直线与平面平行的判定高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

4.1直线与平面平行的判定第六章立体几何初步认识知识回顾：在空间中直线与平面有几种位置关系？直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行文字语言图形语言符号语言α

aAα

aαa

怎样判定直线与平面平行呢？问题

根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长，平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？a（1）分析实例—猜想定理问题1:观察湖面上的大桥，大桥与它的倒影所在的平面（湖面）是什么位置关系？（1）分析实例—猜想定理问题2:在长方体ABCD－A1B1C1D1中，观察棱CC1与侧面ABB1A1以及CC1与BB1的位置关系,由此你认为保证CC1

//侧面ABB1A1的条件是什么？D1C1BACDB1A1（2）动手操作—确认定理

问题3:将一本书平放在桌面上，翻动书的页面，页面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？

7（2）动手操作—确认定理ABCD在封面翻动过程中:直线AB在桌面所在的平面外直线CD在桌面所在的平面内直线AB与CD始终是平行的直线AB与桌面始终是平行的

ba

如果平面外的一条直线和此平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.直线和平面平行的判定定理：简述为：线线平行

线面平行空间问题平面问题注意：使用定理时，必须具备三个条件（1）直线a在平面α外，（2）直线b在平面α内，（3）两条直线a、b平行。

三个条件缺一不可（1）若直线a不在平面α外，即a在平面α内a//α吗？ab缺少条件1，显然不成立。反例：（2）若直线b不在平面α内，a//吗？ab缺少条件2，定理也不成立。缺少条件3，定理也不成立。ab（3）若直线a不平行于直线b，a//吗？

三个条件缺一不可，缺少其中任何一条，则结论就不一定成立了。例1.下列命题正确的个数是()(1)若直线a上有无数多个点不在平面

内，则a

∥

;(2)如果直线a、b平行于同一个平面,那么a∥b

；(3)若直线a与平面

内一直线平行，则a∥

；(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行.A.0B.1C.2D.3A2.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是()BCD例2、实践：（口答）如图：长方体ABCD—A′B′C′D′中，

①与AB平行的平面是____________

②

与AA′平行的平面是____________

③

与AD平行的平面是_____________①平面A′B′C′D′和平面DCC′D′②平面BCC′

B′和平面DCC′D′③平面A′B′C′D′和平面BCC′B′D’C’B’A’DCBA

已知：三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB，AD的中点。求证：EF//平面BCD证明：∵E，F分别是AB，AD的中点∴EF//BD

由直线与平面平行的判断定理得:EF//平面BCD。例1定理应用中位线法ABEFDC如图，在三棱锥A-BCD中，E、F分别为AB、AD上的点，若，则EF与平面BCD的位置关系是_____________.

EF//平面BCD变式1四、定理应用比值相等法ABEFDCBDFOACE变式2:

如图,四棱锥A—DBCE中,底面DBCE为正方形,F为AE的中点.求证:AB//平面DCF.例2.正方体ABCD——A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC与C1D1的中点.判断EF与平面BDD1B1位置关系，说明理由。MM方法一方法二平行四边形法应用判定定理判定线面平行的关键是找平行线。方法一：三角形的中位线方法二：平行四边形的平行关系。数学思想方法：转化的思想空间问题平面问题方法三：线段成比例方法四：基本事实4五、方法总结证明:连接BD交AC于O,连结EO∵O为矩形ABCD对角线的交点,∴DO=OB,

又∵DE=ED1,∴BD1//EO.ED1C1B1A1DCBAO巩固练习1:如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证:BD1//平面AEC.变式训练.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点.求证：AB1//平面DBC1P巩固练习2:如图所示，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.GPBCADEF巩固练习3:如图，在四面体A－BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD.巩固练习4:

巩固练习5:B如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=ND，求证：MN∥平面AA1B1B.巩固练习6:证明直线与平面平行的方法：（1）利用定义:（2）利用判定定理:线线平行线面平行直线与平面没有公共点应用判定定理判定线面平行时应注意六个字:（1）面外（2）面内（3）平行六、课堂小结4.2直线与平面平行的性质第六章立体几何初步认识

ba

如果平面外的一条直线和此平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.直线和平面平行的判定定理：线线平行

