第六章实数全章导学案(2015人教版七年级下册)

第六章实数（全章导学案）

学科:数学主备人：审核人：审核时间：年月日

第1节课题6.1平方根

学习目标：

1.了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根.

2.了解开平方与平方互为逆运算，会用平方根的概念求某些非负数的平方根.

学习重点：

了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根.

学习难点：平方根的意义。

学习方法：自主学习合作探究

一情景导入：

1.填表：

a11121314151617181920

a*2

2.填空：（_3）2=；（一|）2=；-32=o

总结：任意有理数的平方是数.即/>0。

（-0）2与-/的意义不相同。

3.我们知道：4的平方是16,的平方也是16,所以的平方是16.

类似的：的平方是25；的平方是2扁5；的平方是成7；

二.自主学习：

1、平方根的定义：一般的，___________________________________________

,也叫做o记作：

2、平方根的性质：

（1）正数有个平方根，且它们互为。

（2）0的平方根是o

（3）负数0

3、想一想，填一填：

(1)土石表示____________________________

(2)-25的平方根,理由是。

(3)因为于=,(-2)2=,所以2和-2都是的平方根.

三合作探究：

①因为52=,(_5)2=，所以±5是的平方根.

②平方得81的数是,因此81的平方根是.

③9的平方根是；&的正的平方根是；1.44的负的平

9

方根是.

归纳定义:_________________________________________________________

①3有个平方根，它们互为数，记作.

②0有个平方根，0的平方根是.

③-4、-8、-36有平方根吗？为什么？

总结：一个数的平方根有几个？(平方根的性质)

应用:

1.如果a的一个平方根是4,则它的另一个平方根是,

2.若。+1平方根是±5，则a=；

若a+1平方根是0,则a=;

若。+1没有平方根，那么a.

3.明辨是非：下列叙述正确的打"Y"，错误的打“x”：

①4是16的平方根；()②16的平方根是4；)

③(-3尸的平方根是3.()④1的平方根是1；)

⑤9的平方根是3；()⑥只有一个平方根的数是0;()

四.精讲点拨：

例1.求下列各数的平方根：

(1)0.25；⑵崇(3)15；(4)(-2)2(5)IO」.

例2.求下列各式中的x的值

(l)x2=196；⑵51—10=0；(3)36(X-3)2-25=0.

例3.下列各数有平方根吗？若有，求出它们的平方根；若没有，请说明理由.

(1)-64；(2)(-4)2；(3)—5以；(4)病.

五达标测试：(必做题)

1.121的平方根是±11的数学表达式是..............()

A.V121=llB.V121=±11C.±V121=11D.±V121=±11

2.下列说法中正确的是...................................()

A.-42的平方根是±4B.把一个数先平方再开平方得原数

C.-。没有平方根D.正数。的平方根是土右

3.能使x-5有平方根的是.....................()

A.x>0B.x>0C.x>5D.x>5

4.一个数如果有两个平方根，那么这两个平方根之和是......()

A.大于0B.等于0C.小于0D.大于或等于0

5.289的平方根是,(-4)2的平方根是，

6、求下列各数的平方根

(1)—(2)-7(3)15(4)(一5「

81

7.求下列各式中的x.

(1)%2=49；⑵*-1)2=25；⑶4(2x+l)2-9=0

选做题

1.已知5x-l的平方根是±3，4x+2y+l的平方根是±1,求4x—2y的平

方根

2.若一人是。的平方根，则下列各式中正确的是..........()

A.b=a2B.a=b~C.b=—a2D.a=—b2

3.若V=32,贝；若/=(_7)2,则％=

4.±V49=±7的意义是.

5.若正数a的两个平方根的积为一二，则a=.

五、教学反思:

课题：6.1算术平方根

学习目标：

1.了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根；

2.会用平方运算求某些非负数的算术平方根；

3.能运用算术平方根解决一些简单的实际问题.

学习重点：

会用平方运算求某些非负数的算术平方根，能运用算术平方根解决一些简

单的实际问题.

