九年级数学下册专题08相似模型之梅涅劳斯(定理)模型与塞瓦(定理)模型(原卷版+解析)

专题08相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形．梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线．图1图2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，如图2，则。注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。例1.如图，在中，D为AC中点，，求证：．例2.如图，在中，，，AD、BE交于点，求．例3.如图所示，被通过它的三个顶点与三角形内一点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求的面积．例4.已知AD是的高，点D在线段BC上，且，，作于点E，于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG．例5.如图所示，△ABC的三条外角平分线BE、AD、CF，与对边所在直线交于E、D、F三点，求证：D、E、F三点共线。例6．（2023·山西·期中联考）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．过点作交于点，则，（依据），∴，∴，即．情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…(1)情况①中的依据指：；(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；(3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么例7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：．例8.如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。例8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。例9.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：.例10．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．课后专项训练1．如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝（）A． B．2 C． D．2.如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面积是△ABC的面积的（）A． B． C． D．3．（广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，在中，，，，，垂足为D，E为的中点，与交于点F，则的长为．

4．（2022年山西中考一模数学试题）如图，在中，，，．是边上的中线．将沿方向平移得到．与相交于点，连接并延长，与边相交于点．当点为的中点时，的长为．

5.如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为．6.如图，在中，AD、CE交于点F，若，，求．7.P是平行四边形ABCD内任意一点，过P作AD的平行线，分别交AB于E，交CD于F；又过P作AB的平行线，分别交AD于G，交BC于H，又CE，AH相交于Q．求证：D，P，Q三点共线．8.（2023.湖北九年级期中）梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有••＝1．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有＝．任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；（2）如图（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，则AE＝．9．（江苏2022-2023学年九年级月考）如图1，在中，D是边上的一点，过点D的直线分别与、的延长线交于点M、N．问题引入：若点D是的中点，，求的值；如图2，可以过点C作，交于点P；如图3，也可以过点A作，交延长线于点Q．探索研究：（1）如图4，若点D为上任意一点，求证：．

拓展应用：（2）如图5，P是内任意一点，，则_______，____．10．（2023·四川内江·中考模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．问题引入：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=（用图中已有线段表示）．探索研究：（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．11．（2023·重庆·八年级期中）如图，的面积为，、分别是，上的点，且,．连接,交于点,连接并延长交于点．则四边形的面积为．12．（2023上·河南洛阳·九年级期末）小明在网上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解答．已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连结FD交AC于点E．(1)求的值；(2)若AB＝a，FB＝AE，求AC的长．

专题08相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形．梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线．图1图2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，如图2，则。注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。例1.如图，在中，D为AC中点，，求证：．【解析】∵HFC是的梅氏线，∵直线AE是的梅氏线，∴．∴，∴，∵直线AF是的梅氏线，∴，∴，．∴．【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．例2.如图，在中，，，AD、BE交于点，求．【解析】∵HFC是的梅氏线，由AFD截可得，又，，∴．【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．例3.如图所示，被通过它的三个顶点与三角形内一点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，求的面积．【解析】有题意知：，对和截线，由梅氏定理得：，即，∴，∴∴【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题．例4.已知AD是的高，点D在线段BC上，且，，作于点E，于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG．【解析】如图，设，EFG是的梅氏线．则由梅涅劳斯定理．显然的，，于是，得．【点睛】这道题主要考查梅内劳斯定理和射影模型的综合．例5.如图所示，△ABC的三条外角平分线BE、AD、CF，与对边所在直线交于E、D、F三点，求证：D、E、F三点共线。【解析】由外角平分线性质定理可得:；；．所以由梅涅劳斯定理的逆定理可得D、E、F三点共线。【点睛】这道题主要考查梅氏定理和角平分线定理的综合应用．例6．（2023·山西·期中联考）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．过点作交于点，则，（依据），∴，∴，即．情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…(1)情况①中的依据指：；(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；(3)如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么【答案】(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(2)证明过程见详解(3)【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；（2）如图2中，作交于，模仿情况①的方法解决问题即可；（3）利用梅氏定理即可解决问题．【详解】（1）解：情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（2）证明：如图2中，作交于，则有，∴，∴，则，变形得，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（3）解：∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．例7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：．证明：如图，由三角形面积的性质，有，，．以上三式相乘，得．例8.如图，设M为△ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求证：EF//BC。【详解】证明：在中，∵点D为边BC的中点，∴．对△ABC和点M应用赛瓦定理可得：．∴，∴．即EF//BC；点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．例8.如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。解答：证明：如图，连接BD交AC于H，过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J．对△BCD用塞瓦定理，可得①

