福州铸学教育9月数学月考试卷

福州铸学训练9月数学月考试卷（理科）

二、填空题（本题共18道小题，每小题5分，共90分）

1.

集合A={xdw2'V』，xGR},B^xlx2-2tx+\<0},若AnB=A,则实数，的取值范围是.

42

2.

己知命题〃：Vx£之〃，命题,：三不£A,x2+2QX+2-。=。，若命题"p且q”是真命

题,则实数。的取值范围为.

3.

若复数上吆的实部与虚部相等，则h=.

1-z2

4.

若方程f一如+加一1=0有两根，其中一根大于2一根小于2的充要条件是.

5.

若等比数列{4}的前〃项和S“=2•3”+尸，则r=.

6.

—y=sin（2x+—）

函数y=cos（2x+e）（rF<e<4）的图象向右平移2个单位后，与函数3的图象

重合，则°=

7.点0在△ABC内部，且满意4标+5技+6前=1,则AABC的面积与△AB0、△△«）面积之和的比

为.

2x-y>0

8.已知实数x,y满意«x+2y-540,求的取值范围

xy

”1

9,已知椭圆C卡+/=1（4>人>0）的左右焦点为小K，离心率为g，若尸为椭圆C上一点,

且则△/=；2用的面积等于.

10.在极坐标系中，点I到直线°（8se+Gsin®）=6的距离为.

11.已知卜，=1|=2,。与b的夹角为不，则a+b在a上的投影为.

12.（5分）直线y=l与曲线y=x?-lx|+a有四个交点，则a的取值范围是

tan/A2c

13.在A4BC中，A、B、C所对边分别为a、b、c,若1+---+—=0,则4=______.

tan3b

X_x

x

14.已知a'+a~=5(。>0,xeR),则a?+。2=

15.16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的进展，改进数字计算方法成了当务

之急，约翰・纳皮尔正是在讨论天文学的过程中，为了简化其中的计算而创造了对数.后来天才数

学家欧拉发觉了对数与指数的关系，即a'，=Nob=log”N.

现在已知2"=3,3&=4,则必=.

16.将/(%)=2、-二的图像向右平移2个单位后得曲线G,将函数y=g(x)的图像向下平移2

个单位后得曲线。2，G与0，关于x轴对称，若尸(x)=」®+g(x)的最小值为，"，且

a

m>2+/j,则实数a的取值范围为.

|log3X1,0<X<3

17.已知函数/(x)=i1210，若存在实数a力,c,d，满意

—x----x+8,x23

[33

/(«)=f(b)=/(c)=j\d),其中d〉c>>>a〉0,则abed的取值范围是.

xi+x2

18.定义下凸函数如下：设f(x)为区间I上的函数，若对任意的X”X2《I总有f(-2~)

f(Xj)+f(x2)

~2,则称f(x)为I上的下凸函数，某同学查阅资料后发觉了下凸函数有如下判定

定理和性质定理：

判定定理：f(X)为下凸函数的充要条件是f"(x)NO,Xei,其中f"(x)为f(x)的导函

数f'(x)的导数.

性质定理：若函数f(X)为区间I上的下凸函数，则对I内任意的X“X2,…，xn,都有

f(X1)+f(x2)+--+f(xn)X1+X2+…+x

--------------------------/(---------------/.

nn

请问：在aABC中，sinA+sinB+sinC的最大值为.

三、解答题(本题共5道小题，第共60分)

19.设命题"：实数x满意V—4奴+3〃<0,其中。〉0；命题q:实数x满意上，W0.

x-2

(1)若。=1,且乡为真，求实数X的取值范围;

(2)若力是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

20.已知二次函数/(x)满意〃x+l)—/(x)=2x(xeR),且"0)=1。

(1)求“X)的解析式；

(2)当时，不等式/(x)>2x+〃「恒成立，求实数小的取值范围;

(3)设g(r)=/(2r+a),"[一1,1],求8(£)的最大值。

21.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，若a,,>0,a“=2£—1.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若2=,，求数列｛2｝的前〃项和

22.

在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且一‘L二王」

cosAcosB

(1)若/?=J^sin3,求a；

(2)若。=#，A4BC的面积为好，求处c.

2

23.如图，矩形ABC。中，AB=6,AO=26，点尸是AC上的动点.现将矩形ABC。沿着对角

线AC折成二面角。'一AC-6,使得。'6=同.

(1)求证：当AF=G时，D'FVBCx

7T

(2)试求CF的长，使得二面角A-O'歹一3的大小为上.

4

试卷答案

_5

1.(-00,-4].