学习难点：区别平方根与算术平方根

学习方法：自主学习合作探究

一导入：

1.下列说法正确的是.............................（）

A.-81的平方根是±9B.任何数的平方根也是非负数

C.任何一个非负数的平方根都不大于这个数D.2是4的平方根

2.一个数的平方根是它本身，则这个数是.................（）

A.1B.0C.±1D.1或0

3.若。的一个平方根是4则它的另一个平方根是.

4.已知/=_1,则％=；已知/=（__1）2,则％=.

364

二自主学习：

1、算术平方根的定义：_______________________________________________

___________________________o记作：_________

2、平方根和算术平方根之间的关系

3、想一想，填一填：

1.填空：

（1）0的平方根是,算术平方根是.

（2）25的平方根是，算术平方根是.

（3），的平方根是，算术平方根是.

64

三.合作探究：

1、判断下列说法是否正确：

(1)6是36的平方根；()(2)36的平方根是6；()

(3)36的算术平方根是6；()(4)(-3)2的算术平方根是3；()

(5)卜3|的算术平方根是百；()

提醒：注意平方根与算术平方根之间的区别和联系。

2、(1)后的算术平方根是，平方根是;

(一4)2的平方根是,算术平方根是.

(2)若(2x—1)2+及一5|=0,则6x—的算术平方根

四.精讲点拨：

例1.求下列各数的平方根和算术平方根：

(1)225(2)1.69(3)2-(4)716(5)30

4

例2.(1)(VOXH)2=；(V5)2=；(V7)2=

(2)=

(3)7(Z3)T=；7^57=；

思考：①(yfa)2=，其中a0.

②发现：当a>0时，7?=

a(a>0)

当uVO,Ja"=；即值=14=<。(。-。)>

-a(a<0)

当a=0时，Vt?=

五.达标测试：

必做题

1.判断下列说法是否正确：

(1)任意一个有理数都有两个平方根.()

(2)(-3)2的算术平方根是3.()

(3)—4的平方根是一2.()(4)16的平方根是4.()

(5)4是16的一个平方根.()(6)VF6=±4()

2.计算：-；Vo.oooi=；±J—=

Y49

3.(")2=；.(向2=；=_____；7(-2)2=•

4.若i=4,则x=；若(x+iy=4,则X=.

选做题

1.在0、-4、3、(一2猿、一22中，有平方根的数的个数为..........()

A.lB.2C.3D.4

2."表示...................................()

A.4的平方根B.4的算术平方根C+2D.4的负的平方根

3.若x的平方根是±2,则«=；

4.(V5)2=；.(V^3)2=；J-y)=____;"(3—万＞=.

5.下列各数有没有平方根？若有，请求出它的平方根和算术平方根；若没有,

请说明理由.

(1)256(2)(—Ip(3)(4)1.21(5)2(6)-32

6.求下列各式中的x：

(Dx2-1=0⑵2/=；⑶(X—3)2=36(4)25(X-1)2-100=0

四、应用与拓展

1.若数。有平方根，则。的取值范围是，若加-4没有算术平方根，则

m的取值范围是.

2.某玩具厂要制作一批体积为lOOOOOcn?的长方体包装盒，其高为40cm,按

设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

3.已知Vx-1+y/l-x=y+4,求x-y的值

4.已知J^5+(a+力2=o,求a”的值

5.若八一2+)2-々+北一3=0,求5。一/?的平方木艮

五、教学反思:

学科：数学主备人：审核人--总第3课节

课题：6.1平方根

学习目标：

1、了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根

2、了解开方与乘方互为逆运算

3、会用平方求百以内整数的平方根

学习重点：

平方根的概念

学习难点：会求平方根；

学习过程：

一、复习导入

(相信你能行)

(1)9的算术平方根是0

(2)平方等于9的数是.平方等于0.64的数是

(3)一对互为相反数的平方有什么关系？—

总结：由以上问题可知平方得一个正数的数有个，并且。

二自主学习：

仔细阅读教材44页练习下“思考”一一46页例5之前所有内容。标注重点,

完成教材中的表格。并思考并回答下列问题：

1.举例说明平方根的概念。并与算术平方根概念区别。

2.什么叫开平方？通过图6.1-2知道平方与开平方互为逆运算。

3.正数的平方根有什么特点？负数有平方根吗？0有平方根吗？

自主小结:

1、一般地，如果一个数九的平方等于。，即，那么这个数x就叫做a

的,记为,读作o例如—和—是9的平方

根，也就是说是9的平方根。

2、求一个数a的的运算，叫做开平方；与开平方互为逆运算;

三探究合作：

1、例：求出下列各数的平方根：

9

(1)100；(2)—；(3)0.25；(4)0;(5)11;(6)-9

2、根据上面的计算，思考回答：

(1)正数有几个平方根？他们有什么关系？

(2)0的平方根是多少？_________________________

(3)负数有平方根吗？______________________

3、归纳：___________________________________________________________

1、例：你能说出下列各式表示的意思吗？你能求出它们的值吗？

(1)5^44；(2)-x/0^8i；

2、CI有意义吗？人何时才有意义？为什么？

3、议一议：平方根与算术平方根有什么异同？

四:精讲点拨：

1、求下列各数中的x值：

①犬=25②/—81=0③4/=49@25X2-36=0

2、已知|a-2|十4-3=0,求(b-a)"的平方根.

3、一个正数x的两个平方根分别是2。+1和。+3,求a和x的值。

五自我检测：

必做题

1.如果x的平方等于a,那么x就是a的,所以a的平方根是—

2.非负数a的平方根表示为

3.因为没有什么数的平方会等于,所以负数没有平方根，因此被开方

数一定是或者

4.J话即的平方根是

5.9的算术平方根是（）

A.-3B.3C.±3D.81

6.64的平方根是（）

A.±8B.±4C.±2D.±72

7.4的平方的倒数的算术平方根是（）

选做题

9.求下列各数的平方根.

915

(1)100；(2)0；(3)—；(4)1；(5)1—；(6)0.09

2549

10.陛的平方根是

9的平方根是一

V81

11.一个自然数的算术平方根是x,则它后面一个数的算术平方根是（）

A.x+1B.x2+lC.\fx+1D.Jf+1

12.若2m-4与3m-l是同一个数的平方根，则m的值是（）

A.-3B.1C.-3或1D.-1

13.利用平方根来解下列方程.

（1）（2x-l）2-169=0；（2）4（3x+l）2-1=0；

第4课时课题：6.1平方根与算术平方根（复习）

复习目标：

1.强化对平方根与算术平方根的理解，理解它们之间的关系

2.能熟练地求一些实数的平方根与算术平方根

3.理解平方根的性质，并能灵活运用

复习重点：通过本节课的复习，加深对平方根与算术平方根的理解.

复习难点：人的双重非负性的理解

学习方法：自主学习合作探究

复习内容

一自主学习：

1.如果x的平方等于169,那么x叫做169的；

如果x的平方等于5,那么x叫做5的；

如果x的平方等于a,那么xx叫做a的o

2.49的平方根是；49的算术平方根是；

兰的平方根是________;至的算术平方根是;

144144

0的平方根是;0的算术平方根是;

-1.5是的平方根。

3.J144=（J144表示144的）；

—J144=（—J144表示144的）；

±7144=（±表示144的）0

4.平方根性质总结：一个正数有个平方根，它们互为;0的平

方根是一;负数平方根。

算术平方根只是正数平方根中的正的那一个。

二合作探究：

1.求下列各数的平方根：

49

64：；—：：0.36：；324：

81

2.V9x716=；V9X16=；—JO.16xV9=

V252^xV0^09=

V169

3.VT5表示］0的,"5表示o

4.J225=；±=；J（-2）2=；

J（—0.9）2=；J^—y/9=_______j.To7（a<0）=

5.五块同样大小的正方形钢板的面积是320m2,求钢板边长。

三.精讲点拨：

L实数在数轴上的位置如图，那么化简卜-4-必的结果是（）

A.2a-bD.—2a+h

7.已知A/X-1+Jl-x=y+4,你能求出x,y的值吗？

8.J7%+|y+l|=0,你能求出x2°03+y2期的值吗？

四达标测试

1.判断正误

（1）5是25的算术平方根.（）（2）4是2的算术平方根.（）

（3）6是A的算术平方根.（）（4）2是的算术平方根.（）

7I7

(5)是空的一个平方根.()(6)81的平方根是9.()

636

2.填空题

(1)如果一个数的平方等于a,这个数就叫做.

