九年级数学下册专题10 解三角形的实际应用（解析版）

专题10解三角形的实际应用类型一、仰角、俯角问题例．为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为．如图，为桌面，嘉琪同学眼睛看作业本的俯角为，身体离书桌距离，眼睛到桌面的距离．

(1)通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求；(2)为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离和眼睛到桌面的距离保持不变的情况下，需将作业本沿方向移动到点处，求作业本移动的距离．（结果精确到）（参考数据：，，．）【答案】(1)距离不符合最佳要求(2)作业本移动的距离【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用——仰角俯角问题，勾股定理，熟练掌握仰俯角的概念是解题关键．（1）根据三角函数的定义列式计算即可；（2）根据勾股定理求出的长，再利用三角函数求出移动后的俯角，再求出的长，即可求出最后结果．【详解】（1）解：如图，在中，，，，，，，，距离不符合最佳要求；（2）在中，，，，为了符合最佳要求，，在中，，∴，，∴，∴，∴．【变式训练1】．（1）如图：为测量河宽（假设河的两岸平行），在点处测得，在点处测得，且，则河宽为多少（结果保留根号）．（2）如图所示，小明同学在学校某建筑物的点处测得旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为．若旗杆底部点到建筑物的水平距离米，旗杆台阶高米，则旗杆顶点离地面的高度为多少米（结果保留根号）．【答案】（1）河宽为；（2）旗杆顶点离地面的高度为米【分析】（1）根据，，则，根据等角对等边，，在中，根据，得出的长即可；（2）作于点，构成两个直角三角形．运用锐角三角函数分别求出和，即可解答．【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，在中，，∴．答：河宽为；（2）解：如图，作于点．∵根据题意可得：在中，有，在中，有，∴，∴旗杆顶点离地面的高度为米．答：旗杆顶点离地面的高度为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．【变式训练2】．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为，，A，在同一水平线上．

(1)求小明从点A到点的过程中，他上升的高度．(2)大树的高度约为多少米参考数据：，，【答案】(1)小明从点A到点的过程中，他上升的高度为米(2)大树的高度约为米【分析】（1）作于，在中，，则．由勾股定理得,即可求出答案；（2）延长交于点设米．求出米在中，，则米在中，，则米．由得到，即可求得答案．【详解】（1）作于，如图所示，

在中，，．，，米答：小明从点A到点的过程中，他上升的高度为米（2）如图，延长交于点设米．由题意，得，米．米，米在中，，米在中，，米．，，解得．答：大树的高度约为米【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡角、仰角、三角函数的概念等知识是解题的关键．【变式训练3】．位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔，也是全国古塔中的孤例．嵩岳寺塔建于北魏正光年间，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，也是中国唯一的一座十二边形塔．某数学小组测量嵩岳寺塔的高度，如图，在台阶底端A处用测角仪测得嵩岳寺塔顶端D的仰角为，在台阶顶端B处用测角仪又测得嵩岳寺塔顶端D的仰角为．已知测角仪的高度为，平台的高度为，台阶的坡度，图中所有点均在同一竖直平面内，点A，H与点C在同一水平线上，求嵩岳寺塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，）

【答案】【分析】过点E作于点M，过点F作于点N，延长交于点K，延长交于点L，如图所示，则，．根据题意可得，．，设嵩岳寺塔的高度为，则，．在和中，利用锐角三角函数，即可求解．【详解】解：过点E作于点M，过点F作于点N，延长交于点K，延长交于点L，如图所示，则，．

由题意得，，．∵台阶的坡度，∴，即，设嵩岳寺塔的高度为，则，．在中，，∴．在中，，，∴，解得．经检验，是分式方程的解，且符合实际意义．答：嵩岳寺塔的高度约为．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【变式训练4】．小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点处，小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高）建筑物的顶部点的仰角为，测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点的仰角为．按照安全规定：此时塔吊的底部点距建筑物的底部点是．利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为，但这个高度明显违反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在），亲爱的同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，）

【答案】塔吊的高度为：，塔吊没有违规操作.【分析】如图，过作于，交于，则，，，，，，，可得，再分别求解，，，从而可得答案.【详解】解：如图，过作于，交于，则，∵，∴四边形是矩形，四边形是矩形，∴，，，，，，∴，

