新教材苏教版高中数学必修第一册第3章不等式 课时练习题及章末测验含答案解析

第3章不等式

3.1不等式的基本性质...................................................-1-

3.2基本不等式（a,b2O）.............................................................-6-

3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式.........................-12-

3.3.1从函数观点看一元二次方程....................................-12-

3.3.2从函数观点看一元二次不等式..................................-17-

第3章测评.............................................................-23-

3.1不等式的基本性质

1.已知a+b>0,/?<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是（）

\.a>b>-b>-a

B.a>-b>-a>h

C.a>-b>h>-a

D.a>b>-a>-b

ggc

I解析]（方法一）:Z+方>0,.">以又b<0,.">0,且⑷>网,.：”>功>。>”

（方法二）设a=3,/?=-2,则a>-b>b>-a.

2.（2020湖南岳麓湖南师大附中高一月考）设M=3『-x+1,N=『+x-1,则（）

A.M>N

B.M<N

C.M=N

D.M与N的大小关系与x有关

gg]A

2+>0,.：M>N.故选A.

3.设实数。=,8=-1,。=,则（）

X.b>a>cB.c>b>a

C.a>b>cD.c>a>b

前A

|解析|-1=,:即b>a>c.

4.若a/满足-<。<夕<,则a/的取值范围是（）

A.（-兀，兀）B.(-n,O)

C.(』D.(-,0)

ggB

|解析|:〈.又-<a<,.：-7t<a/<7L：'a<4,.：a/<0..：-7r<a/<0.

5.已知60<x<84,28<y<33,见Ix-y的取值范围为，的取值范围

为.

答案{x-y|27Vx-y<56}1<3/

|解新:28勺<33,.：-33<-y<-28.又60<x<84,.：27<x-y<56.

由28勺<33,得，即<3.

6.(1)已知a<》<0,求证:;

(2)已知a>仇,求证:a/?>0.

证函(1).

"."a<b<Q,.,.b+a<Q,b-a>Q,ab>Q,

.：<0,故.

(2):,

.：<0,即<0,

而a>b,.'.b-a<0,/.ab>0.

7.已知12<。<60,15<。<36,求a-b和的取值范围.

g:15<*36,.：-36<功<-15,

.：12-36<a-h<60-15,.：-24<a-h<45.

又，

综上,a-b的取值范围为(-24,45),的取值范围为(,4).

8.(2020北京八中期末)设。<方<0,则下列不等式不成立的是()

A.B.

C.\a\>-bD.

ggB

|解树对于A,因为a</?<0,所以帅>0,所以<0,即，故A成立;对于B,若a=-2力=-1,则

=/,=-,此时，故B不成立;对于C,因为a<b<0,所以|。|>依=-于故C成立;对于D,因为

"。<0,所以则，故D成立.故选B.

9.（2020山西小店山西大附中月考）手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占

比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在（0』）间，设计师将某手机的屏幕

面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”

和升级前比有什么变化（）

A.“屏占比”不变B“屏占比”变小

C.“屏占比”变大D.变化不确定

ggc

隧洞设升级前“屏占比''为,升级后“屏占比”为3乂>0,〃?>0）,因为>0,所以该手机“屏

占比”和升级前比变大.

10.（2020浙江西湖学军中学高一月考）已知0<。<，且M=,N=，则M,N的大小关系是

（）

A.M>NB.M<N

C.M=ND.不能确定

|答案A

|解析|已知0<”,且M=,N=,则0<a/?<l.则M-N=（）-｛）=>0,因此M>N.故选A.

11.（2020江苏无锡第一中学期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一

书中首先把“=''作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和">”符号，并

逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若。力,cWR,则下列说

法正确的是（）

A.若。>0,则a2+l>（a-l）（a+2）

B.若则ac2>bc1

C.若且，则ab>0

D.若〃乂>0,则

|答案C

|解析[对于AM2+l-（q-l）3+2）=a2+].q2_〃+2=3-a,当a>3时<（〃_1）3+2）,当

a=3时,3-。=0,屋+1=（〃・1）（。+2）,当a<3时>（小1）.（〃+2）,故A错误;对于B,

当c=0时,&?=（）=/7c2,故B错误;对于C,因为。泌，所以又<0,所以。。>0,故C

正确;对于D,因为a>b>0,所以6a<0,但，不能判断ab-\的符号，则不一定成立，故D

错误.故选C.

12.（多选）（2020广东高州一中月考）若a<h<0,c>0,则下列结论错误的是（）

A.B.

C.\ac\<\bc\D.

答案|ABC

廨前因为。<*0,所以.又c>0,所以，故A错误;因为a<*0,所以.又c>0,所以，故B错

误;因为a<b<0,所以-a>-b>0,所以卜。|>卜乩即⑷>依,又c>0,所以|ac|>|bc|,故C错误;

因为a<b,c>0,>0,所以，故D正确.故选ABC.

13.（多选）（2020广东中山纪念中学高一月考）若。>">0,则下列不等式恒成立的是

（）

A.B.a+>b+

C.a+>b+D.

gg]AC

|解析[由得即。（/?+1）>仇。+1）,所以，故A正确;若〃=2,。二,满足

但〃+=/?+,故B错误;由得，所以。+>人+,故C正确;由a>b>0,得

标>扶>（）,所以"所以，故D错误.故选AC.