(2)一个正数的平方根有个，它们互为.

(3)0的平方根是,0的算术平方根是.

(4)一个数的平方为17g,这个数为.

(5)若2=±15,则a三；若7^=0,则a=.若=9,

贝(Ia=.

(6)一个数x的平方根为±7,则x=.

(7)若-百是x的一个平方根，则这个数是.

(8)比3的算术平方根小2的数是.

(9)若a-9的算术平方根等于6,则2=.

(10)已知y=x2—3,且y的算术平方根是4,则x=.

(11)后的平方根是.

(12)已矢口y=V2x-1+Vl-2x+g,贝ijx=,y=.

3.选择题

(1)几了的值为().

(A)-6(B)6(C)±8(D)36

(2)一个正数的平方根是a,那么比这个数大1的数的平方根是().

(A)a2-l(B)±VTTT(C)Va2+1(D)±Va2+l

(3)如果JI无=1.311,4=0.1311,则x等于().

(A)0.0172(B)0.172(C)1.72(D)0.00172

(4)若Jm+2=2,则(m+2『的平方根是().

(A)16(B)±16(C)±4(D)±2

4.求下列各数的算术平方根和平方根：

(1)0.49(2)(3)(-5)2(4)白(5)屈(6)0

5.求下列各式的值：

(1)1725(2)781-736(3)764(7169-7196)

6.求满足下列各式的未知数x：

(1)X2=3(2)x2-0.01=0

()4-25

(3)3x2—12=04

第五课时课题：6.1立方根

学习目标：

1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；

2.会求一个数的立方根；

3.运用数学符号描述开方运算的过程，建立开方的概念，发展抽象思维.

学习重点：掌握立方根的概念，会求一个数的立方根.

学习难点：明确平方根与立方根的区别，能熟练地求一个数的立方根.

一、学前准备

【旧知回顾】

1.7的平方根是,5的算术平方根是,百的平方根是

2.求下列各式的值

(DC-V3)2⑵，(-3)2⑶诉三)2(4)J(l)2(X<1)

3

3.填空：2的立方是；丁的立方是；0的立方是；

总结：正数的立方是；负数的立方是:0的立方是

【新知预习】

1、立方根的定义：_____________________________________________________________

_____________________________________________________o记作：__________

2、求下列各数的立方根

(1)64(2)--—(3)9(4)10-3(5)764

二、探究活动

【初步感悟】

1、下列各数有立方根吗？如果有，请写出来；如果没有，请说明理由

8125

—,0.001,91-3,-64,-----,0

27216

总结：任何数都有立方根，一个数的立方根不改变它的

【例题研讨】

例1.求下列各式的值

(<2)3y(-6)，，(v-5)3，-：

例2.求下列各式的值

⑴-愕(2)-32(3)

讨论：1.(蝠)3等于多少？(啦＞等于多少？

2.#(一8)3等于多少?正等于多少

你能用符号总结一下刚才的结论吗？

【课堂自测】

1.判断下列说法是否正确

(1)9的平方根是3()(2)8的立方根是2()

(3)-0.027的立方根是-0.3()(4)的立方根是土,(

273

(5)-9的平方根是-3()(6)-3是9的平方根()

2.填空：

(1)64的平方根是,立,:，算术平方根是

(2)6二,V25^

3.求下列各式的值

(1)V-1000(2)-Ji—

V64

4.求下列各式中的x

1二

(l)x3=216(2)3X3-27=0(3)-X3+16=0(4)3(x—1)3+81=0

三、自我测试

1.立方根等于本身的数是)

A.±1B.1,0C.±1,0D.以上都不对

2.若一个数的算术平方根等于这个数的立方根，则这个数是()

A.±1B.±1,0C.0D.0,1

3.下列说法正确的是()

A.1的立方根与平方根都是1

C.我的平方根是土行

4.求下列各式的值

(1)-V-0.027(2)V343

(5),(-6)3(6)-V(-4)2(7)后(8)6+4?

