专题3-1 平行四边形（考题猜想构造平行四边形解题的六种应用类型）原卷版-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（人教版）

专题3-1平行四边形（考题猜想，构造平行四边形解题的六种应用类型）类型1：证两线段相等【例题1】（2023春•滨海县期中）如图，在平行四边形中，，是对角线上两个点，且．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【变式1】（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，在平行四边形中，分别是边上的点，且，直线分别与的延长线交于点，连接.(1)求证：四边形是平行四边形；(2)求证：．【变式2】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，在中，O为的中点，连接并延长，交的延长线于点E．求证：．【变式3】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，，求的面积．类型2：证两线段互相平分【例题2】（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，，分别是四边形的边，的中点，，是，的中点．求证：和互相平分．【变式1】（20-21八年级下·上海长宁·期末）如图，BD、AC是四边形ABCD的对角线，点E、F、G、H分别是线段AD、DB、BC、AC上的中点．(1)求证：线段EG、FH互相平分；(2)四边形ABCD满足什么条件时，EG⊥FH？证明你得到的结论．【变式2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，对角线，交于点O，，E，F，H分别是，，的中点，交于点G．(1)求证：线段与线段互相平分；(2)若，求的长度；(3)求的值．【变式3】（23-24八年级下·江西赣州·期中）【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在中，点分别是边的中点．求证：，且．方法一：证明：如图2，延长到点，使，连接．方法二：证明：如图3，取中点，连接并延长到点，使，连接．【回顾证法】（1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程．【实践应用】（2）如图4，B、C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了间的距离：先在池塘外选一点，连接，然后测出的中点、，并测出的长度为12米，则两点间的距离______米．【深入探究】（3）如图5，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论．类型3：证两线段平行【例题3】（2023·四川南充·中考真题）如图，在中，点，在对角线上，．求证：

(1)；(2)．【变式1】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点E，F是对角线上的点，．求证：

(1)；(2)．【变式2】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点P为边上的一点，，且，点C关于直线的对称点为D，连接，又的边上的高为：

(1)求的大小；(2)判断直线是否平行？并说明理由；(3)证明：．【变式3】（22-23八年级下·山西忻州·期中）如图，正方形中，E，F，G分别是上的中点，连结，连结CG分别交于点M，N，交于点H．

(1)求证：；(2)当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动到点N处，若，设．①求的长；②当时，用含代数式表示四边形的面积；③在P，Q整个运动过程中，当P，Q与四边形的两个顶点构成平行四边形时，求t的值．类型4：证线段的和差关系【例题4】（20-21八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．【变式1】（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，平行四边形中，于点，点在上，交于点，连接．

(1)若，求的长度；(2)求证：；(3)求证：．【变式2】（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知为平行四边形．(1)如图1，若于M，于N，求证：；(2)如图2，若为两条对角线，求证：．【变式3】（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，D，E分别为上两动点，．(1)如图1，若于H交于K，求证：；(2)如图2，若交于F，，，求证：；(3)如图3，若，将绕点E顺时针旋转得，N为中点，当取得最小值时，请直接写出的面积．类型5：求线段的取值范围【例题5】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（

）

A． B． C． D．【变式1】（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，，为轴上一动点，连接并延长至点，使，取轴负半轴上一点，使得，以，为边作．（）点的坐标为．（）设点坐标为，则点的坐标为（用含的代数式表示），连接，则长度的取值范围为．【变式2】（20-21八年级下·江苏南京·期中）如图，在等边三角形中，，P为上一点（与点A、C不重合），连接，以、为邻边作平行四边形，则的取值范围是．【变式3】（21-22八年级下·广东佛山·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，点G，H在上，且，．(1)若，则的取值范围为_____________；(2)若，求的度数；(3)试判断与的位置关系与数量关系，并说明理由．类型6：解决面积问题【例题6】（21-22八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为（

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A．24 B．17 C．13 D．10【变式1】（22-23八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在矩形中，点分别是的中点，连接和，分别取、的中点，连接，若，，则图中阴影部分图形的面积和为．

【变式2】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，E是的中点，佳佳用无刻度直尺进行如下操作：连接；连接，交于点F；连接，交于点P；作射线，交于点H．(1)判断四边形的形状，并说明理由；(2)求证：；(3)若，，求四边形的面积．【变式3】（22-23八年级下·北京密云·期中）已知：如图，在边长为1的小