2025版高考数学一轮总复习考点突破第五章平面向量与复数5.2平面向量基本定理及坐标表示

第五章平面对量与复数5.2平面对量基本定理及坐标表示考点一平面对量的坐标运算例1设点A-1,2，B2,3，C3,-解：由题意，可得AB=3,所以2AB设点D的坐标为x,y，则可得x+1=所以点D的坐标为2,16.故填【点拨】平面对量坐标运算的技巧.①向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算.②解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）进行求解.变式1设O0,0，A0,3，B6A.5 B.22 C.25解：设Px,y，则BP=x-6所以x-6=-2x,则OP=2,2，考点二平面对量基本定理及其应用例2（1）在平行四边形ABCD中，BE=12BC，AF=14解：如图，由题意，得AB==AE=AE=1又AB=mDF+n则m-故填-3（2）如图，已知平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120∘，OA与OC的夹角为30∘，且OA=OB=1，OC=解：（方法一）以λOA和μOB为邻边作平行四边形OB图1因为OA与OB的夹角为120∘，OA与OC的夹角为30∘，所以∠B1OC所以OB1=2，B1C=（方法二）以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则A1,0，C23cos30∘,23图2由OC=λOA+μOB=λ1得λ-12μ=【点拨】应用平面对量基本定理应留意定理中的基底必需是两个不共线的向量.选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来,依据基底表示的唯一性列方程或方程组求解.变式2（1）在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上一点，且AE=3EC，若DE=A.0 B.1 C.12 D.解：因为D为BC的中点，所以AD=又因为AE=3EC，所以AE则λ=-12,μ=1（2）已知向量AC，AD和AB在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC=λAB+μA.2 B.-2 C.3 D.解：建立如图所示的平面直角坐标系，则AD=1,0，因为AC=λAB所以2=λ+所以λμ=-故选D.考点三共线向量的坐标表示及应用例3（1）设平面对量a=2,1，b=x,-A.5 B.6 C.17 D.26解：由题意，知2×-2-x=0，得x（2）已知梯形ABCD，其中AB//CD，且DC=2AB，三个顶点A1,2，B2,解：因为在梯形ABCD中，DC=2AB，AB//CD，所以DC=则DC=AB=所以4-x,2-y=故点D的坐标为2,4.故填【点拨】两平面对量共线的充要条件有两种形式.①若a=x1,y1，b=x2,y变式3（1）已知向量a=x1,y1，b=x2,yA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：若x1y1=x当b=0，即x2=y所以“x1y1=x2y2（2）已知向量a=2,tanθ，b=1,-A.2 B.-3 C.3 D.解：由题意，可得tanθ则tanπ4-（3）（教材习题）已知A2,3，B4,-3，点P在线段AB的延长线上，且AP=解：因为点P在线段AB的延长线上，且AP=32所以OP=所以点P的坐标为8,-15.故填课外阅读·以数辅形在平面对量中的应用向量是沟通几何和代数的桥梁，有垂直背景的试题中，直观不易处理时，常可利用向量的正交分解解题，体现出数形结合思想中的“以数辅形”.如条件中的图形是矩形（正方形）、等腰（等边）三角形、等腰（直角）梯形等时，因为此时建系确定坐标更为简洁.与圆相关的问题则常建好系后利用圆的参数方程求解，其中圆心为a,b，半径为r的圆的参数方程为x=1.如图，已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则PC⋅PB+A.-1 B.-3 C.-解：建立如图所示的平面直角坐标系，设Px,y,则A0,0,B2,0,C所以当x=y=32时，PC2.[2024年北京卷]在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90∘.PA.[-5,3] B.[-