2024八年级数学下册第1章直角三角形学情评估新版湘教版

第1章学情评估一、选择题(每题3分，共18分)1．在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，则∠C＝()A．30°B．40°C．50°D．60°2．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则△ABC≌△DCB的理由是()A．HLB．ASAC．AASD．SAS(第2题)(第3题)(第6题)3．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是()A．1B．2C.eq\r(3)D．44．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：2:3，则BC:AB＝()A．12B．13C．11D．235．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝36°，则∠DCB的度数为()A．54°B．64°C．72°D．75°6.我国古代数学家赵爽拼成的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼接而成的(如图)，假如大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2＋b2＝ab＋10，那么小正方形的面积为() A．2B．3C．4D．5二、填空题(每题4分，共24分)7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，D是AB的中点，则CD＝________．8．如图，PM⊥OA，PN⊥OB，∠BOC＝20°，PM＝PN，则∠AOB＝________．9．已知a，b，c是△ABC的三边长且c＝5，a，b满足关系式eq\r(a－4)＋(b－3)2＝0，则△ABC的最大内角为________．10．如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，已知∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝54°，则∠DFE＝________．(第10题)(第11题)(第12题)11．如图，一艘轮船以16海里/h的速度从港口A动身向北偏东15°方向航行，另一艘轮船以12海里/h的速度同时从港口A动身向南偏东75°方向航行，离开港口2h后，两船相距________海里．12．如图，已知AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线相交于点P，过点P作EF⊥AD，交AD于点E，交BC于点F，EF＝4cm，AB＝5cm.则下列结论：①PF⊥BC；②PE＝PF；③△ABP≌△BPF；④△APB的面积为5cm2.其中正确结论的序号是________．三、解答题(第13～15题每题8分，第16题10分，第17～18题每题12分，共58分)13．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是84cm2，AB＝15cm，AC＝13cm，求DE的长．14．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，∠B＝30°，CD平分∠C，交边AB于点D.求证：BD＝2AD.15．如图，已知正方形ABCD的边长为4，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE＝eq\f(1,4)BC，连接AF，EF.求证：AF⊥FE.16．如图，在△ABC中，已知AB＝10，BC＝8，AC＝6，CD是△ABC的中线，CE⊥AB.(1)求CD的长；(2)求DE的长．17．在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.(1)若B，C在DE的同侧(如图①)，且AD＝CE，求证：AB⊥AC；(2)若B，C在DE的两侧(如图②)，且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．18．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉的距离AB＝250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，到AB的距离MN＝120m，到喷泉B的距离BM＝150m.(1)求供水点M到喷泉A，B须要铺设的管道总长；(2)求出喷泉B到小路AC的最短距离．

答案一、1.D2.A3.B4.A5.A6．A点拨：设大正方形的边长为c.∵大正方形的面积是18，∴c2＝18，∴a2＋b2＝c2＝18.∵a2＋b2＝ab＋10，∴ab＋10＝18，∴ab＝8，∴小正方形的面积＝(b－a)2＝a2＋b2－2ab＝18－2×8＝2.二、7.68.40°9.90°10．36°点拨：在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵AC＝DF，AB＝DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF.∴∠D＝∠A＝54°，∴∠DFE＝90°－∠D＝90°－54°＝36°.11．4012.①②④三、13.解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF.∵△ABC的面积是84cm2，AB＝15cm，AC＝13cm，∴eq\f(1,2)×15×DE＋eq\f(1,2)×13×DF＝84，∴14DE＝84，∴DE＝6cm，即DE的长是6cm.14．证明：过点D作DH⊥BC于点H.∵CD平分∠ACB，DH⊥BC，DA⊥AC，∴DH＝DA.∵∠DHB＝90°，∠B＝30°，∴BD＝2DH，∴BD＝2AD.15．证明：连接AE.由题意知AB＝AD＝DC＝BC＝4，∠D＝∠C＝∠B＝90°.∵F为DC的中点，CE＝eq\f(1,4)BC，∴DF＝CF＝2，CE＝1，∴BE＝3.依据勾股定理，得AF2＝42＋22＝20，EF2＝22＋12＝5，AE2＝42＋32＝25.∴AF2＋EF2＝AE2，∴△AFE是直角三角形，∴∠AFE＝90°，即AF⊥FE.16．解：(1)由BC＝8，AC＝6，得BC2＋AC2＝82＋62＝100.由AB＝10，得AB2＝102＝100，∴AB2＝BC2＋AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.又∵CD是△ABC的中线，∴CD＝eq\f(1,2)AB＝5.(2)由(1)知△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，又CE⊥AB，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AC＝eq\f(1,2)AB·CE，∴eq\f(1,2)×8×6＝eq\f(1,2)×10×CE，解得CE＝4.8.易知△CDE为直角三角形，∴由勾股定理，得DE2＝CD2－CE2＝52－4.82＝1.96，∴DE＝1.4.17．(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵AB＝CA，AD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DBA＝∠EAC.∵∠DAB＋∠DBA＝90°，∴∠DAB＋∠CAE＝90°.∴∠BAC＝90°.∴AB⊥AC.(2)解：AB与AC仍垂直．证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°.在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵AB＝CA，AD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB＝∠ECA，∵∠CAE＋∠ECA＝90°，∴∠CAE＋∠DAB＝90°，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.18．解：(1)在Rt△MNB中，BN＝eq\r(BM2－MN2)＝eq\r(1502－1202)＝90(m)，∴AN＝AB－BN＝250－90＝160(m)，在Rt△AMN中，AM＝eq\r(AN2＋MN2)＝