2025届山西省稷山县九上数学期末综合测试模拟试题含解析

2025届山西省稷山县九上数学期末综合测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．下列命题是真命题的是（）A．如果a+b＝0，那么a＝b＝0 B．的平方根是±4C．有公共顶点的两个角是对顶角 D．等腰三角形两底角相等2．圆锥的底面直径为30cm，母线长为50cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角为()A．108° B．120° C．135° D．216°3．若点、、都在反比例函数的图象上，并且，则下列各式中正确的是（）A． B． C． D．4．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．5．已知二次函数，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且满足，则当时，的值为（）A． B． C． D．6．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是A．5 B．6 C．7 D．87．如图是由6个大小相同的小正方体叠成的几何体，则它的主视图是()A． B．C． D．8．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A． B． C． D．9．如图，点A、点B是函数y=的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积是4，则k的值是（）A．-2 B．±4 C．2 D．±210．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断11．若函数y＝的图象在其象限内y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m>2 B．m＜2 C．m>-2 D．m＜-212．为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：甲26778乙23488关于以上数据，说法正确的是（）A．甲、乙的众数相同 B．甲、乙的中位数相同C．甲的平均数小于乙的平均数 D．甲的方差小于乙的方差二、填空题（每题4分，共24分）13．若长方形的长和宽分别是关于x的方程的两个根，则长方形的周长是_______．14．反比例函数的图象在一、三象限,则应满足_________________.15．已知：如图，在平面上将绕点旋转到的位置时，，则为__________度．16．甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差S甲2＝6.5分2，乙同学成绩的方差S乙2＝3.1分2，则他们的数学测试成绩较稳定的是____（填“甲”或“乙”）．17．如图，直线与双曲线（k≠0）相交于A（﹣1，）、B两点，在y轴上找一点P，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为_________.18．如图，点M是反比例函数（）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为______．三、解答题（共78分）19．（8分）在不透明的袋中有大小形状和质地等完全相同的个小球，它们分别标有数字，从袋中任意摸出一小球(不放回)，将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球．（1）请你用列表或画树状图的方法表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果；（2）规定：如果摸出的两个小球上的数字都是方程的根，则小明贏；如果摸出的两个小球上的数字都不是方程的根，则小亮赢．你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由．20．（8分）如图，平面直角坐标系内，二次函数的图象经过点，与轴交于点.求二次函数的解析式；点为轴下方二次函数图象上一点，连接，若的面积是面积的一半，求点坐标.21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数的图像与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A(－1，0)和点D．(1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请说明理由．22．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．23．（10分）如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．24．（10分）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点.（1）点的坐标为，点的坐标为；（用含有的代数式表示）（2）连接.①若平分，求二次函数的表达式；②连接，若平分，求二次函数的表达式.25．（12分）如图，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象与x轴交于点A、B（B在A右侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积．26．如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF分别交边AC、BC于点E、F，且．（1）求的值；（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【详解】解：A、如果a+b=0，那么a=b=0，或a=﹣b，错误，为假命题；B、=4的平方根是±2，错误，为假命题；C、有公共顶点且相等的两个角是对顶角，错误，为假命题；D、等腰三角形两底角相等，正确，为真命题；故选D．2、A【分析】先根据圆的周长公式求得底面圆周长，再根据弧长公式即可求得结果．【详解】解：由题意得底面圆周长=π×30=30πcm，解得：n=108故选A．【点睛】本题考查圆的周长公式，弧长公式，方程思想是初中数学学习中非常重要的思想方法，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意．3、B【分析】根据反比例函数的图象特征即可得．【详解】反比例函数的图象特征：（1）当时，y的取值为正值；当时，y的取值为负值；（2）在每个象限内，y随x的增大而增大由特征（1）得：，则最大由特征（2）得：综上，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象特征，掌握理解反比例函数的图象特征是解题关键．4、A【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称的定义逐一判断即可.【详解】A选项是中心对称图形,也是轴对称图形,故A符合题意;B选项是中心对称图形,不是轴对称图形,故B不符合题意;C选项不是中心对称图形,是轴对称图形,故C不符合题意;D选项是中心对称图形,不是轴对称图形,故D不符合题意.故选：A.【点睛】此题考查的是中心对称图形的识别和轴对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解决此题的关键.5、A【分析】根据，求得m＝3或−1，根据当x＜−1时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，从而判断m＝-1符合题意，然后把x＝0代入解析式求得y的值．【详解】解：∵，∴m＝3或−1，∵二次函数的对称轴为x＝m，且二次函数图象开口向下，又∵当x＜−1时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，∴−1≤m≤0∴m＝-1符合题意，∴二次函数为，当x＝0时，y＝1．故选：A【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意确定m＝-1是解题的关键．6、B【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=AB=在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+()2，解得，OA=4∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键7、C【分析】找到从正面看所得到的图形即可．【详解】解：它的主视图是：故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是解题的关键.8、C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误；故选：C.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断.9、C【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，∴k＞0，∵BC∥x轴，AC∥y轴，∴S△AOD=S△BOE=k，∵反比例函数及正比例函数的图象关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∴S矩形OECD=1△AOD=k，∴S△ABC=S△AOD+S△BOE+S矩形OECD=1k=4，解得k=1．故选C．【点睛】本题考查反比例函数的性质．10、A【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．11、B【分析】先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】∵函数y＝的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴m−1＜0，解得m＜1．

