运筹学存储论

关于运筹学存储论第一节有关存储论的基本概念一、存储的有关概念（一）、存储存储——就是将一些物资（如原材料、外购零件、部件、在制品等等）存储起来以备将来的使用和消费；（二）、存储的作用存储是缓解供应与需求之间出现供不应求或供大于求等不协调情况的必要和有效的方法和措施。第2页,共42页，星期六，2024年，5月（三）存储问题首先，有存储就会有费用（占用资金、维护等费用——存储费），且存储越多费用越大。存储费是企业流动资金中的主要部分。其次，若存储过少，就会造成供不应求，从而造成巨大的损失（失去销售机会、失去占领市场的机会、违约等）。因此，如何最合理、最经济的制定存储策略是企业经营管理中的一个大问题。第3页,共42页，星期六，2024年，5月二、存储模型中的几个要素（一）存储策略(Inventorypolicy)存储策略——解决存储问题的方法，即决定多少时间补充一次以及补充多少数量的策略。常见的有以下几种类型：1．t0循环策略——每隔t0时间补充库存，补充量为Q。这种策略是在需求比较确定的情况下采用。2．（s，S）策略——当存储量为s时，立即订货，订货量为Q=S－s，即将库存量补充到S。3．（t，s，S）策略——每隔t时间检查库存，当库存量小等于s时，立即补充库存量到S；当库存量大于s时，可暂时不补充。第4页,共42页，星期六，2024年，5月（二）费用1．订货费——企业向外采购物资的费用，包括订购费和货物成本费。（1）订购费(orderingcost)——手续费、电信往来费用、交通费等。与订货次数有关；（2）货物成本费——与所订货物数量有关，如成本费、运输费等。2．生产费——企业自行生产库存品的费用，包括装备费和消耗性费用。（1）装备费(setupcost)——与生产次数有关的固定费用；（2）消耗性费用——与生产数量有关的费用。对于同一产品，订货费与生产费只有一种。3．存储费用(holdingcost)——保管费、流动资金占用利息、货损费等，与存储数量及存货性质有关。4．缺货费(backordercost)——因缺货而造成的损失，如：机会损失、停工待料损失、未完成合同赔偿等。第5页,共42页，星期六，2024年，5月（三）提前时间(leadtime)通常从订货到货物进库有一段时间，为了及时补充库存，一般要提前订货，该提前时间等于订货到货物进库的时间长度。（四）目标函数要在一类策略中选择最优策略，就需要有一个赖以衡量优劣的准绳，这就是目标函数。在存储论模型中，目标函数——平均费用函数或平均利润函数。最优策略就是使平均费用函数最小或使平均利润函数最大的策略。第6页,共42页，星期六，2024年，5月（五）求解存储问题的一般方法（1）分析问题的供需特性；（2）分析系统的费用（订货费、存储费、缺货费、生产费等）；（3）确定问题的存储策略，建立问题的数学模型；（4）求使平均费用最小（或平均利润最大）的存储策略（最优存储量、最佳补充时间、最优订货量等）第7页,共42页，星期六，2024年，5月第二节经济订购批量存储模型

EconomicOrderingQuantity(EOQ)Model一、模型假设（1）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；（2）当存储量降至零时，可立即补充，不会造成损失；（3）每次订购费为c3，单位存储费为c1，且都为常数；第8页,共42页，星期六，2024年，5月二、存储状态图存储量时间TQ斜率－Rt0.5Q第9页,共42页，星期六，2024年，5月三、存储模型（一）存储策略该问题的存储策略就是每次订购量，即问题的决策变量Q，由于问题是需求连续均匀且不允许缺货，变量Q可以转化为变量t，即每隔t时间订购一次，订购量为Q=Rt。（二）优化准则t时间内平均费用最小。由于问题是线性的，因此，t时间内平均费用最小，总体平均费用就会最小。第10页,共42页，星期六，2024年，5月（三）目标函数根据优化准则和存储策略，该问题的目标函数就是t时间内的平均费用，即C=C（t）；（1）t时间内订货费t时间内订货费=订购费+货物成本费=c3+KRt

（其中K为货物单价）（2）t时间内存储费存储费=平均存储量×单位存储费×时间

=(1/2)Qc1t=(1/2)c1Rt2（3）t时间内平均费用（目标函数）

C（t）=[(1/2)c1Rt2+c3+KRt]/t=(1/2)c1Rt+c3/t+KR第11页,共42页，星期六，2024年，5月（四）最优存储策略在上述目标函数中，令

