高一(下)期末数学试卷4(附解析)

高一（下）期末数学试卷4（附解析）

一、选择题：每小题5分，共60分.

1.（5分）直线后-y+l=0的倾斜角为（）

A.—B.—C."D.匹

6336

2.（5分）计算sin95°cos50°-cos95°sin50°的结果为（）

A.-返B.1C.返D.返

2222

3.（5分）已知圆锥的底面直径与高都是4,则该圆锥的侧面积为（）

A.4TlB.4V3TTC.4折D.8

4.（5分）已知a满足tan(a+2L)==—,则tana=()

43

A.-1B.1C.2D.-2

22

5.（5分）已知a、0均为锐角，满足sina=±"cos0=3A,则a+0=（）

510

A.—B.—C.-D.12L

6434

6.（5分）已知正方体ABCD-ALBICLDI中，AB=2,则点C到平面BDDLBI的距离为（）

A.1B.V2C.2&D.273

7.（5分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若包=cosB,则△A3。形状是（）

bcosA

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

8.（5分）如图，正方形A3CD的边长为2,E,R分别为3C,CD的中点，沿AE,EF,刚将正方

形折起，使8,C,。重合于点O,构成四面体A-OEF则四面体A-OEE的体积为（）

3326

9.(5分)已知点A(2,2),B(-1,3),若直线质-y-1=0与线段A3有交点，则实数上的取值

范围是()

A.(-8,-4)U(3,+8)B.(-4,3)

22

C.（一8,-4]U[19+8）D.[-4,.1]

10.（5分）已知机，〃表示两条不同直线，a,0表示两个不同平面，下列说法正确的是（）

A.若机_L〃,〃ua,则加_La

B.若加〃a,m//P，则a〃0

C.若a〃0,m//p,则加〃a

D.若机〃a,n,La,贝！J

11.（5分）如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的

水，水深为h,若在容器内放入一个半径为1的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球的球心0

12.（5分）已知圆。：x2+^2=1,直线/：3%-4y+机=0与圆。交于A,5两点，若圆。外一点C,

满足京=示+瓦，则实数机的值可以为（）

A.5B.-竺C.1D.-3

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知直线人方程为x+2y-2=0,直线/i的方程为（机-1）x+（m+1）y+l=0,若h〃b,

则实数m的值为,

14.（5分）在正方体ABCD-ALBICLDI中，M,N分别为棱AD,。⑷的中点，则异面直线与AC

所成的角大小为.

15.（5分）已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足NB=2L,a+c=«b,则包

3c

16.（5分）已知圆。x2+y2=r2（r>0）,直线/：加计〃〉=户与圆。相切，点尸坐标为（m,几），点

A坐标为（3,4）,若满足条件必=2的点P有两个，则厂的取值范围为

答案与试题解析

一、选择题：

1.B；2.C；3.C；4.A；5.B；6.B；

7.D；8.A；9.C；10.D；11.B；12.D；

二、填空题：

13.3；14.60°；15.2或」.；16.(3,7)；

~一2一

三.解答题：本大题共6题，第17〜18每题题10分，第19〜21题每题12分，第22题14分，共70

分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面以。，平面ABCD,四边形A3CD为矩形，

M为PC的中点，N为A3的中点.

(1)求证：AB1PD；

(2)求证：〃平面

18.(10分)已知sina=旦，a€(0,—)

52,

(1)求sin(a+—)的值；

4

(2)若tan0=L求tan(2a-p)的值.

3

19.(12分)在△ABC中，A(-1,2),边AC上的高BE所在的直线方程为7x+4y-46=0,边A5

上中线CM所在的直线方程为2x-lly+54=0.

(1)求点C坐标；

(2)求直线的方程.

20.(12分)如图，在△ABC中，。为边5c上一点，AC=13,CD=5,AD=9近.

(1)求cosC的值；

(2)若cosB=&,求△ABC的面积.

5

BDC

21.（12分）如图所示，四边形Q4P3中，PA+PB=\Q,ZFAO=ZPBO,ZAPB=^-L.

6

设NPOA=a,△A03的面积为S.

（1）用a表示0A和0B；

（2）求△A03面积S的最大值.

22.（14分）如图，已知圆。：/+丁2=4与y轴交于A,3两点（A在3的上方），直线/：y=kx-4.

（1）当左=2时，求直线/被圆。截得的弦长；

（2）若左=0,点C为直线/上一动点（不在y轴上），直线C4,的斜率分别为内，左2,直线

CA,与圆的另一交点分别P,Q.

①问是否存在实数加，使得依=加上成立？若存在，求出机的值；若不存在，说明理由；

②证明：直线PQ经过定点，并求出定点坐标.

答案与试题解析

三.解答题：

17.(10分)如图，在四棱锥P-A3CD中，平面以。，平面ABCD,四边形ABCD为矩形,

“为PC的中点，N为A3的中点.

