2024新高考数学基础知识梳理与课本优题目巩固-模块07-导数及其应用

2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块07-导数及其应用模块七：导数及其应用1、函数的平均变化率一般地,若函数y=fxx则称Δx为自变量的改变量;称Δy为相应的因变量的改变量;称Δy为函数y=fx在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以x平均变化率的实际意义是,在以x1,x2为端点的闭区间上,自变量每增加1个单位,因变量平均将增加说明:在x1<x2时Δx>平均变化率作用:刻画函数值在以x1依照定义可知,函数在一个区间内的平均图6-1-1变化率,等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率.例如,图6-1-1中函数y=fx在x1A因此,平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线(即函数图象)在某一区间上的变化趋势,是曲线倾斜程度的“数量化”,曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”.2、瞬时变化率与导数(1)函数在某点处的导数:如果当Δx→0时,平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值,即ΔyΔx有极限,则称y=fx在x=x0f(2)导数的几何意义1)2)曲线y=fx在点x一般地,如果函数y=fx在其定义域内的每一点x都可导,则称fx可导.此时,对定义域内的每一个值x,都对应一个确定的导数f′x.于是,在fx的定义域内,ff4、导数公式表(1)C′=(2)xα′=(3)(6)ax′=(8)(10)sinx′5、导数的四则运算(1)f(3)fxg4、复合函数的求导法则一般地,如果函数y=fuy则可以证明,复合函数的导数h′x与h这一结论也可以表示为y5、导数与函数的单调性(1)在某个区间a,b内,如果f′x=0,那么函数y=fx在区间a,b内单调递增;如果f′x结合函数fx=x3研究:如果函数fx在区间a(2)函数y=fx的导函数是f(3)f′6、导数与函数的极值(1)函数的极值一般地,设函数y=fx的定义域为D,设x0∈D,如果对于(1)fx<fx0,则称x0为函数(2)fx>fx0,则称x0为函数说明:极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值.(2)导数与极值如果x0是函数y=fx的极值点,且f一般地,设函数fx在x0处可导,且(1)如果对于x0左侧附近的任意x,都有f′x>0,对于x0右侧附近的任意x,都有(2)如果对于x0左侧附近的任意x,都有f′x<0,对于x0右侧附近的任意x,都有(3)如果f′x在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号),则x说明:(1)若f′x0存在,则“f′x(2)区间端点不是极值点,一个函数在定义域内可以有多个极大值和极小值,极大值不一定大于极小值;(3)在区间上单调函数没有极值;7、导数与函数的最大值和最小值(1)最值定理一般地,如果在区间[a,b(2)极值与最值的关系一般地,如果函数y=fx在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函数的最值点一定是某个极值点;如果函数y=fx的定义域为[a,b(3)求函数y=fx(1)求函数y=fx(2)将函数y=fx8、重要母函数的图象和性质解析式fff图像定义域−∞,+∞−∞,+∞−∞,解析式fff图像∫定义域0009、常用于求或恒成立、或有解、或无解命题中的参数取值范围:设函数fx的值域为a,b或[a,(1)若λ≥fx恒成立(即λ(2)若λ≤fx恒成立(即λ(3)若λ≥fx有解(即存在x使得λ(4)若λ≤fx有解(即存在x使得λ(5)若λ=fx有解(即λ(6)若λ=fx无解(即λ【导数中的重要方法总结】⋆1、切线问题:(1)已知切点x0(1)求导数值f′x;(2)切线方程为:(2)过点a,(1)设切点x0,(3)方程为:y−(3)求y=fx(1)设切点x1,(3)根据上面的关系式解出x1或x2;(4)回代入(2)中求出k,如(5)利用点斜式求出切线,如y−○2、参数取值范围:(1)函数定义域:解决函数问题,定义域优先.(2)分离参量:利用分离参量的思路将题目给的参数移到一边.a(3)恒成立和成立问题:(1)恒成立:fx<a恒成立⇔(2)成立:fx<a成立(4)导函数零点可求:导函数零点可求时,运用常规方法可求得函数最值,进而可得参数取值范围.步骤:fx定义域→f′x→求f′x(1)隐零点:通过虚设零点进行等量代换求解函数的最值.