dc/dt=0得

即每隔t*时间订货一次，可使平均费用最小。有即当库存为零时，立即订货，订货量为Q*，可使平均费用最小。Q*——经济订货批量（EconomicOrderingQuantity，E.O.Q）第12页,共42页，星期六，2024年，5月（五）平均费用分析由于货物单价K与Q*、t*无关，因此在费用函数中可省去该项。即C（t）=(1/2)c1Rt+c3/tC(t)=C(t)(1/2)c1Rt：存储费用曲线c3/t：订购费用曲线tt*C图7—2O第13页,共42页，星期六，2024年，5月某商品单位成本为5元，每天保管费为成本的0.1%，每次订购费为10元。已知该商品的需求是100件／天，不允许缺货。假设商品的进货可以随时实现，问怎样组织进货才最经济C1=5*0.1%=0.005C3=10K=5R=100t*=(2C3/C1R)^1/2=6.32Q*=Rt*=100*6.32=632C*=(2C3C1R)^1/2=3.16(元/天)第14页,共42页，星期六，2024年，5月四、实例分析教材P176实例某批发公司向附近200多家食品零售店提供货源，批发公司负责人为减少存储费用，选择了某种品牌的方便面进行调查研究，以制定正确的存储策略。调查结果如下：（1）方便面每周需求3000箱；（2）每箱方便面一年的存储费为6元，其中包括贷款利息3.6元，仓库费用、保险费用、损耗费用管理费用等2.4元。（3）每次订货费25元，其中包括：批发公司支付采购人员劳务费12元，支付手续费、电话费、交通费等13元。（4）方便面每箱价格30元。第15页,共42页，星期六，2024年，5月解：（1）人工计算

c1=6/52=0.1154元∕周·箱；c3=25元∕次；R=3000箱∕周。因此有（箱）t*=Q*∕R=1140.18∕3000=0.38（周）=2.66（天）最小费用

第16页,共42页，星期六，2024年，5月在此基础上，公司根据具体情况对存储策略进行了一些修改：（1）将订货周期该为3天，每次订货量为3×3000（52∕365）=1282箱；（2）为防止每周需求超过3000箱的情况，决定每天多存储200箱，这样，第一次订货为1482箱，以后每3天订货1282箱；（3）为保证第二天能及时到货，应提前一天订货，再订货点为427+200=627箱。这样，公司一年总费用为：C=0.5×1282×6+(365÷3)×25+200×6=8087.67元第17页,共42页，星期六，2024年，5月数据模型与决策中符号年需求量D；每次订购费为C0，年单位存储费为Ch，且都为常数；年费用函数

C（Q）=(1/2)ChQ+C0D/Q经济订购批量模型每天的需求量:d=D/250ord=D/365提前时间:m再定货点:r=md循环周期:T=250/(D/Q*)orT=365/(D/Q*)第18页,共42页，星期六，2024年，5月模型三经济生产批量模型

----EconomicProductionLotSizeModel经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间模型。一、模型假设（1）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；（2）每次生产准备费为c3，单位存储费为c1，且都为常数；（3）当存储量降至零时开始生产，单位时间生产量（生产率）为P（常数），生产的产品一部分满足当时的需要，剩余部分作为存储，存储量以P－R的速度增加；当生产t时间以后，停止生产，此时存储量为（P－R）t，以该存储量来满足需求。当存储量降至零时，再开始生产，开始一个新的周期。第19页,共42页，星期六，2024年，5月二、存储状态图设最大存储量为S；总周期时间为T，其中生产时间为t，不生产时间为t1；存储状态图如下图。S时间T0.5S存储量tt1斜率P－R斜率R第20页,共42页，星期六，2024年，5月三、存储模型1．存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量；2．优化准则：t+t1时期内，平均费用最小；3．费用函数：（1）生产时间t=Q∕P；（2）最大存储量S=(P－R)t=(P－R)Q/P（3）不生产时间与总时间：t1=S∕R=（P－R）Q∕（P×R）

t+t1=Q∕P+（P－R）Q∕（PR）=Q∕R（4）t+t1时期内平均存储费：0.5Sc1=0.5c1(P－R)Q∕P（5）t+t1时期内平均生产费用：c3

∕(t+t1)=c3R∕Q（6）t+t1时期内总平均费用：C=0.5c1(P－R)Q∕P+

c3R∕Q第21页,共42页，星期六，2024年，5月4．最优存储策略在上述费用函数的基础上：令dc/dQ=0有最佳生产量最佳生产时间最佳循环时间循环周期内平均费用上述各参数的单位均以c1的单位为参照第22页,共42页，星期六，2024年，5月某商店经销某商品,月需求量为30件,需求速度为常数,该商品每件进价300元,月存储费用为进价的2%.将工厂,向工厂订购该产品是订购费每次20元,订购后到货的速度为常数,即2件/天.求最优存储策略P=2*30=60件/月R=30件/月K=300C1=300*2%=6元/月C3=20元=20，每次订货20件T*=Q*/R=20/30=2/3月C=