14.（多选）（2020山东鱼台第一中学高一期中）若正实数xj满足x>乂则下列结论正确

的有（）

A.孙勺2B.j（2>y2

C.（m>0）D.

I答案|BCD

I解析[对于A,由于x.y为正实数，且x>y,得孙,优故A错误;对于B,由于x.y为正实数,

且光〉y,所以犬2>广故B正确;对于C,由于尤,y为正实数，且x>y,所以

y（x+〃2）・x（y+〃2）=〃2（y・x）<0,则y（x+〃z）vx（y+机），所以成立，故C正确;对于D,由于为

正实数，且x>y,所以x>x-y>0,取倒数得0v,故D正确.

15.（2020山西高一月考）已知1WQ+bW4,-lWa»W2,则4a-2b的取值范围

是.

固会210]

解析因为1Wa+力W4,-l忘〃-/?<2,4。-2/?二3（。-与+（。+〃）,所以-210.

16.设a,b为正实数,有下列说法：

(D^t?/2=],则。/<]；

②®=1,则a-b<l;

•若||=1,则|a-/?|<l;

@^|。3_庐|=1,则依加<1.

其中正确的说法有.(写出所有正确说法的序号)

解析对于①由题意a,b为正实数，则a2-Z>2=l可化为&-/?=，则有a-b>0,即a>》>0,故

a+/?>a-b>0.若1,则21,则有a+/?WlWa-/?,这与a+b>a-b>Q矛盾;若则

<1,则有a+b>l>a-Z?,故①正确.对于②取特殊值,。=3力=,则a-b>l,故②不正确.对于

③取特殊值,a=9，=4,则"例>1,故③不正确.对于④：•|/一/?3|=1,。>04>0,."#.不

妨设a>b>0,.：a2+ab+b2>a2-2ab+b2>0,.：(a-b)(q2+而+")>(a-b)(a-份2,即

a3-b3>(a-b)3>0,.：1=\a3-b3|>(a-/?)3>0,；.Q<a-b<1,即|a-b|<1.因此④正确.

17.(2020浙江高一■课时练习)已知a>8>c,用作差法证明crb+b'c+^a>ab2+be1+ca2.

|证明|由a>b>c,可得a-b>0,b-c>0,a-c>0.

又

c^b+lrc+^a-al^-b^-ca1=(«2Z?-^2)+(b2c-ca2)+(c2a-c2b)=ab(a-b)+c(b-a)(b+a)+c2(a-b

)=(a-b)(ab-bc-ac+c2)=(a-b)(a-c)(b-c)>0,

所以crh+^c+cra>ab2+bc2+ca2.

18.某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张，其

余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的

车票原价、车型都是一样的.试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.

解设该单位有职工n人(〃GN*),全票价为x元，坐甲车需花yi元,坐乙车需花”元，

则y1=x+x(n-1)=x+xn,yi=xn,

所以yi-y2=x+xn-xn=x-xn=x(1-).

当n=5时,yi=y2；当n>5时,yi<y2；当0<n<5时,yi〉”.

因此,当单位人数为5时，两车队收费相同；大于5时，选甲车队更优惠;小于5时,

选乙车队更优惠.

19.(2020福建古田玉田中学月考)⑴设x<y<0,试比较(r+力。))与(f-y2)(x+y)的大

小；

⑵已知-1<。+8<3,2<。3<4,求2a+3b的取值范围.

解(1)(f+y2)(x_y)_(f_y2)(x+y)

=(x-y)3+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y).

:'xVyvO,•:q>0,%-y<0.

Z-2xX^-y)>0.

.：(f+y2)(x-y)>(PV)(x+y).

(2)i殳2a+3〃=nt(Q+Z?)+〃(a-/?),贝U

•:〃2=,〃=-.

；・2a+3b=(a^-b)-(a-b\

:1<〃+〃v3,2<〃-0<4,

•：-3+〃)<,-2v-(a-〃)v・L

・：・(〃+办(〃・b)<.

故2a+3h的取值范围为(-).

3.2基本不等式（a,bNO）

1.设a,b为正数，且a+0W4,则下列各式正确的是（）

A.<1B.21

C.<2D.22

ggB

解画因为必W（）2W（）2=4,所以2222=1,当且仅当a=h=2时，等号成立.

2.若尤>0,y>0,且=1,贝！J尤y有（）

A.最大值64B.最小值

C.最小值D.最小值64

gg]D

|解析|由题意孙=（）xy=2y+8x22=8,.：28,当且仅当x=4,y=16时，等号成立，故xy有

最小值64.

3.（2020黑龙江尖山双鸭山一中高二开学考试）下列说法正确的是（）

A.x+的最小值是4

B.的最小值是2

C.若0<x<l,则x(l-x)的最小值为

D.如果ar2〉/?。2,那么a>b

ggD

廨研对于A,当x<0时/+的值小于0,故A不正确;对于B,22,当且仅当=1时，等号成

立,这样的x不存在，故最小值不为2,故B不正确;对于C,r0<x<l,.：l-x>0,.：

x(l-x)W()2=，当且仅当x=l-x,即％=时，等号成立，故C不正确;对于D,:ad>bd,「.

c2>Q,.,.a>b,ikD正确.故选D.

