新八年级数学讲义第11讲分式方程-满分班(学生版+解析)

第11讲分式方程1分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.【例题精选】例1(2023秋•兴安盟期末）下列关于x的方程中，是分式方程的是（）A．﹣3＝ B．﹣﹣ C．＝3﹣x D．＝1【随堂练习】1．(2023秋•嘉定区期末）下列关于x的方程：+x＝1，＝，＝，＝2中，分式方程的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2分式方程的解【例题精选】例1(2023•富阳区一模）若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，求m的值，3解分式方程解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.【例题精选】例1(2023•道外区二模）方程＝的解为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．无解例2(2023•南岗区校级三模）方程＝的解为（）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝【随堂练习】1．(2023•唐山一模）使分式和分式相等的x值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣12．(2023•平房区一模）分式方程的解为（）A．x＝﹣4 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝33．(2023•南充模拟）解方程，结果是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．无解4分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【例题精选】例1(2023•景洪市一模）某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？例2(2023•黄冈一模）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？【随堂练习】1.(2023•路北区一模）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（）A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务 B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务 C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务 D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务2.(2023•柳州）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？综合练习一．选择题（共2小题）1．解分式方程﹣＝时，去分母后得到的方程正确的是（）A．x﹣2x+1＝x﹣1 B．2x﹣4x+2＝x﹣1 C．2x+4x﹣2＝x﹣1 D．x+2x﹣1＝x﹣12．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程﹣＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成 B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成 C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成 D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成二．解答题（共5小题）3．解方程：﹣＝14．某自动化车间计划生产40个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序升级改造，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求升级改造前每小时生产多少个零件？5．解下列分式方程：（1）＝1（2）＝﹣36．某商店第一次用300元购进2B铅笔若干支，第二次又用300元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于210元，问每支售价至少是多少元？7．服装店去年10月以每套500元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额14000元，进入11月份搞促销活动，每件降价50元，这样销售额比10月份增加了5500元，售出的件数是10月份的1.5倍．（1）求每件羽绒服的标价是多少元；（2）进入l2月份，服装店决定把剩余羽绒服按10月份标价的八折销售，结果全部卖掉，而且这批羽绒服总获利不少于15000元，问这批羽绒服至少购进多少件？第11讲分式方程1分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.【例题精选】例1(2023秋•兴安盟期末）下列关于x的方程中，是分式方程的是（）A．﹣3＝ B．﹣﹣ C．＝3﹣x D．＝1分析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．【解答】解：A、C选项项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B选项不是方程．D选项中的方程分母中含未知数x，故是分式方程，故选：D．【点评】考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．【随堂练习】1．(2023秋•嘉定区期末）下列关于x的方程：+x＝1，＝，＝，＝2中，分式方程的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：＝不是分式方程，是整式方程，故选：C．2分式方程的解【例题精选】例1(2023•富阳区一模）若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，求m的值，分析：方程两边都乘以x﹣1得到整式方程，解之求得x＝m﹣2，结合x＝2求解可得．【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得：m﹣3＝x﹣1，解得x＝m﹣2，∵x＝2，∴m﹣2＝2，解得m＝4．【点评】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3解分式方程解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.【例题精选】例1(2023•道外区二模）方程＝的解为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．无解分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x+1＝2，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．故选：D．【点评】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．例2(2023•南岗区校级三模）方程＝的解为（）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：6x＝27x﹣9，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．故选：B．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【随堂练习】1．(2023•唐山一模）使分式和分式相等的x值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【解答】解：根据题意得：＝，去分母得：x2﹣x＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝﹣3，经检验x＝﹣3是分式方程的解．故选：C．2．(2023•平房区一模）分式方程的解为（）A．x＝﹣4 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝3【解答】解：去分母得：4x﹣4＝3x，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．故选：C．3．(2023•南充模拟）解方程，结果是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．无解【解答】解：去分母得：x＝x+1，此时整式方程无解，则分式方程无解．故选：D．4分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【例题精选】例1(2023•景洪市一模）某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批饮料进货单价多少元？（2）若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？分析：（1）设第一批饮料进货单价为x元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）由数量＝总价÷单价可得出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为y元/瓶，根据利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价结合获利不少于2700元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，依题意，得：＝3×，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．答：第一批饮料进货单价是4元/瓶．（2）由（1）可知：第一批购进该种饮料450瓶，第二批购进该种饮料1350瓶．设销售单价为y元/瓶，依题意，得：（450+1350）y﹣1800﹣8100≥2700，解得：y≥7．答：销售单价至少为7元/瓶．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．例2(2023•黄冈一模）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？分析：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量＝总工作量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）由（1）可求出甲、乙单独施工所需天数，再利用两队合作完工所需时间＝总工作量÷（甲队一天完成的工作量+乙队一天完成的工作量），即可求出结论．【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，依题意，得：+＝1，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．答：这项工程的规定时间是30天．（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，1÷（+）＝18（天）．答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【随堂练习】1.(2023•路北区一模）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为，根据方程可知省略的部分是（）A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务 B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务 C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务 D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务【解答】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，∵所列分式方程为﹣＝30，∴为实际工作时间，为原计划工作时间，∴省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务．故选：C．2.(2023•柳州）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？【解答】解：（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，依题意，得：＝，解得：x＝0.5，经检验，x＝0.5是原方程的解，且符合题意，∴x+0.3＝0.8．答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15，解得：m≤．∵m为正整数，∴m的最大值为8．答：大本作业本最多能购买8本．综合练习一．选择题（共2小题）1．解分式方程﹣＝时，去分母后得到的方程正确的是（）A．x﹣2x+1＝x﹣1 B．2x﹣4x+2＝x﹣1 C．2x+4x﹣2＝x﹣1 D．x+2x﹣1＝x﹣1【解答】解：去分母得：2x+2（2x﹣1）＝x﹣1，即2x+4x﹣2＝x﹣1，故选：C．2．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题，需铺设一条长4000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程﹣＝20，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（）A．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天完成 B．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天完成 C．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成 D．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成【解答】解：∵利用工作时间列出方程：﹣＝20，∴缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成．故选：C．二．解答题（共5小题）3．解方程：﹣＝1【解答】解：2（x+1）2﹣（x﹣1）2＝x2﹣16x＝﹣2，经检验，x＝﹣是原方程的根，所以原方程的解为：x＝﹣．4．某自动化车间计划生产40个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序升级改造，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求升级改造前每小时生产多少个零件？【解答】解：设升级改造前每小时生产x个零件，则升级改造前每小时生产（1+）x个零件，依题意，得：﹣＝+，解得：x＝10，经检验，x＝10是所列分式方程的解，且符合题意．答：升级改造前每小时生产10个零件．5．解下列分式方程：（1）＝1（2）＝﹣3【解答】解：（1）去分母