6.若必^=]0,贝1」根=,若V^=4,贝加的平方根是

7.8的立方根与25的平方根之差是

9.一个正方形木块的体积为125c病，现将它锯成8个同样大小的正方体小木

块，求每个小正方形体木块的表面积.

四、应用与拓展

1＞若必^二机,贝!j/n=

2.已知x,加茜足力让一2y—3+(2x-3y—=0,求x-8y的立方根

3.由下列等式归=2看，想=3超，临=4恁……所提示的规律，可得

出一般性的结论是_________________________________________

五、教学反思:

第6课时课题：6.1平方根与算术平方根（复习）

复习目标：

1.强化对平方根与算术平方根的理解，理解它们之间的关系

2.能熟练地求一些实数的平方根与算术平方根

3.理解平方根的性质，并能灵活运用

复习重点：通过本节课的复习，加深对平方根与算术平方根的理解.

复习难点：面的双重非负性的理解

复习内容

一自主学习

1.如果x的平方等于169,那么x叫做169的；

如果x的平方等于5,那么x叫做5的；

如果x的平方等于a,那么xx叫做a的«

2.49的平方根是；49的算术平方根是；

亘的平方根是_______:亘的算术平方根是;

144144

0的平方根是;0的算术平方根是;

-1.5是的平方根。

3.7144=（表示144的）；

—7144=（—V144表示144的）；

士-7144=（±J144表示144的）。

4.平方根性质总结：一个正数有个平方根，它们互为;0的平

方根是—；负数平方根。

算术平方根只是正数平方根中的正的那一个。

二合作探究

2.求下列各数的平方根：

49

64：；—：；0.36：；324：。

81

2.V9xV16=；79x16=；—J。.16xM=；

3.JT5表示io的,JT5表示

4.J225=；±=；J(-2)2=；

7(—0.9)2=；｛；-拘=___________j_(a<0)=

5.五块同样大小的正方形钢板的面积是320m2,求钢板边长。

三精讲点拨

1.实数在数轴上的位置如图，那么化简卜-耳-肝的结果是()

b0a

A.2a-hB.bC.—bD.—2a+h

7.已知Jx—1+Jl-x=y+4,你能求出x,y的值吗？

8.4rz+卜+1|=0,你能求出x2°03+y2侬的值吗？

达标测试.

判断正误

(1)5是25的算术平方根.()(2)4是2的算术平方根.()

(3)6是庄的算术平方根.()(4)|■是J。］的算术平方根.()

7I7；

525

(5)一三是g的一个平方根•()(6)81的平方根是9.()

636

2.填空题

(1)如果一个数的平方等于a,这个数就叫做.

(2)一个正数的平方根有个，它们互为.

(3)0的平方根是,0的算术平方根是.

(4)一个数的平方为1,，这个数为

9

(5)若2=±15,则a?=；若""=0,则a=.若=9,

则a=.

(6)一个数x的平方根为±7,则x=.

(7)若是x的一个平方根，则这个数是.

(8)比3的算术平方根小2的数是.

(9)若a-9的算术平方根等于6,则2=.

(10)已知y=X?-3,且y的算术平方根是4,则x=.

(11)岳的平方根是.

(12)已知y=A/2X-1+J1-2X+§,则x=,y=.

3.选择题

(1)百的值为().

(A)-6(B)6(C)±8(D)36

(2)一个正数的平方根是a,那么比这个数大1的数的平方根是().

(A)a2-l(B)(C)Va2+1(D)±Va2+l

(3)如果==则x等于().

(A)0,0172(B)0,172(C)1.72(D)0.00172

(4)若Jm+2=2,则(m+2)2的平方根是().