故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键．12、D【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得.【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7，排序后最中间的数是7，所以中位数是7，，=4.4，乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8，排序后最中间的数是4，所以中位数是4，，=6.4，所以只有D选项正确，故选D.【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、6【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据根与系数的关系得a+b=3，即可得到结论．【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，根据题意得，a+b=3，所以长方形的周长是2×（a+b）=6.故答案为：6.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=.14、【分析】根据条件反比例函数的图象在一、三象限,可知k+2＞0，即可求出k的取值.【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限,∴＞0，∴k+2＞0，∴故答案为：【点睛】难题考察的是反比例函数的性质，图象在一三象限时k＞0,图象在二四象限时k＜0.15、1【分析】结合旋转前后的两个图形全等的性质以及平行线的性质，进行计算．【详解】解：∵AA′∥BC，

∴∠A′AB=∠ABC=65°．

∵BA′=AB，

∴∠BA′A=∠BAA′=65°，

∴∠ABA′=1°，

又∵∠A′BA+∠ABC'=∠CBC'+∠ABC'，

∴∠CBC′=∠ABA′=1°．

故答案为：1．【点睛】本题考查旋转的性质以及平行线的性质．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．16、乙【分析】根据方差越小数据越稳定即可求解．【详解】解：因为甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同且S甲2＞S乙2，所以乙的成绩数学测试成绩较稳定．故答案为：乙．【点睛】本题考查方差的性质，方差越小数据越稳定．17、（0，）．【解析】试题分析：把点A坐标代入y=x+4得a=3，即A（﹣1，3），把点A坐标代入双曲线的解析式得3=﹣k，即k=﹣3，联立两函数解析式得：，解得：，，即点B坐标为：（﹣3，1），作出点A关于y轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，使得PA+PB的值最小，则点C坐标为：（1，3），设直线BC的解析式为：y=ax+b，把B、C的坐标代入得：，解得：，所以函数解析式为：y=x+，则与y轴的交点为：（0，）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．18、1【解析】解：设A的坐标是（m，n），则mn=2，则AB=m，△ABC的AB边上的高等于n，则△ABC的面积=mn=1．故答案为1．点睛：本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，△ABC的面积=|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）公平，理由见解析．【分析】（1）可以利用树状图表示出所有的可能出现的结果；