“虚设代换"法:导函数f′(1)在证明零点存在后,假设零点为xa,则可得到一个关于xo(2)根据f′x的单调性,得出xo(3)将(1)式中关于xo的方程整体或局部代入fxo,从而求得fxo即:○4、证明单变量不等式(1)核心考点:主要思路是把问题转化为函数最值问题,譬如证明fx策略一:移项,构造函数,证明fx策略二:放缩,证明fx≥l策略三:变形,证明fx(2)函数放缩化曲为直:在处理函数不等式或者求解函数近似解中,由于原函数比较复杂,常用化曲为直的方法进行放缩,以曲线上某点处的切线进行放缩,前提条件是放缩对象具有凹凸性(二阶导恒大于或小于0).常见的化曲为直有:基础指数切线放缩:e对数切线放缩:ln引深(1)ex−1≥x、ex≥ex(切横x=1)(2)ex+a≥x+a+1(用x+a替换x,切点横坐标是x(1)lnx≤xe.(用xe替换x,切点横坐标是x=e)(2)lnx≥1−1x.(用1x替换x○5、证明双变量不等式(1)利用变量之间的关系转化(消元或捆绑换元)为单变量的不等式证明;(1)当x1<x2时,令t=(2)分拆变量,证明极值点偏移(1)极值点偏移:对fx有fx1=若x1+x(2)分拆变量利用单调性证明极值点偏移的思路(以x1i、将所证不等式中的变量分到不等式的两边x1ii、构造对称函数gxiii、利用导数研究函数gxiv、由函数gx的单调性判断gx与gxv、利用fx单调性反推变量大小,从而fx1=fx2>f2x(3)双变量恒成立、能成立问题的最值等价条件:(1)∀x1∈A,∀(2)∀x1∈A,∃(3)∃x1∈A,∀(4)∃x1∈A,∃(5)∀x1,x2(6)∃x1,x2(1)当x>0(2)ffsinsincos【课本优质习题汇总】新人教A版选择性必修二P70(第2题)2.函数fx(A)f′1(C)0<f′6.已知函数fx满足fx=f′7.设函数fx=1−ex的图象与8.已知函数fx=x22新人教A版选择性必修二P8211.设曲线y=e2ax在点0,1新人教A版选择性必修二P942.证明不等式:x−7.将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形.要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?8.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,做成一个无盖方盒.(1)试把方盒的容积V表示为x的函数;(2)x多大时,方盒的容积V最大?新人教A版选择性必修二P989.用测量工具测量某物体的长度,由于工具的精度以及测量技术的原因,测得n个数据a证明:用n个数据的平均值x表示这个物体的长度,能使这n个数据的方差f最小.新人教A版选择性必修二P9911.已知某商品进价为a元/件,根据以往经验,当售价是bb≥43a元/件时,可卖出c12.利用函数的单调性,证明下列不等式,并通过函数图象直观验证:(1)ex>13.已知函数y=fx(第3题)(A)(D)(B)(C)6.一杯80​∘C的热红茶置于20∘C的房间里,它的温度会逐渐下降,温度T单位:’C’与时间(1)判断f′(2)f′3=−4的实际意义是什么?如果f3新人教A版选择性必修二P10411.如图,直线l和圆P,当l从l0开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动(转动角度不超过90∘)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间(第11题)(A)(B)(C)(D)新人教A版选择性必修二P10417.作函数y=18.已知函数fx=ex−ln19.已知函数fx(1)讨论fx的单调性;(2)若fx有两个零点,求新人教B版选择性必修三P67(第5题)6已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示.(1)甲、乙两人的平均速度各是多少?(2)在接近终点时,甲乙两人谁的速度更快?新人教B版选择性必修三P90(3)已知曲线y=x2(4)求fx=x2−新人教B版选择性必修三P91(5)设l是曲线y=1x(6)求满足下列条件的直线l的方程.(1)过原点且与曲线y=ln(2)斜率为e且与曲线y=(7)设曲线y=2x3在a,2a(3)已知函数fx=4x2,且曲线y=fx在点1,(1)求出直线l与m的方程;(2)指出曲线y=fx(9)已知fx=x新人教B版选择性必修三P91(3)已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=−x2+a,如果直线l同时是(1)已知函数fx=x3−(5)已知ex≥kx(3)已知函数y=kx−1新人教B版选择性必修三P102(1)利用导数求一元二次函数y=(2)若函数fx=−x3+ax2+新人教B版选择性必修三P108(1)已知正方形ABCD的边长为1,而E,F,G,H分别是(2)在等腰梯形ABCD中,已知上底CD=40,腰AD=(3)已知等腰三角形的周长为2p,将该三角形围绕底边旋转一周形成几何体,则三角形的各边长分别是多少时所得几何体的体积最大?(4)要做一个容积为216 mL(5)若x1s用导数求x取何值时sx新人教B版选择性必修三P1135.已知a>0且fx=ax+a6.若函数fx=x2−7.已知fx(1)求fx与y轴的交点A(2)若fx的图象在点A处的切线斜率为-1,求f8.