【考点】交集及其运算.

【分析】首先求出集合A,依据ACB=A,得至IJAUB,设f(x)=x2-2tx+l,则应满意

ff(-2)<0

求出t的范围即可.

If(-1XO

【解答］解：A={X|4<2X<4，xeR)={x|-2<x<-1},B={x|x2-2tx+l<0},

42

由于ACB=A,所以AUB,

p(-2)<0(4+4t+l40

设f(x)-x2-2tx+1,满意解得

\f(-lXOll+2t+l<0,i41

故答案为：(-8,-昌.

4

2.a=1或。<—2

3.2

4.m>3

试题分析：令/(%)=/-如+根一1,则“方程/一3+加_1=0有两根，其中一根大于2—

根小于2"<=>/(2)=3-加<0<=>6>3,故应填，%>3.

考点：函数与方程.

5.12

7.15：11

【考点】向量在几何中的应用.

【分析】可作5而=6羽，从而可得到神+而=-奇，然后以OA,0D为邻边作平行四边形

5

OAED,并连接0E,设交BC于点N,这样画出图形，依据三角形的相像便可得出胆进而便可

NE6

求出黑的值，这样即可求出跳股的值，从而得出AABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比

ONSA0BC

值.

【解答】解：作5OD=6OC'则5OB+5OD=-疯；

•e-5(0B+0D)=-40A；

•••OB+OD=-^-OA：

5

以水，而为邻边作平行四边形OAED,连接0E,交BC于N,如图所示：

A

依据三角形相像得,器q,黑哈;

.ON_4

"OA^ll

.ON4

"AN^

.AN15

••—;

ON4

.S/kABC_15

^AOBC4

.••△ABC的面积与△ABO、△ACO面积之和的比为15：11.

故答案为：15：11.

9.4

解：由题意a=4,e=—=>得a=4,h=2>c=2\/3,

a2

为椭圆C上一点，且4户鸟=90。，

22

A\PF,\+\PF2\=2a=8,\PF^+\PF2|=4c=48,

（|PG|+|「乙|）2一2|Pg|=48,B|J64-2|町|・|尸玛|=48,得|/Y；||「思|=8,

故△EPg的面积S=3「耳|"Pg|=gx8=4.

10.^

2

直角坐标系中，直线方程为x+6y=G，

点坐标为12cos/2si?卜(6,1),

,|x/3+V3-^|X/3

到直线距离”=—/2厂2=V-

#+(a22

11.3

12.(1,

4

考点：二次函数的性质.

专题：作图题；压轴题；数形结合.

分析：在同始终角坐标系内画出直线y=l与曲线y=(-|x|+a的图象，观看求解.

解答：解：如图，在同始终角坐标系内画出直线y=l与曲线y=x、|x|+a,

'a>l

观图可知，a的取值必需满意,4a-1<］，

4

解得l<a<3

4

故答案为：(1,至)

点评：本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想.

14.77

15.2

42)

17

【答案】(2L24).

【解析】

试题分析：如下图所示，由图形易知1<6<3,则=|log3H=—log3G=|log3b\

=log3b,丁/(a)=/(b),-log3(7=log3b,ab=\f令;/一号工+8=0,即V—10x+24=0,

解得x=4或x=6,而二次函数》=3/一¥工+8的图象的对称轴为直线乂=5,由图象知，3<c<5,

d>5,点值/(c))和点均在二次函数y=x+8的图象上，故有一=5,

：.d=10—c>由于/ObgxB。一?x3+8=l,当lvx<3时，/(x)=|log3x^log^x.二Ovlog/vL

•••1v5v3,二0v/㈤v1,0</(c)<1,由于函数〃x)在(3,5)上单调递够,且〃3)=1,

/(4)=0,/.3<c<4,abed=lxc4/=c^/=c(10—c)=-c"4-10c

rr

=-(c-5)*+25,•.-3<c<4,.-.21<-(c-5)*+25<24,即21cMed<24.

考点：函数的图象、对致函数、二次函数的单调性

略

373

18.2

【考点】采用导数讨论函数的单调性.

【分析】构造函数f(x)=sinx,xe(0,n),求导，则f"(x)W-sinx,由正弦函数的图

象可知f"(x)<0成立，则f(x)=sinx,xG(0,n)是凸函数，依据凸函数的性质

sinA+sinB+sinCW3sin(''+"+一),即可求得sinA+sinB+sinC的最大值.

