《机械工程测试与控制技术》课件 第11课 第五章 5.5 系统的稳定性分析

机械工程测试与控制技术第五章系统的频率特性及稳定性分析5.1频率特性的基本概念5.2频率响应的极坐标图5.3频率响应的对数坐标图5.4由频率特性曲线求传递函数5.5系统的稳定性分析5.5系统的稳定性分析一、系统稳定性的基本概念控制系统的稳定性定义:若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下,其过渡过程随着时间的推移,逐渐衰减并趋于零,具有恢复原平衡状态的性能,则称该系统为稳定;否则,称该系统为不稳定的.4二

系统稳定的充要条件5.5系统的稳定性分析565.5系统的稳定性分析75.5系统的稳定性分析85.5系统的稳定性分析95.5系统的稳定性分析105.5系统的稳定性分析若所有特征根具有负实部系统自由响应收敛系统稳定自由响应称为

瞬态响应强迫响应称为

稳态响应若存在特征根的实部大于零系统自由响应发散系统不稳定若有一对特征根的实部为零其余特征根均小于零系统自由响应最终为等幅振荡系统临界稳定5.5系统的稳定性分析11线性定常系统稳定的充分必要条件:系统特征方程式的根都具有负实部.系统特征根即闭环极点,故也可以说充要条件为:系统闭环传递函数极点全部在[s]平面的左半面.5.5系统的稳定性分析12(1)如果特征方程中有一正实根,它所对应的指数项随时间单调增长;(2)如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根,它的对应项是发散的周期振荡;稳定区不稳定区临界稳定S平面从控制工程的角度认为临界稳定状态属于不稳定.如果特征方程中有一对共轭虚根,它对应于等幅的周期振荡,称为临界平衡状态(或临界稳定状态).上述两种情况下系统是不稳定的.5.5系统的稳定性分析三

乃奎斯特稳定性判据Nyquist及Bode稳定性判据根据开环频率特性判断闭环稳定性令开环传递函数则闭环传递函数5.5系统的稳定性分析三

乃奎斯特稳定性判据Nyquist及Bode稳定性判据根据开环频率特性判断闭环稳定性令开环传递函数则闭环传递函数5.5系统的稳定性分析分子是闭环传递函数的特征多项式分母是开环传递函数的特征多项式开环传递函数则闭环传递函数5.5系统的稳定性分析线性系统传递函数的一般形式:映射定理表达的是s平面上一条封闭曲线,经过F(s)的映射,在F平面上所具有的特性.即s→F(s).5.5系统的稳定性分析辐角定理:对于一个复变函数式中zi(i=1,2,…,m)为F(s)的零点,pj(j=1,2,…,n)为F(s)的极点.[柯西辐角原理]:S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点.当s以顺时针方向沿封闭曲线CS移动一周时,在F(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方向绕原点旋转N圈.N,Z,P的关系为:N=Z－P.示意图5.5系统的稳定性分析若N为正,表示CF顺时针运动,包围原点;若N为0,表示CF顺时针运动,不包围原点;若N为负,表示CF逆时针运动,包围原点.函数F(s)是复变量s的单值函数,s可在整个S平面上变化,对于其上每一点,除有限(n)个极点外,函数F(s)都有唯一的一个值与之对应.对于一个复变函数5.5系统的稳定性分析

在这种映射关系中,有一点是十分重要的,即:不需知道围线CS的确切形状和位置,只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目,就可以预知围线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次;反过来,根据已给的围线CF是否包围原点和包围原点的次数,也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数的信息.5.5系统的稳定性分析如果C顺时针包围z个零点,那么C’顺时针绕原点转z圈5.5系统的稳定性分析如果C顺时针包围p个极点,那么C’逆时针绕原点转p圈5.5系统的稳定性分析假设C曲线顺时针包围整个[s]平面的右半平面,其中包围F(s)的z个零点和p个极点,则映射到F(s)平面的C’曲线顺时针包围原点N=z-p圈.闭环稳定闭环传递函数右极点个数为0分子是闭环传递函数的特征多项式分母是开环传递函数的特征多项式F(s)右零点个数为0C’曲线逆时针包围原点的圈数为开环传递函数的右极点个数pC曲线包围F(s)的右零点个数z=05.5系统的稳定性分析如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线,并且它是满足柯西辐角条件的?①正虚轴：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点.按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面,这条曲线又叫D曲线.它可分为三部分:ⅠⅡⅢ②右半平面上半径为无穷大的半圆:③负虚轴：5.5系统的稳定性分析5.5系统的稳定性分析5.5系统的稳定性分析Nyquist稳定判据

在[s]平面作包围右半平面的D形曲线,如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(－1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数,意味着F(s)没有零点,则闭环系统稳定.——充要条件5.5系统的稳定性分析例:

一个闭环控制系统,开环传递函数为判断闭环稳定性.5.5系统的稳定性分析例:

一个闭环控制系统,开环传递函数为判断闭环稳定性.解:作出系统开环传递函数乃氏图,如图5-10所示,没有包围(-1,j0).显然开环传递函数没有右极点,根据乃奎斯特稳定性判据,系统闭环稳定.5.5系统的稳定性分析例:

一个闭环控制系统,开环传递函数为判断闭环稳定性.5.5系统的稳定性分析例:

一个闭环控制系统,开环传递函数为判断闭环稳定性.解:开环传递函数有1个右极点.作出开环乃氏图,如图5-11所示,顺时针包围(-1,j0)点1圈.根据乃奎斯特稳定性判据,系统闭环稳定的条件是逆时针包围(-1,j0)点1圈.因此系统闭环不稳定.5.5系统的稳定性分析例:

一个闭环控制系统,如图所示,判断放大倍数K在什么范围内系统闭环稳定.5.5系统的稳定性分析例:

一个闭环控制系统,如图所示,判断放大倍数K在什么范围内系统闭环稳定.解:开环传递函数为K/(Ts-1),有1个右极点.作出开环乃氏图如图5-12(b)所示,它与实轴的交点为(-K,j0).只有当(-K,j0)在(-1,j0)的左边时,乃氏图才逆时针包围(-1,j0)1圈.因此系统闭环稳定的条件是K>1.开环传递函数为一阶或二阶环节的系统,只要其增益为正,它的乃氏图就不可能包围(-1,j0)点,因而闭环一定稳定.5.5系统的稳定性分析四

伯德稳定性判据开环Bode图与Nyquist图对应关系①Nyquist图上的单位圆对应Bode图上对数幅频特性的横轴(0dB线).

∵20lg|

G(jω)H(jω)

|=20lg1=0dB②Nyquist图上的负实轴对应Bode图上对数相频特性的-180°线.

∵Nyquist图中负实轴上的点的相位均为-180°.Nyquist图:ReIm(-1,j0)[GH]1ω=0＋ω=+∞ωgωcBode图:0ωcω20lg

‌‌‌G(jω)

‌‌‌ωgω∠G(jω)-90°-180°-270°5.5系统的稳定性分析Nyquist图:ReIm(-1,j0)[GH]1ω=0＋ω=+∞ωgωcBode图:0ωcω20lg

‌‌‌G(jω)

‌‌‌ωgω∠G(jω)-90°-180°-270°①幅值穿越频率ωc－－Nyquist轨迹与单位圆交点的频率;②相位穿越频率ωg－－Nyquist轨迹与负实轴交点的频率;5.5系统的稳定性分析由伯德图判断系统的稳定性设0型或I型系统开环特征方程有p个右根,且开环静态放大倍数大于零,如果在所有L(ω)≥0频率范围内,相频特性曲线φ(ω)在(-π)线上正负穿越之差为p/2次,则闭环系统稳定.5.5系统的稳定性分析L(ω)ωp=0Ф(ω)ω5.5系统的稳定性分析L(ω)ωp=0Ф(ω)+-ω已知p＝0,即开环无右特征根,在L(ω)＞0范围内,正负穿越之差为0,系统闭环稳定.已知p=1,即开环传递函数有一个右极点,在L(ω)＞0的频率范围内,半次正穿越,系统闭环稳定.5.5系统的稳定性分析5.5系统的稳定性分析已知p＝2,即开环传递函数有两个右极点,在L(ω)＞0的范围内,正负穿越之差为1-2=-1≠2／2,系统闭环不稳定.已知p＝2,即开环传递函数有两个右极点,在L(ω)＞0的范围内,正负穿越之差为2-1＝1=2／2,系统闭环稳定.5.5系统的稳定性分析cwdBw()gdBKπ-23π-2π-·()cwrgw若一个自动控制系统,其开环特征方程均为左根(p=0),闭环系统稳定的充分必要条件是其乃氏图不包围(-1,j0)点.5.5系统的稳定性分析例:

某反馈控制系统开环传递函数为试判断使系统稳定的K值范围.5.5系统的稳定性分析五

控制系统的相对稳定性定性→定量如果系统闭环特征根均在s左半平面,且和虚轴有一段距离,则系统有一定的稳定裕量.5.5系统的稳定性分析采用乃氏判据判别系统的相对稳定性主要针对系统开环传递函数没有右极点.如果系统稳定,Nyquist图离(-1,j0)越近,稳定程度越低.Nyquist图离(-1,j0)越远,稳定程度越高.这就是相对稳定性.定量表示用相位裕量和幅值裕量.5.5系统的稳定性分析1、相位裕度:※

对于开环稳定系统:

在工程上一般取相角裕度为30-60度,幅值裕度大于6dB.,相角裕量为正值,系统稳定;,相角裕量为负值,系统不稳定.

为剪切频率.5.5系统的稳定性分析※

对于开环稳定系统:

为相角穿越频率.开环幅相频率特性(奈氏图)与负实轴相交时的幅