已知x轴为函数fx=x9.求曲线y=ln1+10.函数fx=x(A)(B)(C)(D)11.设函数f(1)若a=0,求(2)若fx无最大值,求实数a12.要在半径为0.5 m的圆桌中心正上方安装一个吊灯,已知桌面上灯光的强度可以用y=ksinφ13.设函数fx=x2+1−ax,其中新人教B版选择性必修三P11414.证明:当x>0时,15.已知函数fx=x3+bx2+(1)求实数c的值;(2)求证:f1(3)求α−新人教B版选择性必修三P1141.设函数fx(1)求曲线y=fx(2)设a=b=4,若函数(3)求证:a2−3b2.若函数fx在R上可导,且满足fx−xf3.设函数fx=xea−x+bx(1)求实数a,(2)求fx4.已知函数fx=ax3−3x25.已知函数fx=ex2x−1−ax6.令fx=x在点1,1处作抛物线的切线交x轴于在点x1,fx1在点x2,fx2......由此能得到一个数列xn(1)求x1(2)设xn+1(3)用二分法求方程的近似解,给出前4步结果.比较牛顿切线法和二分法的求解速度.7.求证:x≥0时,有x模块八：三角函数及三角恒等变换1、任意角:(1)角的概念:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形;(2)角的分类:名称图形类比正数,α>正角一条射线绕其端点_________旋转形成的角类比负数,α<负角一条射线绕其端点_______旋转形成的角零角一条射线没有进行任何旋转形成的角A零角的始边与终边重合,α=注:设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线O′A′绕端点O(3)角的加法、减法1)角的加法设α,β是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角时终边所对应的角是α+2)相反角的概念我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为−α3)角的减法像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样,我们有α−2、终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个○温馨提示3.当角的始边相同时,相等的角的终边一定相同,而终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们相差360∘集合1.α为任意角,“k∈2.k⋅即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周接,k⋅360∘−α3、象限角与轴线角(1)象限角的表示:(i)第一象限角:.(弧度表示)(注:锐角是第一象限角,反之不成立)(ii)第二象限角:（弧度表示）(注:钝角是第二象限角,反之不成立)(iii)第三象限角:(弧度表示)(iv)第四象限角:(弧度表示)(2)轴线角的表示:角α终边的位置角α的集合表示集合中角之间的差都为360的整数倍角α终边的位置角α的集合表示特点集合中角之间的差都为180%的整数倍集合中角之间的差为90的整数倍在x轴的非负半轴上在x轴的非正半αα=在x轴上α∣轴上180在y轴上α在y轴的非负半α∣k轴上在y轴的非正半轴上k∈Z}在坐标轴上α∣4、角度制与弧度制:(1)角度制:我们知道,角可以用度为单位进行度量,1度的角等于周角的1360(2)弧度制:1)1弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.2)弧度制:以弧度作为单位来度量角的单位制.用符号rad表示,读作弧度.我们把半径为1的圆叫做单位圆.如图,在单位圆O中,AB的长等于1,∠3)在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为αrad,则α注:一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.5、角度与弧度的换算:填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表:度03045120135150360弧度πππ3π角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应(图5.1-12).6、弧长公式、扇形的面积公式在应用弧长公式l○易错提醒时,要注意α的单位是“弧是以“度”为单位的角,那么必如图,设扇形的半径为R,弧长为l,圆心角为α0(1)弧长公式:须先把它化成以“弧度”为单位的,再代入计算.(2)扇形的面积公式7、弧度制下角的终边的对称与垂直角的终边是一条射线,在平面直角坐标系中,若两个角的终边关于某条直线(或点)对称,则这两个角就有一定的关系.