3

【解答】解：设f(x)=sinx,x©(0,Jt),则f'(x)=cosx,则f"(x)W-sinx,xG

(0,n),

由当XG(0,n),OVsinWl,则f"(x)VO成立，则f(x)=sinx,xG(0,n)是凸函

数，

由凸函数的性质可知：f(xP+f(x-wf(Xi+X2+—Xn)

nn

则sinA+sinB+sinCW3sin(至1W)yxsin3-二孑心■,

332

/.sinA+sinB+sinC的最大值为:"°,

2

故答案为：也.

2

19.

(1)由f-4改+3。2<0得(％一3。)(1—。)<0，又〃>0，所以QVX<3〃，

当。=1时，1<X<3,即p为真时实数天的取值范围是l<x<3.

x-3fx-2w0

4为真时——《0等价于彳,得2<x<3,

x-2[(x-2)(%-3)<0

即乡为真时实数次的取值范围是2Vx43

若〃八4为真，则〃真且9真，所以实数x的取值范围是(2,3)

(2)「p是r的充分不必要条件，即r?nr，且「pwr，等于价〃=>4，且夕工4,

设A={xk<xv3a},B={x|2<x<3},则

则0<。<2,且3。>3所以实数。的取值范围是(1,2].

20.

(1)设+云+0(。工0),代入/(x+1)-/(x)=2x和"0)=1,

[2ax+a-\-b=2x(xeR7\,/、2、

并化简得<I,/.6Z=l.Z?=-l,c=l,/./(x)=x-x+lo4分

[c=l

(2)当工£[一1,1]时，不等/(x)>2x+机式恒成马上不等式/一3%+1>加恒成立，

令g(x)=j?_3x+l,则且(1)=(工_1)_1，当时，g(x)niin=-1»：.m<-\o

8分

(3)g(f)=/(2f+a)=4/+(4a—2"+Q2一a+i,/e[—1,1],对称轴是x=i^。

10分

①当时，即.4；时，g〃)^=g(—i)=4-(而-2)+/一a+i=/-5a+7；时分

②当£^£<0时，即时，g(f)m”=g(i)=4+(4a—2)+02-4+1=02+34+3.14分

1

矿—5ci+7,a-2,

综上所述：g(f)=•。16分

o\/max1

cr+3ct+3,a>—,

2

21.

解法一：(1)•.““=2底-1,.-^S^^+l)2.

当〃=1时，4s1=(q+l)2,得q=l.

当“N2时，4S,i=(《i+l)2,

・•・4(S,,-S,T)=(4,+1)2-(%+1)2，

22

4%=a„+2a„-a„_,-2a„_,，即(tz„Xa„-an_,)=2(a„+a„_,)，

•/an>0,an-%=2.........................4分

•••数列｛〃“｝是等差数列，且首项为4=1,公差为2,

:.an=1+2(〃-1)=2〃-1..........................6分

(2)由(1)可知，"=(2〃-1)・!，

•••1=1xg+3x/+5x/+…+(2〃-1>",--@.........................7分

=lx:+3x(+…+(2〃-3).：+(2〃-1).击,----@.........................8分

①-②得V=3+2(/+/+—+/)-(2"-1>击........................9分

J____1^

=-+2x^~..........................10分

3.13*'

1------

3

化简得＜=1一*................12分

解法二：(1)同解法一.

(2)由(1)可知，bn=(2n-\)~,

设2=(2〃—1)."=(4+8)]一5(〃—1)+用.=(-2加+34—23).1

-2A=2,A=T,

解得

3A-2B=-1,B=-\.

.♦也=(2〃-1).最=(_〃_1).持_(_力击=".击一(〃+1).上,9分

:.Tn=b}+b2+---+bn

=(1'"-2、》+(2*卜3、最)+~+[”,9-(〃+1>"1

22.

2a3c-2b2sinA3sinC-2sinB

(1)由正弦定理得:------=---------=>---------=-------------------

cosAcosBcosAcosB

即2sinAcos5=3sinCcosA-2sin5cosA,

2(sinAcosB+sinBcosA)=2sinC=3sinCcosA,VsinC0,・‘'・cosA=—,

3

则sinA=@，：人=店红门吕，.•.由正弦定理得：a=sinA・二一二_5

3sinB-3

(2),.•^45。的面积为好，；.工从4114=好，得6c，=3,

222

工(+。)即(/?+

*.*a=,J.A?+/—gbc=6,82—?bc=6,c)?二16

*/Z?>0,c>0,Jb+c=4

23.

(1)连结BF.

在矩形ABCD中，AD=2瓜CD=6,

AC=ZCAB=30°,ADAC=60°............................1分

在AADP中，VAF^