(x—施定义域是()

,兀,兀

A..x丐1IB.jxxW-a>

713兀

C.jD.jx杼攵兀+干>

答案D

jrTT37r

解析由x—wN]+E(k£Z)得xW彳+E,kGZ.

(3)函数y=2tan(3%+皆的最小正周期是.

答案|

解析fV

(4)(教材改编P47T2)函数y=tanQ-§的增区间为.

答案,*，Z：jr+y^ez)

解析由匕r—朱JL京E+与，即也一，<x<E+些.,.所求函数的

232。o

增区间为,*,E+普)(%£Z).

卜课堂互动探究

探究1正切函数的基本性质

例1求函数尸tan住一号的定义域、最小正周期、单调区间和

对称中心.

解①由鼻一三2女冗+与kez,得

,5TI

xW3左兀+2，kGZ.

、571

，函数的ZE义域为卜％#3也+5，kGZ

②7=导3兀，.,.函数的最小正周期为3兀

3

]17TX7C,.7C

③由E—1〈g—W<击+,，kez,

解得3E一,V%V3E+¥，kGZ.

.•.函数的单调递增区间为(3祈一看3E+乳

kj无单调递减区间.

1X兀klL/pq

④由1_；=y,kGZ,侍

%=磬^+兀，kez.

.•・函数的对称中心是殍+兀，o],kez.

拓展提升

求函数周期与单调区间的方法

JT

(1)一般地，函数y=Atan(cox+9)的最小正周期为T=向，常常利

用此公式来求周期.

(2)求函数y=Atan(①x+g)(A,co,夕都是常数)的单调区间的方法

若①>0,由于y=tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用

TTJT

“整体代换”的思想，令阮音<5+夕如+会kGZ,解得X的范围

即可.

若①<0,可利用诱导公式先把％的系数化为正值，再利用“整体

代换”的思想，求得工的范围即可.

(3)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原

点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断八一工)与/(%)

的关系.

【跟踪训练1】求函数尸一2tan|产+外的定义域、值域，并指

出它的周期、奇偶性和单调性.

IT7T

解①:3x+gW]+E,Z&Z,

/.定义域为彳x+送+墨mZ

②函数的值域为R

③函数的最小正周期为T=j.

④，：我一心差/(%)且八一x)W-fix),

...函数为非奇非偶函数.

⑤,.,一]+E<3%+§V1+hr,kGZ,

.5TThrnkn

',-T8+T<-r<18+T,kS,

.--J喻——AL、/5K.htit.kit],

..函数My=-2tan[3%।+]J在每一个区间丁，同+了｝

Z上单调递减.

探究2正切函数的单调性及应用

例2(1)求函数y=tan(5—T的单调区间；

(2)比较tan[一丁J与tan1一石-J的大小；

(3)已知"X)=tar?%—2taru^|x|W,求八%)的值域.

兀171Tl713兀

解⑴由E—5V5%—Z〈E+5("£Z),得2E—5V%〈2E+~y,

kGZ,

所以函数尸tan&：—/)的单调递增区间是(2E一32E+当卜

ez).

(2)由于tan1一号，=tan］..37fl37r7i(127r

—47r+^l=tan-^=—tan4,tanly-

(-.27fl2兀

—tanl2K+5J=—tan-^-,

r„,冗litTt

又°<广59，

而y=tanv在(0,m上单调递增，

匕匕1、)兀,27rTt27r

所以tan4<tan5,一tan^>—tan-y,

.(13^(127rl

即tan1-7-J>tan［一

(3)令tanx=7,

由则/£小，小］.

即有y=i2—2t=(t—I)2—1,

则y在［―仍，1］上单调递减，在［1,正］上单调递增.

...)的最大值为3+2，§,最小值为-1.

.•.«r)的值域为［-1,3+2仍］.

［条件探究］把例2(1)改为求y=tan］—%+空的单调区间.

贝I」由十］(%£Z),得

兀3冗

2kn—2<x<2k7t-［--Y(kGZ).

.,.函数y=tan(一的单调递减区间是

C,Ti小，,3兀),

\2kjt-2?2E+爹Z).