(A)16(B)±16(C)±4(D)±2

4.求下列各数的算术平方根和平方根：

(1)0.49(2)(3)(-5)2(4)/(5)屈(6)0

5.求下列各式的值:

(1)1725(2)V81-V36(3)^/64(^/i69-^/i96)

6.求满足下列各式的未知数x：

(1)X2=3(2)x2-0.01=0

X

(3)3x2—12=0(4)4(-1)2=25

第7课时课题：6.1平方根、立方根、实数

学习目标：

1.归纳和整理本章知识点，形成系统知识

2.强化对平方根、算术平方根、立方根、实数等相关概念的理解

3.能够进行简单的实数相关运算

学习重点：

1、强化对本章所有概念的理解

2、能够熟练地进行相关的实数运算

学习难点：实数大小的比较

一、复习内容

1.平方根：_______________________________________________________

平方根的性质：①

②;

③;

平方根与算术平方根的关系：______________________________________

2.算术平方根的定义：

布的双重非负性的理解：&20，a20

3.立方根的定义：

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________O

立方根的性质：①;

②;

③;

4.无理数：；

实数：.

实数性质：与数轴上的点是一一对应的，有理数的运算法则、

运算律等在实数范围内同样适用。

二、专题复习

【专题一：平方根与算术平方根】

1.(1)16的平方根是，算术平方根是.

(2)灰的平方根是,算术平方根是

2.下列说法正确的是()

A.1的平方根是1B.1是1的平方根

C.(-2>的平方根是2D.0没有算术平方根

3.化简：J(-2)2+("片.

4.已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6,则这个数是.

5.一个数的算术平方根是a,则比这个数大2的数是()

A.a+2B.y[a—2C.y/a+2D.a2+2

6.下列运算中，错误的是()

①，②J(-4y=±4,(3)V—22==—2,@J—+—=—+—=—

V14412、V16254520

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.若|a-2|+>/FM+(c-4)2=0,贝Ua-b+c=.

8.求下列各式中的x.

(1)£=庖(2)2(1)2=8

【专题二：立方根的定义与性质】

1.8的立方根是()

A.2B.-2C.±2D.亚

2.下列运算正确的是()

A.q=B,C,口=旧D.4二-册

3.若。、力互为相反数，c>"互为负倒数，则&+1+而=；

4.求下列各式中的x.

(1)64^=125(2)-(2X-3)3=1

8

【专题三：实数】

1.(1)-"的相反数是倒数是_绝对值是_

(2)0-6的相反数是_倒数是绝对值是_

2.实数-2,().3,—,夜，-it,3.2121121112中，无理数的个数是()

7

A.2B.3C.4D.5

3.下列四个数中，其中裹个的数是()

A.0B.-4C.—itD.夜

4.估算后-2的值()

A.在1到2之间B.在2到3之间

C.在3到4之间D.在4到5之间

5.下列说法正确的是(

A.带根号的数是无理数B.无限小数是无理数

C.有限小数是有理数D.无理数不能在数轴上表示出来

6.绝对值小于近的整数有,它们的积是.

7.比较大小.

(1)772.7(2)当

8.已知实数x,y满足|x-5|+jy+4=0,求代数式(x+丁产"的值

五教学反思:

第8节6.1平方根与算术平方根（复习）

复习目标：

1.强化对平方根与算术平方根的理解，理解它们之间的关系

2.能熟练地求一些实数的平方根与算术平方根

3.理解平方根的性质，并能灵活运用

复习重点：通过本节课的复习，加深对平方根与算术平方根的理解.

复习难点：&的双重非负性的理解

复习内容

（一）概念强化

1.如果x的平方等于169,那么x叫做169的；

如果x的平方等于5,那么x叫做5的；

如果x的平方等于a,那么xx叫做a的o

2.49的平方根是；49的算术平方根是；

二的平方根是________:3的算术平方根是;

144144

0的平方根是:0的算术平方根是;

-1.5是的平方根。

3.7144=（表示144的）；

—J144=（_J144表示144的）；

±7144=（+J144表示144的）0

4.平方根性质总结：一个正数有个平方根，它们互为;0的平

方根是一;负数平方根。

算术平方根只是正数平方根中的正的那一个。

（二）基础练习

3.求下列各数的平方根：

64：：—：：0.36：