角α与角β终边的位置关系角α与角β关系角α与角β终边关于x轴对称角α与角β终边关于y轴对称角α与角β终边关于原点对称角α与角β终边关于y=角α与角β终边关于y=−角α与角β终边在一条直线上角α与角β终边相互垂直8、三角函数的概念(1)单位圆中的定义设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数(sinefunction),记作sinαy(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数(cosinefunction),记作cosαx(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切,记作tany我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometricfunction),通常将它们记为:正弦函数y=sin余弦函数y=cos正切函数y=tan(2)利用角α的终边上任意一点的坐标定义三角函数如图,设角α是一个任意角,α的终边上任意一点P的坐标是x,y,它与原点的距离则:(i)sin(ii)cos(iii)tan(3)三角函数值在各象限中的符号:表5.2-1costan三角函数定义域sincostan(4)特殊角的三角函数值角度030456090120135150180270360弧度0ππ60π2π3π5ππ3π2πsincostan还需实记的值:159、诱导公式:公式一sincostan公式二sincostan公式三sincostan公式四sincostan公式五sincos公式六sincos10、同角三角函数的基本关系1)平方关系:sin2α+2)商数关系:tanα(说明:利用三角函数的定义,自行推导同角三角函数的基本关系式)1、平方关系的推导:2、商数关系的推导11、三角函数的图象与性质yyy图象定义域值域最值既无最大也无最小周期性奇偶性单增区间单减区间无对称轴无对称中心kπ12、五点作图法:三角函数五个关键点y=sinx13、三角函数图象变换(1)三角函数的平移变换(1)先伸缩后平移:yy(2)先平移后伸缩:yy定理:y=Asin(1)fx=sinx的图像由(2)fx=sinx的图像由f14、正余弦型三角函数⋆1、正弦型三角函数f(1)A(振幅):振动物体离开平衡位置的最大距离.ωx+φ(初相):振动物体初始时刻的状态.T=(2)待定系数法求正弦型函数解析式2A2Bωφ最值点(零点)法:ω(3)正(余)弦型三角函数的性质(利用换元:t=yy周期最大值最小值单调增区间yy单调减区间对称轴对称中心15、三角恒等变换(1)两角和与差的三角公式对于任意角α,C此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α−⇕对于任意角α,C此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α−通过推导,可以得到:sinSsinStanTtanT公式Sa+β,C类似地,Sα(2)两角和与差的正切公式变形1)Tα+βtanαtanαtanβ○温馨提示2)Tα−β的变形:tantanα−tantanαtanβ=tan16、二倍角公式(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式:SCT如果要求二倍角的余弦公式C2a中仅含αcoscos以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.(2)公式的推导:(3)升幂公式:1降幂公式:sin(4)熟悉公式的逆用:sin3α1(5)辅助角公式(1)一次辅助角公式:fsinsin(2)二次辅助角公式:ff17、函数y=Asinωx+φ的图象与性质（阅读人教A版课本P231−P238）一般地,正弦型函数正弦型函数中的常数A,事实上,在前述情境与问题的小球运动图7-3-12过程中,如果从t=0时刻开始,每隔一小段时间（比如0.01 s(1)A表示小球能偏离平衡位置的最大距离,称为振幅;(2)φ在决定t=0时小球的位置（即(3)周期T=此时,f=【课本优质习题汇总】人教A版必修一P17610.每人准备一把扇形的扇子,然后与本小组其他同学的对比,从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子,并用计算工具算出它的面积S1(1)假设这把扇子是从一个圆面中剪下的,而剩余部分的面积为S2,求S1与(2)要使S1与S2的比值为0.618,则扇子的圆心角应为几度(精确到11.(1)时间经过4 h(2)有人说,钟的时针和分针一天内会重合24次.你认为这种说法是否正确?请说明理由.(提示:从午夜零时算起,假设分针走了tmin会与时针重合,一天内分针和时针会重合n次,利用分针与时针转动的速度,建立t关于n12.已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿.(1)当大轮转动一周时,求小轮转动的角度;(2)如果大轮的转速为180r/min(转/分),小轮的半径为10.5 cm,那么小轮周上一点每16.化简1+sinα118.(1)分别计算sin4π3(2)任取一个α的值,分别计算sin4(3)证明:∀x人教A版必修一P1959.