=30元第23页,共42页，星期六，2024年，5月模型四允许缺货的经济订购批量模型

----AnInventoryModelwithPlannedShortage所谓允许缺货是指企业可以在存储降至零后，还可以在等待一段时间后订货。若企业除了支付少量的缺货损失外无其他损失，从经济的角度出发，允许缺货对企业是有利的。一、模型假设（1）顾客遇到缺货时不受损失或损失很小，顾客会耐心等待直到新的补充到来。当新的补充一到，立即将货物交付给顾客。这是允许缺货的基本假设，即缺货不会造成机会损失。（2）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；（3）每次订购费为c3，单位存储费为c1，单位缺货费为c2，且都为常数；第24页,共42页，星期六，2024年，5月二、存储状态图设最大存储量为S，则最大缺货量为Q－S，每次订到货后立即支付给顾客最大缺货量Q－S；总周期时间为T，其中不缺货时间为t1，缺货时间为t2；存储状态图如下图。存储量t1t2时间TQ－SSTO第25页,共42页，星期六，2024年，5月三、存储模型1．存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量；2．优化准则：T时期内，平均费用最小；3．费用函数：（1）不缺货时间t1=S∕R；（2）缺货时间t2=（Q－S）∕R（3）总周期时间T=Q∕R（4）平均存储量0.5S×t1∕T=0.5S2∕Q（5）平均缺货量0.5（Q－S）×t2∕T=0.5（Q－S）2∕Q（6）T时期内平均存储费：0.5c1S2∕Q（7）T时期内平均缺货费：0.5c2（Q－S）2∕Q（5）T时期内平均订购费用：c3

∕T=c3R∕Q（6）T时期内总平均费用：

C（S，Q）=0.5c1S2∕Q+0.5c2（Q－S）2∕Q+c3R∕Q第26页,共42页，星期六，2024年，5月4．最优存储策略令有最佳订购量

最佳（最大）存储量最佳循环时间

周期内平均费用第27页,共42页，星期六，2024年，5月工厂每周需要零配件32箱，存储费每箱每周1元，每次订购费25元，缺货费0.5元/天，求最优存储策略C1=1C2=0.5*7=3.5C3=25Q*=45.35S*=35.28T*=Q*/R=1.42第28页,共42页，星期六，2024年，5月模型二允许缺货的经济生产批量模型允许缺货，补充不是靠订货，而是靠生产。一、模型假设（1）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R；（2）每次生产准备费为c3，单位存储费为c1，单位缺货费为c2，且都为常数；（3）当缺货一段时间后时开始生产，单位时间生产量（生产率）为P（常数），生产的产品一部分满足当时的需要，剩余部分作为存储，存储量以P－R的速度增加；停止生产时，以存储量来满足需求。第29页,共42页，星期六，2024年，5月二、存储状态图设最大存储量为S，则最大缺货量为H；总周期时间为T，其中存储时间（不缺货时间）为t1，缺货时间为t2。存储状态图如下图。存储量时间TTHt1t2S第30页,共42页，星期六，2024年，5月三、存储模型1．存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量；2．优化准则：T时期内，平均费用最小；3．费用函数：（1）不缺货时间：包括两部分，一部分是存储增加的时间，另一部分是存储减少的时间，因此有：

（2）缺货时间：也包括两部分，一部分是缺货增加的时间，另一部分是缺货减少的时间，所以有：（3）总周期时间：等于存储时间与缺货时间之和，即：第31页,共42页，星期六，2024年，5月（4）平均存储量（5）平均缺货量（6）T时期内平均存储费

（7）T时期内总平均费用，即费用函数：4．最优存储策略令第32页,共42页，星期六，2024年，5月最大缺货量最佳（最大）存储量

有最佳订购量

即最佳循环时间周期内平均费用第33页,共42页，星期六，2024年，5月企业生产某种产品，正常生产条件下可生产10件/天.根据合同,需按7件/天供货.存储费每件0.13元/天,缺货费每件0.5元/天,每次生产准备费80元,求最优存储策略P=10件/天R=7件/天C1=0.13元/件天C2=0.5C3=80第34页,共42页，星期六，2024年，5月第七节需求为随机的单一周期模型

----ASingle-PeriodInventoryModelwith

ProbabilisticDemand通常情况下，需求是一个随机变量。所谓需求是随机变量的单一周期存储问题是指，某种商品的市场需求是随机变量，其分布为已知。这类商品或更新快或不能长期保存，他们在某段时间内只能进货一次，期末未售出商品降价处理或完全损失掉（如季节性服装、贺年卡、食品、报纸等）。这类问题中，如订货量过大会使商品不能完全售出而增加损失，若订货量过小，会因供不应求而造成机会损失。第35页,共42页，星期六，2024年，5月一、需求为离散随机变量情况下的模型（一）报童问题报童每天销售的报纸数量是个随机变量，每出售一份报纸赚k元，若当天报纸未售出则每份赔h元。根据以往经验，每天报纸的需求量为r的概率为P（r），问报童每天最好准备多少报纸？第