第十章 非线性控制系统

第十章非线性控制系统第十章非线性控制系统作者：浙江大学邹伯敏教授自动控制理论普通高等教育“九五”部级重点教材第十章非线性控制系统第一节非线性系统的概述典型的非线性特性

（1）饱和特性系统若有饱和非线性元件，它的开环增益会大幅度地减小，从而导致系统的过滤过程时间增加和稳态误差变大。（2）回环特性图10-1图10-2图(a)为齿轮传动中间隙，图(b)为齿轮传动的输入、输出特性，自动控制理论第十章非线性控制系统它的数学表达式为1）回环非线性特性是多值的，对于一个给定的输入，究竟取那一个值作为输出，应视该输入的“历史”决定。2）系统中若有回环非线性元件存在，通常会使系统的输出在相位上产生滞后，从而导致系统稳定量的减小、动态性能的恶化，甚至使系统产生自持振荡。（3）死区特性图10-3自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论自动控制理论第十章非线性控制系统1）使系统的稳态误差增大。2）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，提高系统抗扰动的能力。3）使系统的输出在时间上滞后。死区非线性特性对系统的主要影响（4）继电器特性图10-4继电器非线性特性一般会使系统主生自持振荡，甚至系统不稳定，并且使稳态误差增大。自动控制理论第十章非线性控制系统非线性系统的特点1）非线性系统的输出与输入间不存在着比例关系,且不适用叠加原理。2）非线性系统.的稳定性不仅与系统的结构和参数有关,而且也与初始条件和输入信号的大小有关。下面举例说明初始偏差对系统稳定性影响设非线性系统的微分方程为当初始偏差x0<1时,1-x0>0,方程具有负实根,相应的系统是稳定的当x0>1时,1-x0<0,方程具有一个正的实根,系统为不稳定图10-5非线性系统常会产生自持振荡1）描述函数法---用于研究系统的稳定性和自持振荡问题。2）相平面法---只适用于一阶和二阶系统。3）李雅普诺夫第二法。研究非线性系统的方法:自动控制理论第十章非线性控制系统描述函数图10-6非线性控制系统图中G(s)为线性环节,N为非线性元件.若在N的输入端施加一幅值为X频率为ω的正统信号,即e=Xsinωt，则其输出为：第二节非线性元件的描述函数假设:1）非线性元件的特性对坐标原点是奇对称的,即A0=02）R(t)=03）G(s)具有良好的低通滤波器特性，能把y中多高次谐波滤掉，只剩一次谐波项。自动控制理论第十章非线性控制系统则其中经过线性化处理后，非线性元件的输出是一个与其输入信号同频率的正弦函数，仅在幅值和相位上与输入信号有差异。非线性特性线性化的条件：1）假设系统的输入r(t)=02）非线性元件的静特性不是时间t的函数3）非线性元件的特性是奇对称的，即有自动控制理论第十章非线性控制系统4）系统的线性部分具有良好低通滤波器的性能，经过线性化后，非线性元件的输出与输入的关系为：

N(X)---非线性特性的描述函数图10-7用描述函数表示非线性特性的系统非线性元件函数的举例（1）饱和非线性由图10-8可知，输出y(t)是一个周期性的奇函数，因而它的傅氏级数展开式中没有直流项，也没有余弦项。即A0=0，B1=0，θ1=0自动控制理论第十章非线性控制系统图10-9饱和非线性的描述函数自动控制理论图10-8第十章非线性控制系统（2）理想继电器型非线性图10-10由图10-10可知图10-11理想继电器型自动控制理论第十章非线性控制系统（3）死区非线性图10-12死区线性和非线性特征曲线自动控制理论第十章非线性控制系统图10-13死区非线性的描述函数如果在系统中有两个非线性元件相串联，处理的方法为图9-14(b)所示：图10-14二个非线性元件相串联的系统自动控制理论第十章非线性控制系统第三节用描述函数分析非线性控制系统图10-15非线性控制系统图10-16非线性控制系统若把图中N(X)与G(jω)间的通路断开，并在G(jω)的输入端加一正弦信号y1=Y1sinωt，则N(X)的输出为：自动控制理论第十章非线性控制系统

此时若把N(X)与系统的振荡也能持续下去.式中：间的断开点接通,即使撤消外施信号称负特性.乃奎斯特稳定判据:如果轨线没有被曲线包围,则非线性系统稳定.反之,曲线包围,则非线性系统为不稳定.如果如果轨迹与曲线相交,则系统的输出有可能产生自持振荡,图C)中的B点能产生稳定的自持振荡而交点A外产生不稳定的自持振荡图10-17啡线性系统的稳定性判别自动控制理论第十章非线性控制系统例10-1非线性系统为图10-18所示,其中放大器线性部分的增益为K.试确定系统临界稳定时的K值,并计算K=3时,系统产生自持振荡的幅值和频率。图10-18具有饱和放大器的非线性系统自动控制理论解令放大器的增益为1,把K放到系统的线性部分.第十章非线性控制系统自动控制理论第十章非线性控制系统第四节相轨迹设二阶系统微分方程式的一般形式为相轨迹的基本概念自动控制理论不同的初始条件,方程式的解是不

