专题2-1 勾股定理（考题猜想巧用勾股定理求最短路径的长）解析版-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（人教版）

专题2-1勾股定理（考题猜想，巧用勾股定理求最短路径的长）求最短距离的问题，第一种情况是通过计算和比较解最短距离问题；第二种情况是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种情况是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．【方法总结】1、解决有关立体图形中路线最短的问题，关键是把立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题，如圆柱侧面展开图为长方形，圆锥侧面展开图为扇形，长方体侧面展开图为长方形等。2、平面图形中利用计算、平移、对称等方法，运用平面上两点间线段最短的道理，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可。3、长方体的展开图有三种不同的情况，计算后进行比较。技巧1：用计算法解决平面中的最短问题【例题1】（22-23八年级下·辽宁丹东·期中）如图，已知直线交x、y轴于A、B两点，以为边作等边（A、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为，连接，则的最小值为（

）

A．6 B． C．6.5 D．7【答案】D【分析】在轴上方作等边，证明，所以点的轨迹为定直线，作点关于直线的对称点，连接，当点、、在同一条直线上时，的值最小，再根据勾股定理，即可解答；【详解】点B在直线上，在轴上方作等边即又∵∴∴点的轨迹为定直线作点关于直线的对称点，连接，∴当点D、C、在同一条直线上时，的值最小即的最小值故选：D

【点睛】本题考查最短路径，勾股定理，轴对称等知识点，解题关键是熟练掌握以上知识点、根据条件的问题作出辅助线【变式1】（22-23八年级下·广东广州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值．运用此方法，请你解决问题：已知a，b均为正数，且．则的最小值是．【答案】【分析】根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接AB，则的最小值为AB，再利用勾股定理计算出AB即可．【详解】解：如图：可以可看作两直角边分别是和3的的斜边长，可以可看作两直角边分别是和的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为，∵，即，∴，∵，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理，动点问题，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答【变式2】（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，，两个工厂位于一段直线形河的异侧，厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂．(1)设，请用的代数式表示的长；(2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂的位置应怎样来确定此时需要管道多长？(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？【答案】(1)(2)连接与的交点就是污水处理厂的位置，此时最少需要管道(3)的最小值为【分析】（1）在和中，根据勾股定理可得，的长，进而即可求解；（2）连接与的交点就是污水处理厂的位置，过点作⊥于，在△中，勾股定理即可求解；（3）当、、共线时，求出的值即为原式的最小值，在△中，勾股定理即可求解．【详解】（1）解：在和中，根据勾股定理可得，，∴，（2）根据两点之间线段最短可知，连接与的交点就是污水处理厂的位置．过点作⊥于，则有，．．在△中，，此时最少需要管道．（3）根据以上推理，可作出下图，设，，，，当、、共线时，求出的值即为原式的最小值．在△中，，，由勾股定理可得：，的最小值为．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键【变式3】（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一条河流的段长为，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，计划在上建一座桥，使得桥到村和村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题：(1)将桥建在何处时，可以使得桥到村和村的距离和最小？请在图中画出此时点的位置；(2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求出当______时，的值最小，且最小值为______；(3)结合（1）（2）问，请直接写出下列代数式的最小值：①的最小值______；②的最小值为______．【答案】(1)见解析(2)；(3)①；②【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可；（2）根据平行线分线段成比例定理得出的长度，根据勾股定理求出即为最小值；（3）①根据题意可知的最小值，计算即可；②将转换为，然后根据上述规律求最小值即可．【详解】（1）解：如图，点即为所作：；（2）过点作，交与点,则，，，设为，则，则，即，解得，，当时，最小值为，故答案为：；；（3）①的最小值，故答案为：；②的最小值，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，考查了数形结合的思想，读懂题意，将已知式子转换为相应的图形进行解答是本题的关键技巧2：用平移法解决平面中的距离问题已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2,且AC＋BD＋CD最短．作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD【例题2】（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，M，N是线段上的两个动点，且，则与周长和的最小值是．【答案】【分析】将点C项左平移2个单位得到，找出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于一点即为最短距离点，根据勾股定理即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，∵，，，∴当最小即可得到答案，点C项左平移2个单位得到，找出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于一点即为最短距离点，如图所示，根据勾股定理可得，，∴与周长和的最小值是：，故答案为：．【点睛】本题考查最短距离问题及勾股定理，解题的关键是根据轴对称的性质及两点间线段距离最短得到最小距离位置【变式1】（2021八年级上·全国·专题练习）如图，小明在广场上先向东走10m，又向南走40m，再向西走20m，又向南走40m，再向东走70m．则小明到达的终点与原出发点的距离是．【答案】100m【分析】连接出发点与终止点，求出两点之间距离即为所求，要构造直角三角形，用勾股定理解答．【详解】解：连接AB，作AC⊥BC于C．∵AC=40+40=80(m)，BC=70-10=60(m)，则AB==100(m)．故答案为：100m．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题关键【变式2】．（2023春·浙江·八年级专题练习）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（）A．B．C． D．【答案】D【分析】过A作河的垂线AH，要使最短，MN⊥直线a，AI＝MN，连接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可．【详解】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要AM+BN最短即可，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连接IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．故选：D．【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．【变式3】（22-23八年级下·山东青岛·期末）阅读材料：对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．例如：将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”．已知点和点．