4.(2020陕西新城西安中学高三月考)设a>0Q>0,且不等式20恒成立，则实数人的最

小值等于()

A.OB.4C.-4D.-2

ggc

底祠由20,得因为+224(当且仅当a=b时，等号成立)，所以-W-4.要使％，-恒成

立，应有Z2-4,即实数k的最小值等于-4.故选C.

5.若。>0力>0,且，则a3+b3的最小值为.

gg]4

:b>0力>0,.：22,即服22,当且仅当。=8=时，等号成立..：足+护2222=4,当且

仅当4=〃=时，等号成立.则。3+83的最小值为4.

6.已知0<x<l,则x(3-3x)取得最大值时X的值为.

§1

|解析[由x(3-3x)=x3x(3-3x)Wx(L=，当且仅当3x=3-3x,即》=时，等号成立.

7.若对任意x>0,Wa恒成立，则实数a的取值范围是.

解析因为x>0,所以x+22,当且仅当x=\时，等号成立.

所以，

当且仅当x=l时，等号成立.

即的最大值为，故

8.(1)已知》<3,求)，=+》的最大值；

(2)已知x,y是正实数，且x+y=4,求的最小值.

g(l)：x<3,.：x-3<0,

•:尸+x=+(x-3)+3

=-[+(3-x)]+3

W2+3=・l,

当且仅当二3-x,即x=l时，等号成立.

,：人幻的最大值为・1.

(2)：Xy是正实数，

.：(x+y)()=4+()24+2,

当且仅当，即x=2(-l),y=2(3-)时，等号成立.

又x+y=4,.：21+,

当且仅当x=2(-l),y=2(3-)时，等号成立.

故的最小值为1+.

9.若-4<x<l,则y=()

A.有最小值1B.有最大值1

C.有最小值-1D.有最大值-1

“D

|解析卜=[(尤-1)+1:Mvxvl,.：x-l<0.故y=-[-(x-l)+]W-1,当且仅当x-1=，即x=0时,

等号成立.

10.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(l+x)(l+y)的最大值为()

A.16B.25C.9D.36

SgB

|解新(l+x)(l+y)W口2=口2=()2=25,当且仅当1+x=l+y,即x=y=4时，等号成立.故

(l+x)(l+y)的最大值为25.故选B.

11.已知a>0力>0,若不等式恒成立，则m的最大值为()

A.10B.12C.16D.9

廨神由已知心0力>0,若不等式恒成立，则mW（）（〃+力恒成立.问题转化成求

产（）3+〃）的最小值,y=（）（。+/?）=5+，5+2=9,当且仅当a=2h>0时，等号成立.所以

/〃W9.故选D.

12.（2020浙江西湖学军中学高一月考）设正实数x,y,z满足3-3盯+4V-z=0,贝U当取得

最大值时，的最大值为（）

A.OB.3C.D.1

解桐丁正实数九,y,z满足f-3xy+4y2-z=0,.：z=/-3孙+4/.：=1,当且仅当x=2y>Q时,

等号成立，此时z=2y2..：=-（-l）2+iWl,当且仅当y=\时，等号成立.即的最大值是1.

故选D.

13.某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为凡第三年的增长率为九

这两年的平均增长率为其。力/均大于零），则（）

A.x=BJCW

C.x>

S^]B

|解稠由题意得力（1+a）（1+份=A（1+4,则（1+a）（1+/?）=（1+x）2,因为（1+0（1+与W（）2,

所以l+xW=l+,所以xW,当且仅当a=b时，等号成立.故选B.

14.（多选）下列不等式一定成立的是（）

A.%2+>x（x>0）B.x+22cx>0）

C.X2+1^2|X|(XGR)D.>l(xER)

国剽BC

廨前对于A,当片=时胃+=匕所以A不一定成立;对于B,当x>0时,x+22,当且仅当

x=l时，等号成立，所以B一定成立;对于C,不等式f+l?%|=（|X|-1）2NO,即人+122枚|

恒成立，所以C一定成立;对于D,因为V+121,所以0<Wl,所以D不成立.

15.（多选）若正实数a,b满足。+/尸1,则下列说法错误的是（）

\.ab有最小值B.有最小值

C.有最小值1D.H+U有最小值

|答案!ABD

|解析|:Z>0,/?>0,且a+A=l,.：1=〃+。22,

.：aZW,当且仅当〃=〃=时，等号成立.・：出?有最大值，,：A错

误.（）2=4+。+2=1+2・1+2=2,,：,当且仅当〃==。=时，等号成立.所以有最大值，,：B错

误.21,当且仅当〃=b=时，等号成立.•：有最小值1,・：C正

确.〃2+〃2=5+力2_24/?=1_26?21-2乂,当且仅当4二〃二时，等号成立..：4十/的最小值

是，不是，二D错误.

16.（多选）（2020重庆万州第二高级中学月考）若。力,cWR,且。。+仪:+。。=1,则下歹!!不

等式成立的是（）

A.a+〃+cWB.（Q+/?+C）2»3

C.22D.^+^+c2^1

ggBD

|解析[由基本不等式可得/+〃222出2/2+/22",（?2+42、2皿上述三个不等式全部相

加得2伍2+。2+/）22（次?+a+。。）=2,.：屋+02+/21,当且仅当a=b=c时，等号成立..：

（a+b+c）2=a2+b2+c1+2（ab+bc+ca）^3,•,•a+b+c^：-^a+/?+c2.若a=b=c=-,贝I=-3<2.

