新九年级数学时期讲义第11讲图形的相似-满分班(学生版+解析)

第11讲图形的相似1.平行线分线段成比例1比例性质：①；②（其中b叫做比例中项）2更比性质(交换比例的内项或外项)：3反比性质(把比的前项、后项交换)：．4合、分比性质：．5等比性质：如果，那么6如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。【例题精选】例1(2023•顺平县一模）如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为（）A．9 B．5 C．4 D．3例2(2023•余杭区一模）如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【随堂练习】1．(2023•焦作一模）如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DB＝3，则DE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．92．(2023春•芝罘区期中）直线l1∥l2∥l3，若AC：CE＝5：4，则的值为（）A． B． C． D．3．(2023•兰州模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，l1，l2，l3分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，AB＝EF，BC＝，DE＝3，则EF＝（）A．5 B．6 C．7 D．82.相似多边形及性质相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.【例题精选】例1(2023秋•鄞州区期末）两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16例2(2023•江城区一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16【随堂练习】1．(2023•淮安模拟）若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于________．2．(2023秋•铁西区期末）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm．如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为________cm2．3．(2023秋•耒阳市期末）若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是________．3.相似三角形的判定相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.

（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.

（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.

直角三角形相似判定定理

斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．【例题精选】例1(2023秋•陵川县期末）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；（2）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；求证：△EBF∽△FCG．例2(2023•临潭县校级模拟）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．【随堂练习】1．(2023•大通区模拟）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6．求证：△ADE∽△ACB．4.相似三角形的综合应用【例题精选】例1(2023•潍坊一模）如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m．若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）A．0.36πm2 B．0.81πm2 C．2πm2 D．3.24πm2例2(2023秋•儋州期末）已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为1.6m，并测得BC＝2.2m，CA＝0.8m，那么树DB的高度是（）A．6m B．5.6m C．5.4m D．4.4m【随堂练习】1．(2023秋•北海期末）如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（）A．5m B．6m C．7m D．8m2．(2023秋•潜山市期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（）m．A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.53．(2023•公主岭市一模）如图，小明在打网球时，他的击球高度AB＝2.4米，为使球恰好能过网（网高DC＝0.8米），且落在对方区域距网5米的位置P处，则他应站在离网______米处．4．(2023•晋安区一模）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为________m．综合运用：1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．3.如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，（1）求AB的长．（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．4.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．（1）若点F的坐标为（4.5，3），直接写出点C和点A的坐标；（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．5.正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．

（1）求AD的长；

（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．第11讲图形的相似1.平行线分线段成比例1比例性质：①；②（其中b叫做比例中项）2更比性质(交换比例的内项或外项)：3反比性质(把比的前项、后项交换)：．4合、分比性质：．5等比性质：如果，那么6如果四条线段a,b,c,d满足,则四条线段a,b,c,d称为比例线段。（有先后顺序，不可颠倒）7平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。【例题精选】例1(2023•顺平县一模）如图，直线a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，则EF的长度为（）A．9 B．5 C．4 D．3分析：由直线a∥b∥c，利用平行线分线段成比例可得出DE＝EF，结合DF＝DE+EF＝9，即可求出EF的长．【解答】解：∵直线a∥b∥c，∴＝，∴DE＝•EF＝EF．∵DF＝DE+EF＝EF+EF＝9，∴EF＝5．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出DE＝EF是解题的关键．例2(2023•余杭区一模）如图，AB∥CD∥MN，点M，N分别在线段AD，BC上，AC与MN交于点E，则（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝分析：根据平行线分线段成比例定理，利用ME∥CD得到＝，则利用比例的性质可判断D选项正确．【解答】解：∵ME∥CD，∴＝，∴＝．故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【随堂练习】1．(2023•焦作一模）如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DB＝3，则DE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．9【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得BE＝6，∴DE＝DB+BE＝3+6＝9，故选：D．2．(2023春•芝罘区期中）直线l1∥l2∥l3，若AC：CE＝5：4，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴BD：DF＝AC：CE＝5：4，∴＝＝，故选：D．3．(2023•兰州模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，l1，l2，l3分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，AB＝EF，BC＝，DE＝3，则EF＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝EF，∴＝，即＝，解得，EF＝5，故选：A．2.相似多边形及性质相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看成是由另一个图形放大或缩小得到的.如图所示的几组图形都是形状相同，大小不同的图形，因此这几组图形分别都是相似图形.当两个图形的形状相同，大小相同，这两个图形也是相似图形，它们是特殊的相似图形：全等图形.相似多边形：两个边数相同的多边形，如果他们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似图形周长的比等于相似比，相似图形面积比等于相似比的平方.【例题精选】例1(2023秋•鄞州区期末）两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16分析：根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比．【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，∴这两个相似多边形的相似比是1：2，则这两个相似多边形的周长之比是1：2，故选：A．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．例2(2023•江城区一模）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为＝1：2．故选：B．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．【随堂练习】1．(2023•淮安模拟）若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于________．【解答】解：∵两个相似多边形的相似比为2：3，∴它们的面积比＝22：32＝4：9．故答案为：4：92．(2023秋•铁西区期末）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm．如果它们的面积和为78cm2，那么较大多边形的面积为________cm2．【解答】解：设较大多边形的面积为xcm2，则较小多边形的面积为：（78﹣x）cm2，∵两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm和4.5cm，∴x：（78﹣x）＝4.52：32，解得x＝54．故答案为：543．(2023秋•耒阳市期末）若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是________．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠A＝∠A′＝138°，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴∠α＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝87°．故答案为：87°．3.相似三角形的判定相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成三角形与原三角形相似.