线面平行思考1:如果直线a与平面α平行，那么经过直线a的平面与平面α有几种位置关系？αaαa思考2:如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与平面α相交于直线b，那么直线a、b的位置关系如何？为什么？αabβ证明：∵α∩β=b，∴b⊂α.又a//α，∴a与b没有公共点.又a⊂β，

b⊂β，∴a//b.线面平行的性质定理:

如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一平面与已知平面的交线与该直线平行.简述为：线面平行线线平行αabβ练习：以下命题（其中a，b为直线，

为平面）①

③若a∥b，b∥，则a∥

④其中正确命题的个数是 （）A.0个 B.1个C.2个

D.3个A例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于B′C′．(1)要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和平面ABCD有什么关系？解：(1)如右图，在平面A'C内，过点P作直线EF，使EF//B'C'，并分别交棱A'B',D'C'

于点E,F.连接BE,CF,则EF,BE,CF就是应画的线.(2)∵BC//平面A'C',平面BC'∩平面A'C'=B'C',∴BC//B'C'.由(1)知，EF//B'C'，∴EF//BC.

而BC在平面AC内，EF

在平面AC外，

∴EF//平面AC，

显然BE,CF都与平面AC相交.HOACBDGPM例2如下图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.写出GH的作图过程，并证明：AP∥GH.

例5.如图，在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD∩平面QEF＝GH.求证：AB∥GH.

例5.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，且PQ//面AB1，则线段

PQ长为

．ABCDA1B1C1D1PQ

课堂小结证明平行的转化思想：线//线线//面线面平行的判定定理线面平行的性质定理4.3平面与平面平行的性质第六章立体几何初步认识1.复习（1）直线与平面平行判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.简称：线线平行，则线面平行.一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.简称：线面平行，则线线平行.（2）直线与平面平行性质定理符号表示：符号表示：αabβ

1.面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面。面面平行线面平行下面我们研究平面与平面平行的性质,也就是以平面与平面平行为条件，探究可以推出哪些结论.2.平面与平面平行的性质定理:（面面平行线线平行）两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.ba例1求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.已知：如图示,α//β,AB//CD,且A∈β,C∈β,B∈α,D∈α,求证：AB=CD.

例4如图，平面α，β，γ两两平行，且直线l与α，β，γ分别交于点A,B,C,直线m与α，β，γ分别交于点D,E,F,AB=6,BC=2,EF=3.求DE的长.解当直线m与l共面时，该平面与α，β，γ分别交于直AD,BE,CF,因为α，β，γ两两平行，所以AD∥BE∥CF,故当直线m与l不共面时，连接DC.设DC与β相交于点G,则平面ACD与α，β分别相交于直线AD,BG,平面DCF与β，γ分别交于直线GE,CF.因为α，β，γ两两平行，所以BG∥AD,GE∥CF.因此所以

又因为AB=6,BC=2,EF=3,所以,DE=9.

4.4平面与平面平行的判定第六章立体几何初步认识1、平面β内有一条直线与平面α平行，平面α，β一定平行吗？（不一定）2、平面β内有两条直线与平面α平行，平面α，β一定平行吗？思考：一平面内两条平行直线都平行于另一平面两平面位置关系？判定方法2：平面与平面平行的判定定理：

符号表示：

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.P①内②交③平行线面平行面面平行

mn解：(1)错误；(2)正确；(3)错误；αβl(1)αβl(3)a(4)正确；(5)正确.2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

4.如图，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，求证：平面MNG∥平面ACD。CBADN·M··G5.如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE∥平面SBD.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的()A

BC,D)D

A

6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，M，N分别为棱A1D1，A1B1的中点，过点B的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为________．18面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面。证明线面平行有两种：一是找线；二是找面.面面平行线面平行A1C1B1ACBD1DPQ例1、设P，Q是单位正方体AC１的面AA１D１D、面A1B1C1D1的中心.证明：PQ//平面AA1B1B例1、设P，Q是单位正方体AC１的面AA１D１D、面A1B1C1D1的中心.证明：PQ//平面AA1B1B变式.如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证PQ∥平面BCE.(用多种方法证明)4.5平行关系复习第六章立体几何初步认识三种平行关系的转化线线平行线面平行面面平行线面平行判定线面平行性质面面平行判定面面平行定义面面平行性质若一条直线和两个相交平面都平行,则这条直线和它们的交线的位置关系是

.平行练习1:

、

、

为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同直线，则下列命题，正确的是