拓展提升

运用正切函数的单调性比较大小的方法

⑴运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.

⑵运用单调性比较大小关系.

【跟踪训练2】⑴比较tanl,tan2,tan3的大小；

(2)求函数y=3tan*—20的单调区间.

解(1)因为tan2=tan(2一兀)，

tan3=tan(3—7t).又因为2V2V兀，所以一］V2一兀＜0.因为/V3

'11

<7t,所以一］<3—TTVO.显然一1V2—兀<3—

又产tan%在(一支胃内是增函数，

所以tan(2—7T)<tan(3—TT)<tan1,

即tan2<tan3<tanl.

(2)y=3tan住一2%)

=—3tanl2x—^1,

由一］+EV2%—4Vl+E(%£Z),得

n、kit_3n,kit,~、

一黄彳＜％〈吊~+万(%£Z),

所以尸3tan［j—可的单调递减区间为

冗，

1C-g7i+,5kn,y3+yk£p\e,z).

探究3正切函数图象的应用

例3画出函数y=|tan_r|的图象，并根据图象判断其单调区间、

奇偶性、周期性.

解y=\tanx\=

taar,%£kit,左兀+/(%£Z),

——taru,kn\(k^Z).

作出其图象(如图)，由图象知函数y=|taM的单调递减区间为

(包一^,司(%£Z),单调递增区间为kit,E+野(HZ).

由图象可知该函数是偶函数，且周期为兀

拓展提升

作函数y=l/(%)l以及周期函数图象的方法

(1)作出函数y=4x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是:

①保留函数y=/U)的图象在无轴上方的部分；

②将函数y=/U)的图象在％轴下方的部分沿％轴向上翻折.

(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周

期性，延展到定义域上即可.

【跟踪训练3】设函数段)=tan住一3

(1)求函数«x)的周期，对称中心；

(2)作出函数1X)在一个周期内的简图.

解(l)VXx)=tan^-d,

IJFJF

・•・①=5，.•・周期T=/=y=2兀,

2CO

2

由.一々="(%£Z),得％=%加+,(2£2),

乙J乙

故函数的对称中心是(也+专，o),kGZ.

,_,人x兀八,口2兀

(2)令］—^=0,付了=可,

令人X厂兀厂》71何,曰产于5瓦

人X7T7T/日兀

?/—§=一］,付％=一§.

函数於)=tan(U的图象与％轴的一个交点坐标是修0),

1.通过函数y=tanx,工£3郛勺作图将发现：函数的图象过

(0,0)三点，以直线％=±3为渐近线，这样根据

这三点两线就可以大体勾画出正切函数图象的草图.

2.正切函数y=taor在整个定义域上不具有单调性，但在每一个

区间，兀一方，E+加:£Z）上具有单调性，是增函数.在求函数尸

tan（3x+9）（①W0）的单调区间时，首先保证①〉0,否则就先利用诱导

公式化为正，再利用整体代换的方法求出单调区间.

3.函数y=tanx的图象的对称中心有两类：一类是图象与入轴的

交点,即（祈，O）（k《Z）,另一类是图象渐近线与％轴的交点，即

,兀十宗0）（%£Z）,这两类对称中心可以合并为隹oj（Z：ez）.

卜课堂达标自测

1.函数y=5tan0+1的一个对称中心是（）

A.年,0）B.停,-3同

C.[-y,0）D.（0,0）

答案C

解析由争%£Z）,得％=2E—牛（%£Z）.令2=0,得函

数y=5tan[5+2）的一个对称中心是（一号，0）.故选C.

2.下列函数中，同时满足：①在（0,号上是增函数，②为奇函数，

③以兀为最小正周期的函数是（）

A.y=tanxB.y=cos%

x

C.y=tan]D.y=|sinx|

答案A

解析经验证，选项B,D中所给函数都是偶函数，不符合；选

项C中所给函数的周期为2兀故选A.