因此,A,C错误,B,D正确.故选BD.

17.（2020江苏淮安高一月考）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨,运费

为4万元欣，一年的总存储费用为4九万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最

小，则x=.

^M]20

廨神该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次.运费为4万元

/次,一年的总存储费用为4x万元,一年的总运费与总存储费用之和为（x4+4x）万

元.x4+4x2160,当且仅当=4x,即x=20时，等号成立.故当x=20时，一年的总运费与总

存储费用之和最小.

18.（2020浙江高一月考）已知x>0,y>0,且=2,则2x+y的最小值为.

gg7

|解析[由=2,可得2x+y=2（x+l）+y-2=[2（x+l）+y]（）-2

=[10+]-2

>[10+21-2

=7,

当且仅当，即x=,y=6时，等号成立.

故2x+y的最小值为7.

19.已知。力,c为不全相等的正实数，且R?c=l.求证:a+b+c<.

怔则因为。力,c为不全相等的正实数，且加。=1,

所以=2c,=2a,=2/7,以上三个不等式相加，得2()>2(a+/?+c),

即>a+b+c,

所以Q+〃+C〈.

20.⑴若x<3,求y=21+1+的最大值；

(2)已知无>0,求y=的最大值.

觑⑴因为x<3,所以3-x>0.

所以y=2x+1+=2(.3)++7

=12(3.)+]+7.

由基本不等式可得2(3-x)+22,

当且仅当2(3-x)=，即x=3-时，等号成立.

所以-12(3-x)+]w-2,

所以y=2x+l+=-[2(3-x)+]+7W7-2,

当且仅当x=3-时，等号成立.

故y=2x+l+的最大值是7-2.

(2)y=.

因为x>0,所以x+N2=2,

当且仅当x=，即x=l时，等号成立.

所以0<Wl,即0<yWl.

所以y=的最大值为1.

21.(2020黑龙江齐齐哈尔第八中学期中)第一机床厂投资A生产线500万元,每万元

可创造利润L5万元.该厂通过引进先进技术，在A生产线的投资减少了x(x>0)万元,

且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005X)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部

投入B生产线，且每万元创造的利润为1.530.013X)万元淇中«>0.

⑴若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，求x的取值范围；

⑵若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润，求a的最大值.

解⑴由题意，得1.5(1+0.005x)(500-x)21.5x500,整理得/SOOxWO,解得0«00.

又x>0,故0<xW300.

故x的取值范围为(0,300].

(2)由题意知乃生产线的利润为1.5(a-0.013x)x万元，技术改进后/生产线的利洞

为L5(l+0.005x)(500-x)万元，则1.5(a-O.O13x)x<1.5(1+0.005x)(500-x)恒成立.

又x>0,.：aW+L5恒成立.

又24,当且仅当x=250时，等号成立，

•：0<aW5.5,即a的最大值为5.5.

3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

3.3.1从函数观点看一元二次方程

1.下列一元二次方程的解集为空集的是()

Af+2x+l=08^+2^+2=0

CJC2-1=0D.f-2x-1=0

廨研对于A,因为1=22-4x1x1=0,所以方程有两个相等的实数根,A不合题意;对于

B,因为』=12_4xlx2<0,所以方程没有实数根，故B符合题意;对于C,方程有两个不相

等的实数根x=壬l,故C不符合题意;对于D,因为/=(-2)2-4xlx(-l)>0,所以方程有两

个不相等的实数根，故D不合题意.故选B.

2.(2020辽宁阜新第二高级中学高一月考)已知方程f-px-q=0的解集为｛-1,3｝，则〃

与q的值分别为()

、p=-2,q=3B,p=2,q=3

C.p=-2,q=-3D.p=2,g=・3

ggB

蓟由题意可知-1和3是方程V-px-qR的两个根，由根与系数的关系可知

-1+3=p,-lx3=-q,解得p=2,q=3.故选B.

3.（2020浙江西湖学军中学高一月考）若a/是二次函数y=^-kx+8的两个零点，则

（）

A.|a|>3且网>3

B.|a+/?|<4

C.|a|>2且|川>2

D.|a+川>4

ggD

|解析|:a/是二次函数-丘+8的两个零点,.：/=炉-32>0,解得k>4或k<-4.

a+A=Z，3=8,.：|a+川>4.故选D.

4.若a/是二次函数y=/+3x-6的两个零点，则（r-3fi的值是（）

A.3B.15

C.-3D.-15

|解析|:a/是二次函数），=/+3片6的两个零点，.：a2+3a-6=0,即a2=6-3a.由根与系数

的关系可知a+尸=-3,.%2-3尸=6-3a-3尸=6-3（a+£）=6-3x（-3）=15.故选B.

5.若关于x的一元二次方程/+2x加=0的解集中只有一个元素，则m的值

为.

gg-1

画：•关于x的一元二次方程f+2x-机=0的解集中只有一个元素，

.：/=〃-4ac=0,即22-4（-〃?）=0,解得m=-\.

6.若xi/2是二次函数y+x-2的两个零点，则xi+*2+x\X2=.

I解析I由根与系数的关系可知/1+X2=-1,九1X2=2.：Xl+X2+XIX2=-3.

