人教版初三数学上二次函数的图像与性质导学案（无答案）

姓名年级9年级

知识内容22.1二次函数的图像与性质时间

【知识点一】二次函数概念：

二次函数的概念：一般地，形如（a，/7，c是常数，«*o）的函数，叫做二次函数。

令x是自变量，化简后自变量x的最高次数必须是2

令二次项系数a不能为0

令函数剖析式是整式

例1：下列函数中，是二次函数的有（）

①y=-%2+2x；②y=2一》2；③y=3d_（3尤2+2x-l）；+bx+c

A.①B.①②C.①②③D.①②④

例2：填空

（1）当机时，函数y=（m-2）x2+3x-5（加为常数）是关于x的二次函数

（2）当时加=______,函数y=（加2+机）是关于x的二次函数

【知识点2】常见的几种二次函数图像及性质

1.二次函数基本形式：卜二奴之的性质:

«的标记开口偏向极点坐标对称轴性质

x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随

a>0向上(0,0)y轴

x的增大而减小；x=0时，y有最小值0.

尤>0时，y随x的增大而减小；工<0时，）；随

a<0向下(0,0)y轴

%的增大而增大；x=0时，y有最大值0.

图像：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

y-2x2

2.丁=加+（:的性质:

上加下减。

a的标记开口偏向极点坐标对称轴性质

x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随

a>0向上（0,C）y轴

x的增大而减小；x=0时，y有最小值c.

x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，），随

«<0向下(0,c)y轴

x的增大而增大；x=0时，y有最大值c.

3.y=a^x-h^的性质:

左加右减。

a的标记开口偏向极点坐标对称轴性质

x>6时，y随x的增大而增大；时，y随

a>0向上(/7,0)X=h

x的增大而减小；x="时，y有最小值0.

力时，y随尤的增大而减小；为</z!J寸，y随

a<0向下(〃,0)X=h

x的增大而增大；％=/?时，y有最大值0.

4.y=«(x-/?)2+k的性质：

a的标记开口偏向极点坐标对称轴性质

力时，y随X的增大而增大；时，y随

a>0向上(儿k)X二h

x的增大而减小；/=%时，y有最小值上.

时，y随x的增大而减小；〃时，y随

a<0向下(〃，k)X二h

R的增大而增大：x=6时，y有最大值"

例3：敷衍函数y=2/下列说法：①当x取任何实数时，y的值总是正的；②x的值增大，y的值也增

大；③y随X的增大而减小；④图象关于y轴对称.此中正确的是___.

例4：已知函数y="幺+（m*一6）x+2的图象关于y轴对称，则m=________；

例5：抛物线y=-g（x-3）2,极点坐标是_____,当x_________时,y随x的增大而减小，函数有最

值_____.

例6：请写出一个二次函数以（2,3）为极点，且开口向上________________________.

【知识点三】一般式的二次函数的图像和性质

1.二次函数的图像和性质

函

y=ax2是常数，awO)

数

a>0a<0

y

y

图

像

0X0x

(1)抛物线开口向下，并向下无穷延伸；

(1)抛物线开口向上，并向上无穷延伸；

(2)对称轴是x=------,极点坐标是

(2)对称轴是x=-—,极点坐标是2a

2a

性2

b4ac-bh4ac-h2

质2a94a-):(,);

2a4a

h

(3)在对称轴的左侧，即当x<-------时,y在对称轴的左侧，即当x〈-2时，y随x

2a(3)

2a

随的增大而减小在对称轴的右侧，

X的增大而增大；在对称轴的右侧，即当X>

即当X>-2时,y随X的增大而增大，b

——时，y随x的增大而减小，简记左增右

2a2a

简记左减右增；减；

b(4)抛物线有最高点，当x=-2时，y有最大

(4)抛物线有最低点，当x=----时，y

2a2a

有最小值，y最小值=巧卢"4ac-b2

值，丁最大值一4a

2.已知图像怎样鉴别a、b、c的标记

具体准则如下：a由图像开口确定(开口向上a>0,开口向下aVO),c由图像与y轴的交点确定

(交y正半轴c>0,交y负半轴cVO),b由对称轴和a互助来确定(左同右异)：函数中ab值同号,

图像极点在y轴左侧“左同”，ab值异号，图像极点必在Y轴右侧“右异”。

3.二次函数y=々(工一力)2+攵与丁=④2+Z?x+c,的比较

从剖析式上看，y=a(x-/zp+Z与y=ar2+桁+。是两种不同的表达形式，后者议决配方可以得到

“生(AY4ac-h2...b74ac-b2

刖者，BRPny=a\x+——+---------,止1匕L中/i=——,k=----------.

V2/7J4a2a4a

例7：求函数y=/+6x+9的最小值及图象的对称轴和极点坐标，并求出函数值随x增大而减小的

定义域范畴。

例&(1)抛物线y=d+4x—1的极点是,对称轴是

（2）函数y=-+2x—5的图像的对称轴是（)

A.直线x=2B.直线a=-2

C.直线y=2D.直线x=4

练习:

⑴二次函数产加+bx+c的图像如图1,则点M（6,与在（）

a

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（2）已知二次函数y=ax、bx+c（aWO）的图象如图2所示，则下列结论：

①a、b同号；②当x=l和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x

的值只能取0.此中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个I).4个

【知识点四】二次函数的平移

1、将抛物线剖析式转化成极点式y=a（x-/7『+Z，确定其极点坐标（〃，幺）

2.几种函数形式图像形状的变换

保持抛物线y=的形状不变，将其极点平移随处（力，Z）,具体平移要领如下:

3.平移纪律

特殊印象一“上加下减，左加右减”

例9：已知函数y=—3(x—21+9.

(1)确定下列抛物线的开口偏向、对称轴和极点坐标；

(2)当乂=时，抛物线有最值，是.

(3)当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小.

(4)该函数图象可由y=—3/的图象议决怎样的平移得到的？

例10：将二次函数y=3(x+2)2-4的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，所得的图象的函数

干系式是()

A、y=3(x+5)2-5B、y=3(x-1)2-5

C、y=3(x-1)2-3D、y=3(x+5)2-3

【同步练习】

一、选择题：

1.抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是()

A.直线x=-3B.直线x=3C.直线x=-2D.直线x=2

2.把抛物线、=/+公+。向右平移3个单位，再向下平移2个单彳i,所得图象的剖析式是

y=x2-3x+5,则有()

A.b=3,c=7B.h=-9,c=-15

C.b=3,c=3D.b=-9,c=2\

3.下面所示各图是在联合直角坐标系内，二次函数y=o?+3+,江+。与一次函数y=以+c的大抵

图象，有且只有一个是正确的，正确的是()

V

Xw4zJV

ABCD

4.二次函数y=(x-+2的最小值是()

y卜;

U

A.-2B.2C.-1\

D-1

-1