（2）分别求得两人赢的概率，判断是否相等即可求解．【详解】(1)利用树状图表示为：；(2)公平；解方程得：，根据树状图知，共有12种情况，小明赢的情况有：3，4和4，3两种，因而小明赢的概率是：，小亮赢的情况有：1，2和2，1两种，小亮赢的概率是：小亮赢的概率是：，两人赢的机会相等，因而双方公平．【点睛】本题主要考查了列表法和树状图法、游戏公平性的判断，一元二次方程的求解．解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．20、（1）；（2）点坐标为或【分析】（1）根据A、B、C三点坐标，运用待定系数法即可解答；（2）由的面积是面积的一半，则D点的纵坐标为-3，令y=3，求得x的值即为D点的纵坐标.【详解】解:设D的坐标为（x，yD）∵的面积是面积的一半∴，又∵点在轴下方，即.令y=-3，即解得:，，∴点坐标为或【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式和三角形的面积，确定二次函数解析式并确定△ABD的高是解答本题的关键.21、（1）；（2）D的坐标为（3，0），顶点坐标为（1，）；（3）满足条件的点P有两个，坐标分别为P1(，)、P2()．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

（2）根据二次函数的解析式得点D的坐标，将解析式化为顶点式可得顶点的坐标；

（3）设P的坐标为P（x，y），到y轴的距离为|x|，则S△BOP=•BO•|x|，解出x=±，进而得出P点坐标．【详解】解：(1)把点A(－1，0)和点B(0，4)代入二次函数中得：解得：所以二次函数的解析式为：；（2）根据（1）得点D的坐标为（3，0），=，∴顶点坐标为（1，）；(3)存在这样的点P，设P的坐标为P(x，y)，到y轴的距离为∣x∣∵S△BOP＝•BO•∣x∣∴＝×4•∣x∣解得：∣x∣＝所以x＝±把x＝代入中得：即：y＝，把x＝－代入中得：即：y＝－∴满足条件的点P有两个，坐标分别为P1(，)、P2()．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线的顶点坐标以及三角形面积等知识，掌握二次函数的性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．22、（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）P（3，﹣）；（3）点P（2，﹣3），最大值为12【分析】（1）用交点式设出抛物线的表达式，化为一般形式，根据系数之间的对应关系即可求解；（2）根据（1）中的表达式求出点C（0，-3），函数对称轴为：x=1，则点D（2，-3），点E（4，-3），当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，点P在线段DE的中垂线上，据此即可求解；

（3）求出直线BC的表达式，设出P、H点的坐标，根据四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BHP+S△CHP进行计算，化为顶点式即可求解．【详解】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣2a＝﹣，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）当x=0时，y=-3，故点C的坐标为（0，﹣3），函数对称轴为：x＝=1，∵CE∥AB∴点D（2，﹣3），点E（4，﹣3），则DE的中垂线为：x＝＝3，当x＝3时，y＝x2﹣x﹣3＝﹣，故点P（3，﹣）；（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（4，0）C（0，﹣3）代入得：解得：∴直线BC的表达式为：y＝x﹣3，故点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3）；四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BHP+S△CHP＝3×6+HP×OB＝9+×4×（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x+9=，∵﹣＜0，故四边形ACPB的面积有最大值为12，此时，点P（2，﹣3）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，掌握中点坐标公式及作辅助线的方法是关键．23、（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】解：（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=，∴，解得OD=1，∴=2，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．24、（1），；（2）①，②【解析】（1）令y=0，解关于x的方程，解方程即可求出x的值，进而可得点B的坐标；把抛物线的解析式转化为顶点式，即可得出点D的坐标；（2）①如图1，过点作，交于点，作DF⊥y轴于点F，则易得点C的坐标与CF的长，利用BH的长和∠B的正切可求出HE的长，进而可得DE的长，由题意和平行线的性质易推得，然后可得关于m的方程，解方程即可求出m的值，进而可得答案；（3）如图2，过点B作BK∥y轴，过点C作CK∥x轴交BK于点K，交DH于点G，连接AE，利用锐