（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.

（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.

直角三角形相似判定定理

斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似.相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．【例题精选】例1(2023秋•陵川县期末）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；（2）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；求证：△EBF∽△FCG．分析：（1）理由因式分解法解方程；（2）先根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF＝∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定△EBF∽△FCG．【解答】（1）解：（x﹣3）（x+1）＝0解得x＝3或x＝﹣1；（2）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF+∠BFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠BFE+∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG．∵∠B＝∠C＝90°∴△EBF∽△FCG．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了分式的乘除法和正方形的性质．例2(2023•临潭县校级模拟）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．分析：根据已知得出∠C＝∠ADE，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．【解答】证明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BAD．∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠ADE．∴△ABC∽△EAD．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．【随堂练习】1．(2023•大通区模拟）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，∴，又∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB．4.相似三角形的综合应用【例题精选】例1(2023•潍坊一模）如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m．若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）A．0.36πm2 B．0.81πm2 C．2πm2 D．3.24πm2分析：欲求投影圆的面积，可先求出其直径，而直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．【解答】解：构造几何模型如图：依题意知DE＝1.2米，FG＝1米，AG＝3米，由△DAE∽△BAC得＝，即＝，得BC＝1.8，故S圆＝（BC）2•π＝（）2•π＝0.81π，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．例2(2023秋•儋州期末）已知：如图，某学生想利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为1.6m，并测得BC＝2.2m，CA＝0.8m，那么树DB的高度是（）A．6m B．5.6m C．5.4m D．4.4m分析：先根据相似三角形的判定定理得出Rt△ACE∽Rt△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出BD的长．【解答】解：∵EC∥AB，BD⊥AB，∴EC∥BD，∠ACE＝∠ABD＝90°，在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A＝∠A，∠ACE＝∠ABD＝90°，∴Rt△ACE∽Rt△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝6m．故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例．【随堂练习】1．(2023秋•北海期末）如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（）A．5m B．6m C．7m D．8m【解答】解：设长臂端点升高x米，则，∴x＝8．故选：D．2．(2023秋•潜山市期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（）m．A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5【解答】解：由相似三角形的性质，设树高x米，则＝，∴x＝5.1m．故选：B．3．(2023•公主岭市一模）如图，小明在打网球时，他的击球高度AB＝2.4米，为使球恰好能过网（网高DC＝0.8米），且落在对方区域距网5米的位置P处，则他应站在离网______米处．【解答】解：设他应站在离网的x米处，根据题意得：，解得：x＝10．故答案为：10．4．(2023•晋安区一模）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为________m．【解答】解：根据题意得：△ABM∽△CDM，∴AB：CD＝BM：DM，∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，∴1.6：CD＝2：11，解得：CD＝8.8m，故答案为：8.8．综合运用：1.已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求△ABC三边的长．解析：解：设=x，得a=4x，b=5x，c=7x．∵a+b+c=48，∴4x+5x+7x=48，解得x=3，∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．2.如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．解析：解：设BE=x，∵EF=32，GE=8，∴FG=32﹣8=24，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴=，∴则==+1①．∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，∴==代入①，=+1，解得：x=±16（负数舍去），故BE=16．3.如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，（1）求AB的长．（2）如