7.（2021海南位州八一中学高一月考）已知关于x的一元二次方程/+2x+2h4=0有

两个不相等的实数根.

⑴求人的取值范围；

⑵若X1X2是方程的两个根，且（Xl-X2）2=12,求k的值.

解（1）由题意可得/=22-4（24-4）=-8%+20>0,

解得k<,

.4的取值范围为'、/收）.

（2）7xi阳是方程的两个根，

・：xi+x2=-2,x\X2=2k-4.

:'（Xl-X2）2=12,

•：（XI+X2）2-4XIX2=12,

」4・4（2h4）=12,解得％=L

8.（2021北京昌平临川学校高一月考）已知关于%的方程％26+七0的两根分别是

xiK2,且满足=3,则k的值是（）

A.lB.2C.3D.4

|答案B

|解析［因为关于x的方程%2-6%+左=0的两根分别是xp2,故XI+X2=6,XIX2=Z.故=3,解得

2=2.故选B.

9.关于x的方程（〃?-2濡-4%+1=0有实数根，则相满足的条件是（）

A./%W6

B.m<6

C.〃W6且m/2

D.m<6且m^2

函A

廨祠⑦当〃”2=0,即m=2时，方程化为-4x+l=0,只有一个实根，符合题意;②当m-2^0,

即m^2时，方程有实数根的充要条件是/=（-4）2-4（根-2）20,解得机W6,即mW6且mR2.

综合①②得.故选A.

10.已知xi/2是函数yuporNaWR）的两个零点，下列结论一定正确的是（）

A.xi+X2>0BJCIX2>0

Cx<（\X2V0D.Xl/%2

函由根与系数的关系可得如+x2=ORX2=-2,故可排除B,但因为无法得知a的正负，

故A,C不正确;又/=（-a）2-4xlx（-2）=a2+8>0,.：方程有两个不相等的实数根，故选D.

11.（多选）（2020江苏启东中学高一开学考试）函数y=（9-4）的零点可以是（）

A.x=-2B.x=-

CJC=D.x=2

ggCD

隧粉由题意，方程（r-4）=0,则/-4=0或2x-l=0,解得》=±2或产.又由2x-120,解得

X》.所以函数y=（e-4）的零点为x=2或8=.故选CD.

12.（多选）关于x的方程以下说法正确的是（）

A.当m=0时,方程只有一个实数根

B.当m=\时，方程有两个相等的实数根

C.当m=-\时，方程没有实数根

D.当m=2时,方程有两个不相等的实数根

|答案|AB

廨前当m=0时，方程化为-4x+5=0,解得x=，此时方程只有一个实数根，故A正确;当

m=\时，方程化为W-4x+4=0,因为l=（-4）2-4xlx4=0,所以此时方程有两个相等的实

数根，故B正确;当m=-\时，方程化为-f-4x+6=0,因为/=（-4）2-4x（-l）x6>0,所以此时

方程有两个不相等的实数根，故C错误;当m=2时，方程化为2光2心+3=0,因为

/=（一4）2-4x2x3=-8<0,所以此时方程无实数根，故D错误.故选AB.

13.（多选）（2020重庆巴蜀中学高一月考）已知关于x的一元二次方程

（3次+4）f-18"+15=0有两个实数根孙尤2,则下列结论正确的有（）

A.a2或aW-

B.4

C.|xi-X2|=

D.=-5

|答案|ABD

|解析［因为（3层+4）%2_18ax+15=0有两个实数才艮，所以/=324Q2-60X（3Q2+4），0,故居,,

所以。2或故A正确.由根与系数的关系可得光1+X2=/1X2=，所以。，故B正

确.|xi・X2|=,故C错误.因为。，所以5戈1+5x2=64X1X2,故5次1-5依112=«¥112-5犬2,若无1=0,则

（3a2+4）02-18<7x0+15=0,15=0,矛盾，故xi#）；若QXIX2-XI=0,则以2-1=0,故皿=,即

・18+15=0,故3。2+4=3。2,矛盾.故的x2・xi#0.所以=・5,故D成立.故选ABD.

14,已知关于x的方程加+%j1=0的根都是整数，那么符合条件的整数a的取值集

合为.

病1-1,0,1}

|解析[若a=0,则x=l;

若存0,则原方程化为(x-1)[a(x+1)+1]=0,

贝lx-l=O或a(x+l)+l=O.

。当x-l=Q时^=1是方程的一个整数解.

②当a(x+l)+l=0时/+1=-，且x是整数,a是整数，知a=±\.

综上,a的取值集合为{-1,0,1}.

15.已知m,n是二次函数y=f-2尤-7的两个零点，则m2+mn+2n=.

gg|4

解析由题意知m,n是方程的两个实数根，

「・m+n=2,mn=・7.

•：m2+mn+2n=m(m+n)^-2n=2m+2n=4.

16.已知二次函数丁=/+4心1的两个零点分别是男内,利用根与系数的关系求下列式

子的值：

(1)(XI-X2)2；

(2).

阚由题意知一元二次方程x2+4x-1=0的两根分别是XI42,则

(1)(XI-X2)2=(XI+X2)2-4XIX2=16+4=20.

(2)=18.

17.已知关于x的二次函数)=/-(2h1次+炉+1的图象与x轴有两个交点.