化简下列各式,其中n∈(1)sinnπ2+人教A版必修一P21411.根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的x的取值集合:(1)sinx≥313.若x是斜三角形的一个内角,写出使下列不等式成立的x的集合:(1)1+tanx≤16.已知函数fx(1)求fx的最小正周期;(2)求fx在区间人教A版必修一P2144.求证:(1)cosα(2)cosα(3)sinα5.求证:(1)sinθ(2)cosθ(3)cosθ例10如图5.5-2,在扇形OPQ中,半径OP=图5.5-2∠POQ=π3,C是扇形弧上的动点,矩形ABCD内接于扇形.记分析:可先建立矩形ABCD的面积S与α之间的函数关系S=fα,再求函数S=fα的最大值.人教A版必修一P2283.已知正n边形的边长为a,内切圆的半径为r(1)sin2α−cos2α(3)1+sin2φcos(5)1−cos2θ112.化简:(1)315sinx(3)3sinx2人教A版必修一P22913.在△ABC中,已知tanA,tanB是x的方程14.在△ABC中,B=π4,(A)31010(B)1010(C)人教A版必修一P23016.是否存在锐角α,β,使α+17.(1)求函数fx(2)求函数fx人教A版必修一P23018.观察以下各等式:sinsinsin分析上述各式的共同特点,写出能反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.19.你能利用所给图形,证明下列两个等式吗?11(第19题)20.设fα=sinxα+cosxα人教A版必修一P232如图5.6-3,以O为原点,以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系.设t=0时,盛水筒M位于点P0始边,OP0为终边的角为φ,经过t s后运动到点Px,y.于是,以y(1)所以,盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是H(2)人教A版必修一P2416.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针绕点O匀速旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合.将A,B两点间的距离d(单位:cm)表示成t7.如图,一个半径为3 m(第4题)(第7题)筒车的轴心O距离水面的高度为2.2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间td(1)求A,ω,(2)盛水筒出水后至少经过多长时间就可到达最高点(精确到0.01 s人教A版必修一P25412.(1)证明tanα(2)求tan20(3)若α+β=(4)求tan2013.化简:(1)1sin10∘(3)tan70∘cos人教A版必修一P25514.(1)已知cosθ=−3(2)已知sinα2−cos(3)已知sin4θ+(4)已知cos2θ=315.(1)已知cosα+β(2)已知cosα+cosβ16.证明:(1)cos4α+4(3)sin2α+β17.已知sinα−cosα18.已知cosπ4+19.已知sinθ+cosθ20.已知函数fx(1)求fx(2)当x∈0,π221.已知函数fx(1)求常数a的值;(2)求函数fx(3)求使fx≥0人教A版必修一P25522.已知函数fx=3(第23题)为6,(1)求常数m的值;(2)当x∈R时,求函数fx23.如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边AB,25.如图,已知直线l1//l2,A是l1,l2之间的一定点,并且点A到l1,l2的距离分别为h1(第25题)(1)写出△ABC的面积S关于角α的函数解析式S(2)画出上述函数的图象;(3)由(2)中的图象求Sα用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合.(5)在平面直角坐标系中,集合S=α α=(2)已知tanα(1)sin2α;(2)(3)3sinαcos人教B版必修三P(4)化简.(1)2cos2θ(5)求证:sinα+cosα26化简tan1(提示:tan89人教B版必修三P用单位圆中的三角函数线说明:对于任意角α,不等式sin都成立.(6)(1)若π2<α(2)若3π2<α(3)化简sin2(4)化简1−证明下列恒等式.(1)cosα−1(3)1+tan2α已知sinα(1)sinαcosα(3)sin4α+(2)已知sinα+cosα(3)已知sinαcosα=1(4)已知cosθ1−人教B版必修三P(7)求tan−(3)设cos460∘=t,将(3)求下列函数的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时x的值.(1)y=−(2)y=人教B版必修三P(5)如果被弹簧牵引的小球相对于平衡位