∴，∴，∴，∴，∴，∴塔吊的高度为：，而，∴塔吊没有违规操作.【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线，理解仰角的含义是解本题的关键．类型二、方位角问题例．如图一艘轮船位于灯塔的正西方向的处，且灯塔到处的距离为20海里，轮船沿东北方向匀速航行，速度为10海里/时．

(1)多长时间后，轮船行驶到达位于灯塔的西北方向上的处？（结果保留根号）(2)轮船不改变航行行驶到达位于灯塔的北偏东15°方向上的处，求灯塔到处的距离。（结果保留根号）【答案】(1)(2)【分析】（1），的位置就是灯塔的西北方向，在直角中求得，即可利用速度公式求解；（2）在中利用三角函数即可求解．【详解】（1）解：在中，，，海里，海里．轮船行驶到灯塔的西北方向点所用的时间为（小时）；（2）解：在中，，，．海里．海里答：灯塔到处的距离是海里．【点睛】本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．【变式训练1】．如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道，经测量，点C在点A的正东方向，米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，米，点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东．

(1)求步道的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）【答案】(1)141米(2)经过点B到达点D较近，理由见解析【分析】（1）过D作，交的延长线于F，易证四边形是矩形，因此，在中，由于，通过解直角三角形可得，代入即可求解步道的长度；（2）在中，解直角三角形，在中，根据，可得，，因此经过点B到达点D路程为（米），另外，，因此经过点E到达点D路程为米，由此比较可得到他走哪一条路较近．【详解】（1）过D作，交的延长线于F，如图：

∴，由题意可知：，∴四边形是矩形，∴，在中，，∴（米）；∴步道的长度约为141米．（2）在中，，∴，∵点B在点A的北偏东，即，∵，∴．∵在中，，∴，，∵，∴经过点B到达点D路程为（米），∵，∴，∴米，∴经过点E到达点D路程为米，∵，∴经过点B到达点D较近．【点睛】本题考查通过勾股定理，锐角三角函数解直角三角形，读懂题意，从实际问题从抽象出几何问题，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．【变式训练2】．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．

(1)求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；(2)渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时25海里的速度前往C处，请问补给船能否在100分钟之内到达C处？（参考数据：）【答案】(1)观测站A，B之间的距离为海里；(2)补给船能在100分钟之内到达C处，理由见解析【分析】（1）过点P作于D点，可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答；（2）过点B作，垂足为F，根据题意得：，，从而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．【详解】（1）解：过点P作于D点，

∴，点P在点B的东北方向上，，在中，海里，（海里），（海里），在中，，（海里），（海里），∴观测站A，B之间的距离为海里；（2）解：补给船能在100分钟之内到达C处，理由：过点B作，垂足为F，

，由题意得：，，，在中，，）海里，在中，，海里，∴补给船从B到C处的航行时间（分钟），，∴补给船能在100分钟之内到达C处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式训练3】．在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；(2)求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．【答案】(1)海里(2)救助船B先到达【分析】（1）如图，作于，在中先求出的长，继而在中求出的长即可；（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可．【详解】（1）解：作于C．则，由题意得：海里，，，在中，∵，，∴海里，在中，∵，，，∴（海里），答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为海里；（2）∵海里，海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，∴救助船A所用的时间为（小时），救助船B所用的时间为（小时）∵，∴救助船B先到达．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．【变式训练4】．如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西方向，且B、C两地相距120海里．(1)求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；(2)若该渔船从A处沿方向向港口C驶去，当到达点时，测得港口B在的南偏东的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．【答案】(1)此时点到港口的距离为海里(2)此时该渔船的航行距离为海里．【分析】（1）延长，过点作延长线与点，利用，代入数据计算即可求解；（2）过点作于点N，推出，设，则，，根据，列式计算即可求解．【详解】（1）解：如图所示：延长，过点作延长线与点，由题意可得：，海里，则海里，，即，（海里），即此时点到港口的距离为海里；（2）解：过点作于点N，如图：由（1）得：海里，海里，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即平分，∴，设，则，，∵，，∴，∵，∴，解得：，∴海里，答：此时该渔船的航行距离为海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．课后训练1．遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意图为）用立柱固定在地面上的点O处，此时垂直于地面，遮阳伞顶点A与P重合．需要遮阳时，向上调节遮阳伞立柱上的滑动调节点，打开支架，伞面撑开如图②，其中，，，为中点，，根据生活经验，当太阳光线与伞口垂直时，遮阳效果最佳．（图中的虚线就是太阳光线，同一时刻的太阳光线是平行的）

