人教A版（2019）高中数学必修第一册4.4.3不同函数增长的差异

4.4.3不同函数增长的差异

教学目标：

利用信息技术，通过列表法和图象法，探究不同函数增长速度的各自特点及差异，并总

结其中的规律.

教学重点：一次函数、对数函数和指数函数各自增长的特点.

教学难点：归纳总结出不同函数增长的差异.体会对比地研究多个函数的过程.

教学过程：

引导语：在4.2.1的例2的第（1）小问中，进一步研究了这一节的问题1,比较了A,

B两地旅游收入的长期变化情况，A地为一次函数的增长，B地为指数函数的增长，两种增

长方式存在很大的差异.那么该如何研究一次函数、指数函数和对数函数增长的差异？

如生活动：教师提出问题，引导学生根据图象进行观察、探索变化趋势，根据数据进行

计算、分析变化率关,提出研究方法.实际上，函数的变化率Qi以作为•把尺子，用来“度

量”一次函数、指数函数和对数函数的增长差异.

设诃意图：函数的表达方式有•:种：列表法、图象法和解析式法.在本章，由于学生

研究函数增长的工具所限（主要是没有导数工具〉，所以从解析式无法得出严谨的结论.因

此，史观上通过图象得到定性印象，数据上通过不完全归纳变化率都到定量结论.

1.指数函数与一次函数的增长差异

问题5：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间［0,+8）上的增长差异.你

能描述一下指数函数增长的特点吗？

追问1：不妨以函数）=2',和y=2x为例，列出这两个函数的自变量与函数值的对应

表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象.通过观察图象，这两个函数的图象在位置上有

什么关系？这说明了什么？

师生活动：先由学生独立完成.然后展示，教师可以利用信息技术，予以补充完善。对

应表如表3所示，函数图象如图10所示.

1

表3

Xy=2xy=2x

010

0.51.4141

122

1.52.8283

244

2.55.6575

386

・・・・・・・・・图10

学生独立思考之后互相讨论，最后在教师的帮助下得出结果.从图象上，发现函数

J=2•，和y=2x有两个交点（1,2）,（2,4）,并且这两个交点将区间［0,+8）分成

了三段，两个函数的图象位置在这三段有所不同.这表明，虽然这两个函数在［0,+8）上

都单调递增，但他们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度保持不变，而函数的

增长速度在变化.

追问2：通过对比这两个函数的自变成与函数值的对应表，分别计算它们的变化率今

你能发现什么？

师生活动：学生独立计算，得到表4,完成后展示交流.从数据上，通过计算变化率父,

发现函数y=2x的变化率恒定，即增长速度保持不变.而函数y=2'的变化率越来越大，即

增长速度在增大.

表4

绅Av

Xy=2xy=2x

AxAx

010

0.51.4140.8281

121.1722

1.52.8281.6563

2

242.3444

2.55.6573.3145

384.6866

•••・・・•••・・・・・・

2

追问3：在更大的范围内，列出这两个函数的自变量与函数值的对应表，并在同一直角

坐标系中画出它们的图象，观察它们的增长情况，从图象上和数据上，你能发现什么？

师生活动：有了前面的经验，借助计算工具和信息技术，教师引导并演示，全班集体完

成即可.对应表如表5所示，函数图象如图11所示.

Xy=2xy=2x

010

244

4168

66412

825616

10102420

12409624

・・・••••••

可以看到，当白变黄x越来越大时，y=2,的图象就象与x轴垂直一样，2,的值快速增

长；而出数y=2x的增长速度依然保持不变，与函数y=2,的增长速度相比儿乎微不足道.

追问4：若以函数y=2,和y=3x为例，重复如上的过程，你能得到什么结论？若以函

数）.=3工和），=108为例呢？请大家选择不同的指数函数和•次函数度复如上过程，你得到

的结论分别是什么？然后小组内互相交流.

师生活动：学生根据上述要求完成.

追问5：通过对特定的指数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结

论？

师生活动：有了府特定指数函数和一次函数的研究经验，教师适当引导，学生进行归

纳总结，教师F以补充.通过对）=2,和y=2x的研究发现，虽然两个幅数在区间［0,+-）

上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=

2,的增长速度越来越快，会超过并远远大广y=2x的增长速度.尽管在x的•定变化范闱内，

2、会小于2x,但由于y=2,的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个功,当x

>.功时，恒有2工>2x.

一般地，指数函数.v=d（«>1）与一次函数（上>0）的增长差异都与上述情况

类似.即使k的值远远大于。的值，），=〃（n>l）的增长速度最终都会大大超过y=^（k

>0）的增长速度.

3

设计意图：通过观察图象结合数据分析，数形结合地抽象出一次函数与指数函数的增长

差异.

练习6.如图12所示，（1）（2）（3）分别是函数y=3"和y=5x在不同范围的图象,

借助计算工具估计出使31>5x的x的取值范围（精确到0.01）.

解：通过计算，如表6所列数据.

表6

Xy=3xy=5x

0.261.331.30

0.271.351.35

2.1710.8510.85

2.1810.9710.90

因此使3*>5x的x的取值范围是[0,0.26]U[2.18,+«].

设计意图：通过观察图象，并借助计算工具估计出使3*>5x的x的取值范围，进一步

体会指数函数与一次函数增长的特点和差异.

2.对数函数与一次函数的增长差异

问题6：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0,+8）上的增长差异.你

能描述一下对数函数增长的特点吗？

追问1：类比问题5,你计划怎样研究这个问题？

师生活动：学生通过类比规划研究方案：先取特殊的函数进行研究，然后归纳得到一般

结论.