(1)求证：ABLPD-,

【解答】证明：(1)因为四边形ABCD为矩形，

所以A3LAD,

因为平面必。，平面A3CD,平面以DA平面A3D=AD,A3u平面A3CD,

所以A3,平面PAD,

因为PDu平面PAD,

所以ABLPD,

(2)取PD的中点E,连接AE,ME,

在中，E为PD的中点，〃为PC的中点，

所以ME是△PDC的中位线，

所以ME〃CD,ME=1CD,

2

在矩形ABCD中，AB//CD,AB=CD,

所以ME〃A3,ME=1AB,

2

因为N为A3中点，

所以ME〃AN,ME=AN,

所以四边形ANME为平行四边形，

所以MN〃平面PAD.

18.(10分)已知sina=旦，a£(0,—)

52

(1)求sin(a+2L)的值；

4

(2)若tanp=《，求tan(2a-0)的值.

【解答】解：⑴Vsina=2,Cte(0,—

cosa=/1-sin2a=y'

TTTT

sin(a+_ZL)sinacos——+cosasin——3乂忆4近=7近

444525210

3_

(2)..,由(1)可得tana=W,可得：tan2a=-^tan'J—=—

4l-tan2a的7

16

又tanp=-l,

丝」

Atan(2a-p)=-a-tanB=：\

l+tan2O.tanPj+^X—9

19.(12分)在△ABC中，A(-1,2),边AC上的高BE所在的直线方程为7x+4y-46=0,边A5

上中线CM所在的直线方程为2x-Uy+54=0.

(1)求点C坐标；

(2)求直线3c的方程.

【解答】解：(1)AC边上的高3E所在的直线方程为7x+4y-46=0,...总。=生

7

，AC的方程为：y-2=ACx+1),即4x-7y+18=0.

联立(2x70+54=0,解得尤=6=y.

]4x-7y+18=0

：.C(6,6).

(2)设5(a,b),则中点号>>

,「X等-11义詈+54=0,解得『2,b=8.

7a+4b_46=0

：.B(2,8),又C(6,6).

.•.3C的方程为：y-6=—(x-6),化为：x+2y-18=0.

2-6

20.(12分)如图，在△ABC中，。为边3C上一点，AC=13,CD=5,AD=9瓜

(1)求cosC的值；

(2)若cosB="l,求△ABC的面积.

【解答】解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得

CC“=CA2KD2-AD2=169+25-16216.

~~2CA-CD2X13X5=65,

(2)VcosB=A,sinB=—,

55

VcosC=—,sinC=—,

6565

/.sinZJBAC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

31646312

=一可vX施二sz施F

在△ABC中，由正弦定理有AB=AC,

sinCsinB

.•.A5=ACsinC=21,

sinB

••S^ABC=—AB*ACsinZ^BAC~126.

2

21.(12分)如图所示，四边形0AP5中，OAA.OB,E4+PB=10,NFAO=NPBO,ZAPB=^L.

6

设NPQ4=a,△A03的面积为S.

(1)用a表示。4和

(2)求△AOB面积S的最大值.

【解答】解：(1)在△&(?尸中，由正弦定理得一=一如一

sinasinZPAO

OP

在△BOP中,由正弦定理得——祟一

sinZPBO

sin(-2--a

l

VAPAO=ZPBO,B4+PB=10,A-^J_=10-AP>

sinCIcosCL

则4p=lUsinClBP=10-10员110lOcosCI

sina+cosQsina+cosasinCl+cosd

由四边形。4PB内角和为2兀，可得/出。=/23。=工，

3

在△AOP中，由正弦定理得一里—，

sinasin/APO

即10OA

sinCl.+cos0..TT

sm(.z—+0.)

10sin(-5-+a.)1r

.•Q=-------2------,aE(0,—)

sina+cosa27

在△BOP中，由正弦定理得一比一=一里一

sinZBOPsinZBPO

即BP二OB

cosasin/BPO

sin(-7-+0.)

10sin(-^+a)

:・0B=-------2------,ae(0,—)

sina+cosa?)

10sinC+a)10sin(+a)

(2)△AOB面积S=LOA・OBiTV

22sina+cosdsina+cosa

50(-+sinacosa)

—4,

(sinCl+cosCL)2

令t—sina+cosa，t—a4^-)£(1,

则S=50・(^■也等):25-25(2-”

24t22t2

当。=&，即a=2L时，S有最大值5°+25日,

44

・•.三角形OAB面积的最大值为5°+25'R.

4

22.(14分)如图，已知圆。：f+y2=4与y轴交于A,3两点(A在3的上方)，直线/：y=kx-4.

(1)当k=2时，求直线/被圆。截得的弦长；

(2)若左=0,点C为直线/上一动点(不在y轴上)，直线C4,的斜率分别为M,ki,直线

CA,与圆的另一交点分别P,Q.

①问是否存在实数如使得力=机左2成立？若存在，求出机的值；若不存在，说明理由；

②证明：直线PQ经过定点，并求出定点坐标.

【解答】解：(1)当左=2时，直线/的方程为2x-y-4=0,

圆心O到直线I的距离公党0-0-4|=g,

722+12V5

所以，直线/被圆。截得的弦长为241=2以电=茅.

(2)若左=0,直线/的方程为y=-4,

①设C(xo,-4),则依=2Y-4)=左2=-2Y-4)=-_