(1)某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节点，此时立柱与支梁夹角_________度．(2)在（1）的情况下，若为遮阳伞落在地面上的阴影如图④所示，求出这个阴影的长度．(3)如图⑤，正午时分，太阳光与地面的夹角约为，滑动调节点到，使遮阳效果最佳，此对调节点滑动的距离约为多少？（，，，结果精确到）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意可得，，由可得，从而得到，由即可得到柱与支梁夹角度数；（2）过点作交于点，过点作交于点，可得四边形为平行四边形，根据，可得，再利用可求出的长度，即可得到阴影的长度；（3）过点作交于点，根据题可求出，由，，即可得到调节点滑动的距离；【详解】（1）解：∵遮阳效果最佳，

∴，∵，∴，，∵，，∴，，∵为中点，，∴，，∴立柱与支梁夹角度；（2）解：如图，过点作交于点，过点作交于点，

∵，，∴，，，∵，，，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴,∴阴影的长度为．（3）如图，过点作交于点，

∵遮阳效果最佳，即，，∴由四边形内角和知：，∵，∴，∵，∴，∴，，．∴调节点滑动的距离约为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的三角函数值，平行四边形的判定及性质是解决本题的关键．2．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．

(1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面的距离；(2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）．（参考数据：）【答案】(1)遮阳棚前端B到墙面的距离约为(2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为【分析】（1）作于E，在中，根据列式计算即可；（2）作于E，于H，延长交于K，则，可得四边形，四边形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后中，解直角三角形求出，进而可得的长．【详解】（1）解：如图3，作于E，在中，，即，∴，答：遮阳棚前端B到墙面的距离约为；（2）解：如图3，作于E，于H，延长交于K，则，

∴四边形，四边形是矩形，由（1）得，∴，在中，，即，∴，由题意得：，∴，∴，在中，，即，∴，∴，答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．综合与实践【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，．(1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？(2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上(云梯长度不改变)，，那么它的底部在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度．(3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？【答案】(1)m(2)不是m，而是m(3)云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员【分析】（1）本题考查解直角三角形，将梯子底部到墙的距离线段对应为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段对应为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为，所以梯子顶端到地为米；（2）根据勾股定理求出，再与作差，求出的长度；（3）先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与比较，即可求得．【详解】（1）解：（1）在中，∴．（2）解：云梯的底部在水平方向滑动到的距离不是m．理由如下：由（1）可知m，∴．在中，∴，∴．（3）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，则能够到达墙面的最大高度为．∵，∴，因此，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员．4．如图，甲、乙两队同时从A点出发，相约去河对面的公园D游玩．甲队选择的线路为，其中在BC段划船过河；乙队选择的线路为，其中在FE段乘坐游船过河．已知四边形为矩形，A，B，C三点在同一直线上，长为600米，，，．（参考数据：，，，，）

(1)求D到的距离；（结果精确到个位）(2)甲、乙两队在陆地上都是步行，且步行速度均为．已知甲队划船的速度为，乙队游船的速度为，若长为1800米，请通过计算说明哪一队先到达公园D．【答案】(1)D到的距离为(2)甲队先到达公园D，理由见解析【分析】（1）过点作于点H，在中求出，，由矩形的性质得，再在中求解即可；（2）根据时间=路程÷速度分别求出甲队和乙队用的时间比较即可．【详解】（1）过点作于点H

在中，，∵，，∴，，∵四边形为矩形∴在中，，∴，在中，，∴∴D到的距离为346m．（2）∵四边形BCEF为矩形，长为1800米，∴米，据题意得：甲队所用时间为乙队所用时间为∵∴甲队先到达公园D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确