3.与函数y=tan(2%+：)的图象不相交的一条直线是()

7T71一兀—71

A.x-2B.%=-5C.D.x=g

答案D

解析令2%+?=祈+笈£Z),得尸与+依£Z),所以与函数

4ZZo

图象不相交的一条直线为x="

O

4.一tan,与tan(一用的大小关系是

依m67r(13兀]

答案一tanw<tan[—wj

4774_L6兀71I13K3兀

解析一tanj-=-tang,tan|=­tarn^-二一tan亍.

7r7T37r7T37r

因为0<g<2<-^-<兀，所以tang>0,tan^-<0.

瓦37T„„6兀(137fl

所以一tan§<—tan与，即一tan-y<tanl—J.

5.求函数y=tan(g—目的定义域、周期及单调区间.

17T71

解由*一工/不+女兀，得

Zo2

4兀

所以函数y=tan&一春的定义域为

4兀

，xx/亍+2%兀，kGZ\

TT

因为丁=1=2兀,

2

所以函数丫=12”1%一"的周期为27r.

7T1717r

由一得

52+2EVo*—2%£Z,

—金+2%兀<%〈华+22兀，％£Z.

所以函数y=tan（5一卷）的单调递增区间为（一堂+2配，专+2同

（%£Z）.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一'选择题

1.下列关于函数产12111+习的说法正确的是（）

A.在区间V，焉上单调递增

B.最小正周期是兀

C.图象关于点你0）成中心对称

D.图象关于直线％成轴对称

答案B

jr7T7T

解析对于A,由hr—]<%+§<hr+/,%£Z,得

57rjr

E—7o-V%<oA兀+z，%£Z.当k=0时，函数的单调递增区间为

三）

I6,6）

当仁1时，函数的单调递增区间为京到故错误；对于B,

函数的最小正周期为7=兀，B正确；对于C,由％+卜祟MZ,

J乙

得广兰+第kGZ,即函数段）的对称中心为（冶+竽，0）,kGZ,

C错误；对于D,正切函数没有对称轴，D错误.故选B.

2.函数兀0=*惠的奇偶性是()

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数，又是偶函数

D.既不是奇函数，也不是偶函数

答案A

解析要使函数五%)有意义，必须满足

|Z),兀

j2即％WE+],且％W(2%+1)兀(Z£Z),...函

ll+cosx^O,

tan（r）_tanx

数八X）的定义域关于原点对称.又人一工）

1+cos（—JC）1+cosx

於），..於）-1+cos%是奇函虬

3.下列各式中正确的是（）

47r37T

A.tany>tan^r

（13始（17始

B.tanl-l<tanl-1

C.tan4>tan3

D.tan281°>tan665°

答案c

4兀37r

解析对于A,tairy<0,tarry>0.

对于B,tan（一?）=tan（—V=-1,

Tt

tanLT尸an〔一司=-tarry—"吁

.（13研（17由

..tanl4l>tanl51.

对于C,tan4>0,tan3<0,故tan4>tan3.

对于D,tan281°=tanl010<tan665°=tanl25°.

jr

4.函数兀r)=tano>x(①>0)的图象的相邻两支截直线所得的

线段长为全则周的值是()

71

A.0B.1C.-1D.a

答案A

解析由题意，可知丁=?所以①=；=4,即兀r)=tan4x,所以

4

用=tan(4xT=tan兀=0,故选A.

(兀3九、

5.函数y=tanx+sirLr—|tanx-sinx|在区间句内的图象是

()

CD

答案D

jr

解析当/<xV兀时，tanxVsinx,y=2taax<0,排除A,B.当

兀<%V竽时，tanx>sirir,y=2sinx,排除C.故选D.

二'填空题

6.已知/(x)=asirLx+"anx+l满足.g)=7,则./(等)=.

答案一5

(兀、TTTT

解析—asin^+Z?tan^+1=7,

asing+btang=6.

=­«sin^—Z?tan^+1

'.71.,7fll

=—^asin^+Z?tan^J+1=-5.

7.设点P(x(),州)是函数y=tanx与尸一x,%£修兀］图象的交

点，则。8+1)cos2%o的值是.

答案1

解析，..点P(%o,yo)是函数y=tan_r与y