相同的,即间的关系随初始条件而变化,把为坐标的平面上,这种关系曲线称相轨迹.由组成的平面叫相平面.的关系画在以和设弹簧,质量.阻尼器系统的齐次方程为写成标准化形式第十章非线性控制系统1）用解析法求出x1和x2与t的关系(见图10-19a)2）以t为参变量,求出x2=f(x1)的关系，并把它画在x1-x2平面上，(见图10-19b）图10-19二阶线性系统的时域响应和相轨迹自动控制理论求解方法：第十章非线性控制系统对于非线性微分方程,一般难于得到x1和x2的解析解,而用下述的图解法可以求得系统瞬态响应的相关信息。相轨迹的性质：1）相轨迹上每一点都有其确定的斜率2）相轨迹的奇点自动控制理论3）相轨迹正交于x1轴4）相轨迹运动方向的确定第十章非线性控制系统在相平面的上半平面上，由x2＞0于，表示相轨迹的运动方向是x1的增大方向，却向右运动。在相平面上，由于x2

＜0，相轨迹的运动方向是x1的减小方向，即向左运动。相轨迹的绘制绘制绘制相轨迹的方法有解析法和图解法两种。解析法只适用于系统微分方程较简单的场合；图解法适用于非线性系统。（1）用解析法求相轨迹例9-2设二阶系统的微分方程为：图10-20例10-2的相轨迹自动控制理论第十章非线性控制系统（2）用图解法求相轨迹1）等倾线法上式表示相轨迹上斜率为常值α的各点连线，此连线中等倾线。自动控制理论例9-3试用等倾线法绘制二阶系统第十章非线性控制系统解：图9-21例10-3的相轨迹自动控制理论第十章非线性控制系统在绘制相轨迹时，只要从初始点出发，沿着方向场依次连接各等倾线上的短线段，就得到在确定初始条件下系统完整的相轨迹。由图可见，由任何初始条件下出发的相轨迹是一卷向坐标原点的螺旋线，这表明系统是稳定的。2）δ法设系统的微分方程为：自动控制理论第十章非线性控制系统图9-22用δ法作相轨迹例9-4已知非线性系统的微分方程为解将微分方程改写为图9-23用δ法绘制相轨迹自动控制理论第十章非线性控制系统用相轨迹求系统的瞬态响应图9-25x(t)与t的关系曲线图9-24x-x平面上的相轨迹自动控制理论第十章非线性控制系统第五节奇点与极限环

为了研究系统在奇点附近的行为，或者说了解系统在奇点附近的相轨迹特征，需要先把系统的微分方程在奇点处作线性化处理。方程式的线性化和坐标系的变换设系统的微分方程式自动控制理论第十章非线性控制系统节点的分类图9-271)节点自动控制理论第十章非线性控制系统

如果系统的两个特征根为相异的负实数，对应的奇点称稳定节点。此时如果系统的两个特征根为相等的正实数，则对应的奇点称不稳定节点。其相轨迹见图9-28。图9-28不稳定节点自动控制理论第十章非线性控制系统2)鞍点图9-29对应的相轨迹方程为:自动控制理论第十章非线性控制系统3)焦点如果系统的特征根是一对位于S左半平面的共轭复根，对应的奇点称稳定焦点；反之，为不稳定焦点。图9-30自动控制理论第十章非线性控制系统4)中心点如果系统的特征根为一对共轭虚根，即λ1,2=±jω对应的奇点称为中心点。图9-31自动控制理论第十章非线性控制系统极限环非线性系统的运动除了具有线性系统的发散和收敛两种模式外，还有一种运动模式—自持振荡，自持振荡在相平面上表观为一个孤立的封闭轨迹线—极限环。下面以范德波尔（vander

pol）方程为例说明极限环的稳定性。已知方程图9-32自动控制理论第十章非线性控制系统自动控制理论第十章非线性控制系统第六节非线性系统的相平面分析1)当系统的非线性方程可解析的，可根据其线性化方程式根的性质去确定奇点的类型，然后用图解法式解析法画出奇点附近的相轨迹。例9-5求下列方程所描述系统的相轨迹图，并分析系统奇点。的稳定性2)当系统的非线性方程非解析的，则通过将非线性元件的特征作分段线性化处理，即把相平面分成若干个区域，每一个区域有一个相应的微分方程和奇点。只要把各个区域内的相轨迹依次连接起来，就可得到系统完整的相轨迹图。解:奇点为（0，0）和（-2，0）第十章非线性控制系统在原点附近，线性化后的方程为

在奇点（-2，0）附近，对方程作如下改写图9-33例10-5的相轨迹自动控制理论第十章非线性控制系统如果状态的初始点位于图中的阴影区域内，则相轨迹均收敛于坐标原点，相应的系统是稳定的。反之，初始状态若位于阴影区域外，相轨迹均趋向于无穷远，系统不稳定。非线性系统的稳定性与初始状态有关。例9-6一非线性系统如图9-34所示，试求在阶跃输入r(t)=R0和斜坡输入r(t)=vt(v＞0)时的相轨迹。图9-34解：由图得图9-34相平面的区域划分自动控制理论第十章非线性控制系统

阶跃输入自动控制理论第十章非线性控制系统图9-34

斜坡输入自动控制理论第十章非线性控制系统图9-37自动控制理论第十章非线性控制系统结论：例9-7已知输入为阶跃信号，试求该系统的相轨迹图9-38非线性控制系统解由图得自动控制理论第十章非线性控制系统图10-39图10-38所示系统的相轨迹结论：系统稳定。线段