⑴求上的取值范围；

(2)若图象与x轴交点的横坐标为XO2,且它们的倒数之和是求k的值.

懈⑴:.二次函数y=『-(2hl)x+M+l的图象与x轴有两个交点，

.:当y=0时炉-(2hl)x+d+l=0有两个不相等的实数根.

.：/=/_4ac=[-(2h1)]2-4x1x(S+1)>0.

解得％<-,即k的取值范围为(-00,-).

⑵当>=0时(2hl)x+d+l=0,

则犬1+12=2匕1/112=庐+1,

解得&=・1或2=-(舍去)，•：攵二-1.

3.3.2从函数观点看一元二次不等式

1.(2020广东新会会城华侨中学期中)不等式44<0的解集为()

A.(-oo,-2)U(2,+00)B.(2,+OO)

C.[-2,2]D.[0,2]

ggA

|解析[由4-f<0可得入，-4>0,即(x-2)(x+2)>0,解得x<-2或x>2.因此，原不等式的解集

为(-oo,-2)U(2,+8).故选A.

2.若0</<1,则不等式Of)Q)<0的解集为()

C.{」》<或无〉JD.lxIt<x<I

Ugo

I解析[当rw(o,i)时j<,.：解集为xIt<x<I.

3.一元二次方程ar+bx+c^的两根为-2,3,a<0,那么a^+bx+oQ的解集为()

A.{x|x>3或x<-2}B.{x\x>2或x<-3}

C.{x|-2<x<3}D.{x|-3<x<2}

|解析|:,ax2+bx+c=0的两根为-2,3,a<0,.：解ar+bx+c>0得-2<x<3.

4.在R上定义运算“O”:aG)Z7="+2a+"则满足xG)(x-2)<0的实数x的取值范围为

()

A.(0,2)B.(-2,l)

C.(-oo,-2)U(l,+oo)D.(-l,2)

|ggB

|解析|根据给出的定义得MO(X-2)=X(X-2)+2X+(X-2)=X2+X-2=(X+2)(X-1).又XO(A--2)<0,

则(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集是(-2,1).

5.设函数_/U)=则不等式fix)>fi.1)的解集是.

线(-3,l)U(3,+8)

庭班⑴=12-4x1+6=3.

当尤20时,/-4x+6>3,解得x>3或OWx<l;

当x<0时,x+6>3,解得-3<x<0.

所以危)刁⑴的解集是(-3,1)U(3,+00).

6.(2020福建福清西山学校期中)已知关于x的不等式a/+〃x-1<0(〃?,〃6R)的解集为

\xI-<x<),则m+n=.

|解析[因为关于x的不等式/we2+〃氏_]<0(加,〃eR)的解集为\xI-<x<I,

所以-是方程加d+zir-l=0的两根，

则解得

所以m+n=5.

7.已知集合A=33x-2-fv0}I=3/av0},且3GA,则a的取值范围为.

答案卜8,1]

IW^/r|A={X|3X-2-X2<0}={X|X2-3X+2>0}={X|X<1或x>2},B=[x\x<a].

若5GA,4口图，则

1_I►

012X

8.解关于x的不等式1)x+(2a1-2)>0.

画原不等式可化为[x-(a+1)][^-2(^-1)]>0.

讨论〃+1与2(〃・1)的大小：

⑴当即a<3时,x>〃+l或x<2(a-l).

(2)当〃+1=2(。・1),即。=3时#2

(3)当〃+1<2(。・1),即a>3时,%>2(小1)或x<〃+l.

综上，当a<3时,解集为{x[x>〃+l或x<2(a・l)},

当a=3时,解集为3/4},

当a>3时,解集为{讣>2(〃-1)或}.

9.不等式如2-ax-l>0(〃?>0)的解集可能是()

A.L-IX<-1或X」B.R

C.\xI-<x</D.0

2

I解析[因为/=4+4加>0,所以函数y=fW（.ax-l的图象与九轴有两个交点.又相>0,所以

原不等式的解集不可能是B,C,D,故选A.

10.（2020山西小店山西大附中月考）已知关于x的不等式x^+bx-c^的解集为

{川3<%<6},贝I」不等式・加+（c+l）x・2>0的解集为（）

人.{1尤<或]>2：

B.[J<x<2）

C.Liv■或x>l\

DJXI-<x<2）

ggc

|解析[由题意4+法-。=0的两根为3,6,则解得则不等式-云2+（。+1）.2>0可化为

9J?-17X-2>0,解得x〈-或x>2.故选C.

11.不等式20的解集为（）

A.3-1〈尤Wl}B.3-1W尤<1}

C.{x|-KWl}D.{x|-l<x<l}

蓟原不等式Q解得-1W尤<1.

12.（2020安徽定远育才学校月考）已知集合A={x*-2x-3<0},非空集合

8={x|2-a<x<l+a},3UA,则实数a的取值范围为（）

A.（-a>,2]6.（,2]

C.（-oo,2）D.（,2）

臃词A={x|f-2x-3<0}=3-l<x<3},由BUA且8为非空集合可知，应满足解得<a<2.

故选B.