4

1

•in'

追问2：既如此，不妨以函数y=lgx和为例，列出这两个函数的自变量与函

数值的对应表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象.

师生活动：先由学生独立完成，然后教师利用信息技术予以补充完善.对应表如表7

所示，函数图象如图13所示.

表7

1

Xy=lgx

・y=r10^

0不存在0

1011

201.3012

301.4773

401.6024

501.6995

601.7786

•••・・・•••

追问3：通过观察图象，这两个函数的图象在位置上有什么关系？这说明了什么？

y=

师生活动：教师提出问题，学生讨论得出结果.从图象上，发现函数y=lgx和“

y=

虽然在［0,+8）上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异.随着x的增大，函数”

的图象离X轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就象与X轴平行一样.

5

追M4：通过对比这两个函数的自变量与函数值的对应去，分别计算它们的变化率点，

你能发现什么？

加生活动：学生独立计算，得到表8,完成后展示交流.从数据上，通过计算变化率手,

Ax

发现函数了=奈的变化率恒定，即增长速度保持不变.而函数），=口的变化率越来越小，

即增长速度在减小.

表8

Av-1A)*

Xy=7^v

Ar10Ax

0不存在0

1011

201.3010.03012

301.4770.017631

401.6020.0125410

501.6990.00975

601.7780.00796

.・・••••••••••••

_1

y一京

追问5：如果将Igx放大1000倍，再对函数y-10001gx和的增长情况进行比

较，那么仍然有前面所述的规律吗？

师生活动：有了前面的经验，教师引导学生进行定性分析.从图象和数据上都可以看出，

随着x的增大，一次函数的增长速度保持不变，而对数函数的增长速度一直在减小.所以一

_1

y-TTX

定存在一个枇，，当x>'°，时，y=10001gx的增长速度比”的增长速度小，并且y

=10001gx的增长速度还会持续减小下去.

追问6：通过对特定的对数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结

论？

师生活动：有了对特定对数函数和一次函数的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳

_1

y-TTX

总结，教师予以补充.通过对y=lgx和”的研究发现，虽然两个函数在区间［0,+

8）上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，

_1

y-TTV

y=lgx的增长速度越来越慢，与的增长速度相比几乎微不足道.

6

一般地，时数函数y=l。­(。>1)与一次函数)，=衽(k>0)的增长差异都与上述情

况类似.不论。的值比上的值大多少，在一定范围内，!?鲍;可能会大「煤但由解

的增长慢于人的增长，因此总会存在一个加，当X>XO时，恒有及睡〈昼.

设计意图：通过观察图象结合数据分析，数形结合地抽象出一次函数与对数函数的增长

差异.

练习7.如图14,对数函数y=lgx的图象与一次函数y=f(X)的图象有A,B两个公

共点.求一次函数y=f(x)的解析式.

解：根据对数函数的性质可知，y=lgx过定点(1,0),即A(1,0).又当*=2时・,

对数函数y=lg2,即B(2,lg2).因此过A,B两点的直线方程为y=lg2X(x-1),即

一次函数y=f(x)的解析式为y=lg2X(x—1).

设计意图：通过观察图象，并根据对数函数与一次函数的性质，作定量计算，进一步体

会对数函数与一次函数增长的特点和差异.

3.同时比较一次函数、对数函数和指数函数

问题7：在问题5和问题6中，分别研究了指数函数与一次函数、对数函数与一次函数

的增长差异，如果将一次函数、对数函数和指数函数同时比较，你能得到什么结论？

连问1：在同一坐标系中画出一次函数y=2x,对数函数y=k>giox和指数函数产2r的

图象，比较它们的增长有何差异？

师生活动：教师提出问题，引导学生借助信息技术画出图象进行探索.函数图象如图

15所示.

7

从图象上同时比较三个函数，能够内观上感受出，三个函数虽然都在增长，但增长速

度明显不同.一次函数j，=2t增长速度保持不变，时数函数j，=logiax增长速度越来越慢，

指数函数1，=2,增长速度越来越快.

追问2：一次函数y=kx(k>0),对数函数回(a>l)和指数函数)'=从(b

>1)的增长有何差异？

师生活动：有了前面的研究经验，教师适当引导，学生进行归纳总结，教师予以补充.一

般地，无论k(k>0)、a(a>l)、b(b>l)取何值，三种函数在区间(0,+~)上都单

调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对

数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值；指数函数的增长速度都会越来越快，并且

指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值.

追问3：如何理解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义？

师生活动：“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”从字面意义理解，直观形象、顾名

思义，可充分发挥学生的积极性展开讨论.教师个别提问讨论的结果，只要学生正确理解即

可，没有特定的标准答案.

设计意图：通过同时比较三种函数的增长差异，进一步认识一次函数、对数函数和指数

函数的性质，体会它们之间增长的差异.

8

练习8.三个变量A，茎,J3随变量X变化的数据如下表:

X051015202530

y\51305051130200531304505

yi5901620291605248809447840170061120

V35305580105130155

中关于X呈指数增长的变睛是.

解：根据数据变化能够发现，VI,户的增长速度越来越快，”的增长速度保持不变，所

以关于X呈指数增长的变量是M，

练习9.函数y=/(x)的图象如图16所示，则y=fG)可能是().

(A)y=l—x4,xG(0,+°0)(B)y=：-G)，x£(0,+°°)

(C)y=x—1,xG(0,4-°°)

图16

解：根据函数图象，该函数应该呈对数增长.结合函数的性质，该函数过(1,0),符

合对数函数的特点.注意到当函数值y