(1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为___________；(2)①将线段AB进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是___________；②若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是___________；(3)已知点，，点M是线段CD上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是___________时，的最小值保持不变．【答案】(1)(2)①；②或(3)【分析】（1）根据“1型平移”的定义解决问题即可；（2）①画出线段即可判断；②根据定义求出的最大值，最小值即可解答；（3）如图2中，观察图象可知，当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为．【详解】（1）解：将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为，即点的坐标为；故答案为：；（2）解：①如图1中，观察图象可知，将线段进行“型平移”后点A的对应点为，点B的对应点为，即，，∴得到线段，∴点，，中，在线段上的点是；故答案为：

②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，当平移后与y轴相交，则，解得：，当平移后与x轴相交，则，解得：，∴若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是或；故答案为：或．（3）解：如图2中，观察图象可知，当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为，此时．

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，“

t型平移”的定义等知识，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型．技巧3：用对称法解决平面中的最短问题1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小。类型1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。类型2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间，线段最短2.两动一定型类型3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’

，连接A’A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．类型4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’

，连接A’B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．3.垂线段最短型类型5：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．点A是定点，OM，ON是定线，点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，交OM于点B，B、C即为所求。类型6：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB|最小.作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P此时|PA-PB|=0类型7：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。【例题3】（21-22八年级下·安徽合肥·期中）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出点位置，进而结合勾股定理得出即可．【详解】解：如图所示：作点关于直线的对称点，再连接，交直线于点则此时最小，过点作延长线于点，，，，，则，在中，，则的最小值为：．故选：B．【点睛】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题【变式1】（22-23八年级下·广西桂林·期中）如图，在等腰直角中．，，的平分线交于点，点为边的中点，点和分别是和上动点，则的最小值是．

【答案】【分析】连接，过点作于，与交于点，连接，，得、点关于对称，当、、三点共线，且时，为最小值，通过等腰直角三角形的性质求得此时的便可．【详解】解：过点作于，与交于点，连接，，

等腰直角中．，，点为边的中点，，，平分，，，，，，，，当点、、依次在同一直线上，且时，的值最小，如图：

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴即的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，角平分线定义，等腰直角三角形的性质，灵活应用角平分线定理，准确找到点关于的对称点，再结合垂线段最短，将所有最小距离转化为垂线段的长是解题的关键【变式2】（22-23八年级下·云南昭通·期中）如图，河的同侧有、两个村，且，、两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向、两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用（元）．

【答案】20000元【分析】作点关于的对称点为，连接交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，分别利用勾股定理求出和的长即可．【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，点即为水厂的位置．分过点作交的延长线于点，过点作于点，

则，，．∴．在中，，∴，∴．在中，，由勾股定理得．∴（元）．故铺设水管的总费用为20000元．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键【变式3】（22-23八年级·山东济南·期中）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．【答案】(1)见解析；(2)50万元.【分析】（1）作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求；（2）连接交于H点，过点B作，根据勾股定理求出，即可得出答案．【详解】（1）解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求.（2）解：如图，连接交于H点，过点B作，由题意可知：，，，∴，∴在中，，∴在中，，由对称性质可知：，水管长，完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元）【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力技巧4：用展开法解决立体图形中的最短问题类型1：圆柱中的最短问题【例题4】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图是底面周长为24，高为5的圆柱体．一只小蚂蚁要从点A爬到点，则蚂蚁爬行的最短距离是（