13.在R上定义运算G):AG)B=A(l-8),若不等式(x-a)G)(x+a)<l对任意的实数x恒成立,

则实数。的取值范围为()

A.(-l,l)B.(0,2)

C.(-)D.(-)

|答案C

|解析|\x-a)O(x+a)=(x-a)(1-x-a),.：不等式(x-a)O(x+a)<1对任意实数x恒成立，即

(x-a)(l-x-a)<l对任意实数x恒成立，即工2・%・屋+。+1>0对任意实数x恒成立，所以

/=1-4(-。2+〃+1)<0,解得_<。<.故选c.

14.(多选)(2020河北大名第一中学月考)一元二次不等式加+法+1>0的解集为

LLl<xJ,则下列结论成立的是()

A.6Z2+Z?2=5B.a+Z?=-3

C.ab=-2D.ab=2

|答案|ABD

丽由题意1,是方程ax2+bx+1=0的根，由根与系数的关系，得解得.：

ab=2,a+h=-3,a2+b2=5.ikA,B,D正确.故选ABD.

15.(多选)(2020江苏无锡第一中学期中)已知关于x的不等式加+笈+。>0的解集为

(-8,-2)U(4,+。)，贝(1()

A.a>0

B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}

C.a+h+c>0

D.不等式cx2-Z?x+a<0的解集为x〈-或x>)

|答案ABD

域明丁关于x的不等式a^+bx+oO的解集为(-oo,-2)U(4,+oo),.：。>0,故A正确;且-2

和4是关于光的方程ax1+bx-^-c=Q的两根，由根与系数的关系得则/?二・2a,c=-8a,则

〃+b+c=・9a<0,故C错误;不等式bx+c>0即为・2ar・8a>0,解得xv・4,故B正确;不等式

c}r-bx+a<0即为-8。『+2奴+。<0,即8尤2-2/1>0,解得了<-或x>,故D正确.故选ABD.

16.(多选)(2020湖南常德第二中学高一月考)对于给定的实数/关于x的一元二次不

等式a(x-a)(x+l)>0的解集可能为()

A.0B.(-l,a)

C.(a,-DDR

ggABC

|解析［对于不等式a(x-a)(x+l)>。,则当。>。时，函数y=a(x-a)(x+l)的图象开口向

上,故不等式的解集为(-8,-1)U(<z,+oo),当0<0时，函数y=a(x-a)(x+l)的图象开口向下,

若a=-l,不等式的解集为0；若-l<a<0,不等式的解集为(-10);若。<-1,不等式的解集

为3,-1).故选ABC.

17.(2020山东临沂高一月考)若已知关于x的不等式以<人的解集为(2+8),则

=，关于x的不等式ax2+bx-3a>Q的解集为.

馥-2(-1,3)

解析由ax<b的解集为(-2,+oo),得a<0且-2a=〃.

不等式加+陵-3a>0等价于ax2+(-2tz)x-3a>0,

因为a<0,所以f-2x-3<0,解得-1<x<3,

所以关于x的不等式加+fec-3a>0的解集为(-1,3).

18.某地年销售木材约20万立方米，每立方米的价格为2400元.为了减少木材消耗，

决定按销售收入的/%征收木材税，这样木材的年销售量减少/万立方米.为了既减少

木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是.

疆“I3WW5}

解明设按销售收入的/%征收木材税时，税金收入为y万元，则y=2400xr%=60(8?-^).

令代900,即60(8z-?)^900,

解得3W/W5.故f的取值范围是{r|3WtW5}.

19.(2020广东中山纪念中学高一月考)已知不等式^-2%-3<0的解集为A,不等式

OX2+OX-6<0的解集为B,a&R.

⑴若。=1,求AA5;

(2)在⑴的前提下，若不等式/+wu+〃<0的解集为ACS,求不等式〃i?+x+〃<0的解

集；

(3)若对VXWR,OX2+OX-6<0恒成立，求a的取值范围.

阚⑴：N={朴1<%<3},当a=l时,3=3-3<x<2},.：ArW=3-l<x<2}.

(2)易知-1,2是方程f+3+〃=0的两个根，

则解得

•:〃小+龙+〃<0,Rl7-x2+x-2<0,Rl7/-彳+2>0.

：Z<0,.：不等式/”<+x+〃<o的解集为R

⑶当a=0时,-6<0恒成立，符合题意；

当存0时，得-24<u<0.

综上,a的取值范围是(-24,0].

20.已知y=-3/+a(6-a)x+12.

⑴若不等式-Bf+ae-aXr+lZ〉/?的解集为(0,3),求实数a,b的值；

⑵若a=3时，对于任意的实数都有-3f+。(6-。)%+122-3/+(机+9〃+10,求

实数机的取值范围.

解(1)因为-39+。(6-。)彳+12>。的解集为(0,3),

所以方程-3/+a(6-a)x+126=0的两根为0,3,故解得

经检验，当a=3,0=12时,不等式-3/+a(6-a)x+12>。的解集为(0,3).

(2)当a=3时«r)=-3e+9x+12,

对于任意的实数xW[-1,1],都有-3『+9x+122-3f+(加+9)%+10,

即对于任意的实数xC[-1,1],都有〃ix-2<0.

当m=0时,-2W0恒成立；

当，”>0时,0<MW2;

当m<0时,-2W〃?<0.

综上所述，加的取值范围为[-2,2].

21.(2020北京八中期末)设meR,不等式谓-(3〃什l)x+2(m+1)>0的解集记为集合

P.

⑴若P={M-l<x<2},求m的值；

⑵当m>0时,求集合P.