因为AH是∠BAD的角平分线，由角平分线定理知．代入①式得②

因为CI∥AB，CJ∥AD，则．代入②式得．

从而CI=CJ．又由于∠ACI=180°-∠BAC=180°-∠DAC=∠ACJ，

所以△ACI≌△ACJ，故∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC．点评：本题难度较大，考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．例9.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：.对△DKL和点B应用赛瓦定理可得：．①对和截线，由梅氏定理得：②由①②得：点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键．例10．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则．数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．【答案】(1)证明见解析(2)；的面积为【分析】（1）根据塞瓦定和中点的性质即可求解；（2）根据塞瓦定和等边三角形的性质即可求出BF，然后过点F作FG⊥BC于G，证明，可求出OD，从而求出△BOC的面积，然后根据可求△BCF的面积，从而得解．【详解】（1）证明：在中，∵点D，E分别为边BC，AC的中点，∴，．由赛瓦定理可得：．∴，∴．即点F为AB的中点；（2）解：∵为等边三角形，，∴∵点D是BC边的中点，∴，∵，∴．由赛瓦定理可得：；过点F作FG⊥BC于G，∴，，∴CG=BC-BG=8，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴又，∴，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中点的性质、等边三角形的性质，读懂题意，学会运用塞瓦定理是解题的关键．课后专项训练1．如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则＝（）A． B．2 C． D．解：法1：对和截线，由梅氏定理得：，∵M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，∴，∴，∴，∴，故选B.法2：如图，过C点作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中点，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．故选：B．2.如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面积是△ABC的面积的（）A． B． C． D．解：对△ADC用梅涅劳斯定理可以得：••＝1，则＝．设S△BCF＝，S△BCQ＝S△BCE＝，SBPRF＝S△ABD＝，∴S△PQR＝S△BCF﹣S△BCQ﹣SBPRF＝S△ABC．故选：D．3．（广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，在中，，，，，垂足为D，E为的中点，与交于点F，则的长为．

【答案】【分析】过点F作于H，根据勾股定理求得的值，根据三角形的面积求得的值，根据勾股定理求得的值，根据相似三角形的判定和性质可得，设，，，根据相似三角形的判定和性质可求得k的值，即可求得和的值，根据勾股定理求得的值，即可求解．【详解】解：如图，过点F作于H．

在中，，，则，∵，∴，即解得：，在中，，，，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，设，，，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4．（2022年山西中考一模数学试题）如图，在中，，，．是边上的中线．将沿方向平移得到．与相交于点，连接并延长，与边相交于点．当点为的中点时，的长为．

【答案】/【分析】则E为的中点，得为的中点，证明，推出，在中，利用勾股定理求得，再根据相似比即可求解．【详解】解：∵由平移的性质得，，∴E为的中点，，∴，∴为的中点，∵D是边上的中点，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，在中，，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5.如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为．解：∵DEF是△ABC的梅氏线，∴由梅涅劳斯定理得，••＝1，即••＝1，则＝，连FC，S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，于是SBCEF＝S△BCF+S△CEF＝S△ABC＝××2×2sin60°＝×＝．故答案为．6.如图，在中，AD、CE交于点F，若，，求．【解析】∵直线是的梅氏线，∴，又，，∴，∴，∴．【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．7.P是平行四边形ABCD内任意一点，过P作AD的平行线，分别交AB于E，交CD于F；又过P作AB的平行线，分别交AD于G，交BC于H，又CE，AH相交于Q．求证：D，P，Q三点共线．【解析】对和截线DPQ，由梅涅劳斯定理的逆定理得：，故D，P，Q三点共线．【点睛】这道题主要是考查梅氏定理逆定理判定三点共线．8.（2023.湖北九年级期中）梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有••＝1．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有＝．任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；（2）如图（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，CF与AD交于点E，则AE＝．解：（1）补充的证明过程如下：∵AG∥BD，∴△AGE∽△CDE．∴，∴；（2）根据梅涅劳斯定理得：．又∵，，∴DE＝AE．在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，∠ADB＝90°，则由勾股定理知：AD＝＝＝12．∴AE＝6．故答案是：6．9．（江苏2022-2023学年九年级月考）如图1，在中，D是边上的一点，过点D的直线分别与、的延长线交于点M、N．问题引入：若点D是的中点，，求的值；如图2，可以过点C作，交于点P；如图3，也可以过点A作，交延长线于点Q．探索研究：（1）如图4，若点D为上任意一点，求证：．

拓展应用：（2）如图5，P是内任意一点，，则_______，____．【答案】（1）见详解；（2），【分析】（1）过点C作CP∥AB交MN于点P，由题意易得，，则有，，然后问题可求证；（2）过点D分别作DG∥AB，DH∥AC，由题意易得，，，，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】（1）证明：过点C作CP∥AB交MN于点P，如图所示：∴，，∴，，∴；（2）过点D分别作DG∥AB，DH∥AC，如图所示：∴，，∴，，∵，∴，，∴，∴；∵DH∥AC，∴，，∴，，∴，∴；故答案为，．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．（2023·四川内江·中考模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．问题引入：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=（用图中已有线段表示）．探索研究：（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．【答案】（1）1：2，BD：BC；（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，理由见解析；（3）=1，理由见解析．【分析】（1）根据三角形的面积公式，两三角形等高时，可得两三角形底与面积的关系，可得答案；（2）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，可得答案；（3）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，再根据分式的加减，可得答案．【详解】解：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=1：2；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=BD：BC，故答案为：1：2，BD：BC；（2）S△BOC︰S△ABC＝OD︰AD．理由如下：如图，分别过点O、A作OM⊥BC于M，AN⊥BC于N．∴OM∥AN．∴△OMD∽△AND，∴．∵，∴．（3）．理由如下：由（2）得，同理可得，．∴＝1．【点睛】本题考