）A．7 B．10 C．13 D．21【答案】C【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是把立体图形转换成平面图形，运用勾股定理来解．将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，根据两点之间线段最短找出最短距离，然后根据勾股定理可求得结果．【详解】解：如图所示：

由于圆柱体的底面周长为24，则，又因为圆柱体的高为5，∴，所以，故蚂蚁爬行的最短距离是13．故选：C【变式1】（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点爬到圆柱的外侧点处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．

【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点，连接A′B，则的长度即为它爬行最短路程，∴厘米，厘米，

∴，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【变式2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）（1）如图①，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（2）如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高，盒底周长，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度．【答案】（1）

（2）【分析】此题主要考查了平面展开图中最短路径问题，这是中考中热点问题，找出展开图的与原图形对应情况是解决问题的关键.首先画出圆柱的平面展开图，利用勾股定理可求出最短路程的长.【详解】（1）解：如解图，圆柱体的展开图为长方形，所以，由题意可知，，所以在中，由勾股定理得，，所以，所以蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是；（2）如图，∵盒高，盒底周长为，，∴蚂蚁爬行的最短路程是，∴蚂蚁爬行的最短路程是【变式3】（22-23八年级下·全国·单元测试）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上．(1)若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．(2)若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．【答案】(1)25(2)【分析】（1）根据题意画出图形，在Rt中，再根据勾股定理求解即可；（2）在Rt中根据勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图所示，在Rt中，，，（尺）答：葛藤长为25尺．故答案为：25；（2）解：在Rt中，，，（尺），答：葛藤长为尺．故答案为：．【点睛】本题考查的是平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解决问题的关键类型2：圆锥中的最短问题【例题5】（2024八年级·全国·竞赛）有一个圆锥，其母线长是，底面圆的直径是，点为底面圆周上的任意一点，现在用笔在该圆锥的侧面上画出一条线，这条线从点开始绕圆锥侧面一圈后又回到点，则这条线最短为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】此题主要考查了圆锥平面展开图的最短路径问题，利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，进而得出扇形圆心角的度数，再利用勾股定理求出的长．【详解】解：如图，由两点间直线距离最短可知，圆锥侧面展开图最短，由题意可知：，，解得：，，，故选：B【变式1】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是．【答案】【分析】先把圆锥的侧面展开图，再根据两点之间，线段最短确定最短路线，求出展开图扇形圆心角，最后根据勾股定理求解线段长即可．【详解】解：由题意知，底面圆的直径为，故底面周长等于，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，，解得，所以展开图中圆心角为，根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：．故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，最短路问题，弧长公式和勾股定理等知识点，拥有良好的空间想象能力是解题的关键【变式2】（20-21八年级上·山西运城·期中）如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为．【答案】【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90º，利用勾股定理可求AC的长即可．【详解】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4，侧面展开的圆心角，n=90º即∠ASC=90º，C为SD的中点SD=4，线段AC是小虫爬行的最短距离，在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=，故答案为：．【点睛】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键【变式3】已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．【答案】（1）圆锥（2）扇形（3）见解析（4）【详解】试题分析:（1）根据几何体的特点可判断此图图形为圆锥,（2）圆锥的侧面展开图是扇形,（3）要求蜗牛爬行的最短距离,需将圆锥的侧面展开,进而根据”两点之间线段最短”得出结果,（4）已知圆锥侧面展开图的夹角为90°,则可得到最短路径是直角三角形的斜边,根据已知确定两直角边的长,即可利用勾股定理求解.解：(1)圆锥(2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线．(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，∴AC＝＝.故蜗牛爬行的最短路程为类型3：长方体中的最短问题【例题6】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（）A．8m B．10m C．m D．m【答案】B【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答．【详解】解：如图，将木块展开，即为所求，则（米，米，最短路径为：（米．故选：B【变式1】（22-23八