艇(1)由题意可知，关于x的方程加/-Qm+Dx+Zlm+1)=0的两根分别为-1,2,所以加?0,

由根与系数的关系可得解得m=-.

⑵当m>0时，由mr2-(3m+l)x+2(???+l)>0可得(wu-"z-l)(x-2)>0,

解方程(〃优-〃[-1)(/2)=0,可得x=>0或x-1.

①当<2,即加>1时,P=》<或x>2>;

②当=2,即771=1时,原不等式化为(X-2)2>O,则P-[x\x^2]\

③当>2,即0<机<1时，尸='、xlx<2或x>).

综上所述，当m>\时,P=<、1》<或x>2>;

当m=\时，则P={x醉2};

当0<机<1时,P=，x\x<2或x>

第3章测评

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(2021河南高二期末)设a=P2x+2/=l-x,则实数。与匕的大小关系为()

A.a>hB.a=b

C.a<bD.与尤有关

IggA

|解析[因为a/upx+l=(x-)2+>0恒成立，所以a>Z?.故选A.

2.不等式2+x-f<0的解集为()

A.(-oo,-l)U(2,+o))

B.(-2,l)

C.(-l,2)

D.(-°o,-2)U(l,+oo)

Hg]A

解枷不等式可变形为f*2>0,即(x-2)(x+l)>0,解得X<-1或%>2,所以不等式

2+x-x2<0的解集为(-8,-1)U(2,+oo).故选A.

3.(2021福建泉州高一期末)若不等式加+版-120的解集是iLwxW-L则

。=()

A.-6B.-5C.D.6

|fg]A

|解稠;不等式以2+法_120的解集为｛xIWxwJ为方程ax2+bx-l=0的两个根,

.：根据根与系数的关系可得(-)x(一)=，解得a=-6.故选A.

4.(2021安徽黄山高一期末)下列不等式正确的是()

A.若av〃，则a2<b1

B.若则ac>bc

C.若a>0>0,c>d>0,e">0,贝!Jace>bdf

D.若

gl]c

|解析[对于A,若a=-3,/?=2,则标>尻错误;对于B,若c=0,则ac=/?c,错误;对于C,若

a>b>0,c>d>0,e>f>0,由不等式的基本性质可得ace>b就正确;对于D,若

。=3/=2,c=l,d=3,e=2/=l,则=1,错误.故选C.

5.（2021福建漳州高一期末）若正数尤,y满足+产1,则x+的最小值为（）

A.2B.4C.6D.8

ggD

|解析卜+=（+）,）（x+）=2++盯+224+2=8,当且仅当方=4,产时，等号成立.故

Q+）min=8.故选D.

6.（2021云南高三期末）如果两个正方形的边长分别为x,y,且x+y=l,那么它们的面积

之和的最小值是（）

A.B.C.lD.2

|解析|由基本不等式可得+产22xy,所以2a2+狗W+产+2孙=（x+y>=1,所以

f+y2弃当且仅当x=y=时，等号成立.因此，两个正方形的面积之和f+y2的最小值为.

故选B.

7.（2021湖北高三一模）已知正数a,b是关于x的函数y=f-（/+4）x+m的两个零点，

则的最小值为（）

A.2B.2C.4D.4

|解析|由题意，正数a,b是关于x的方程X2■（m2+4）%+根=0的两根，可得

〃+力二机2+4,。力二帆>0,则刁口+22=4,当且仅当机=，即m=2时等号成立.经检验知当

m=2时，方程X2■（加2+4）光+团=0有两个正实数解.所以的最小值为4.故选C.

8.（2020云南曲靖民族中学月考）已知不等式加+/u+c>0的解集是｛九|。<尤〈尸｝改>0,

则不等式cf+fer+q,。的解集是（）

A.\xI<x</B.\xI”或x>/

C.{x\a<x<li］D.{x\x<a或x>£}

ggA

|解析|不等式加+笈+。>0的解集是{Ma〈xv4}，且。>0,贝Ua、B是方程6rx2+Z?x+c=0的

两根，且。<0.由根与系数的关系得。+汽=・,磔=,所以,不等式&+法+。>0可化为

f+x+lvO,即a£工2・（［+£）尢+1<0,可化为（0%・1）俗・1）<0.又夕>仪>0,所以>0.因此,不等式

cf+Z?%+。>0的解集是<x<〔故选A.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分洪20分在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.若<0厕下列说法正确的是（）

A.a<bB.a>b

C,a2<b2D.ab<b2

|答案|BCD

I解析［因为<0,故a<0,/?<（）,/?<〃,即故B正确,A错误.对于C,a2・b2=（a・b）（a+b）,

而。十力<0,。-〃>0,故层_〃2<0,即42Vh2,故c正确.对于D,a/?-/?2=〃（4-〃）v0,故序，故D

正确.故选BCD.

10.（2021湖北高三月考）若非零实数a,b满足心。，则下列结论正确的是（）

A.a+b、2B.cr+b2>2ab

C.|a+/?|<D,（a+b）（）>4

答案|BC

解函对于A,若a,b均为负数，则不等式显然不成立，故A错误;对于B,显然成立，故B

正确;对于C,在两边同时加上。2+序,得2（次+》2）>3+32,则|。十"v成立，

故C正确;对于D,取a