新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2第1课时直线与平面垂直的定义及判定定理学生用书新人教A版必修第二册

直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的定义及判定定理学习任务1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系．(直观想象)2．归纳出直线与平面垂直的判定定理．(数学抽象)3．了解直线与平面所成的角．(数学抽象)木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．假如两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．问题：(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？(2)上述问题说明白直线与平面垂直的条件是什么？学问点1直线与平面垂直的定义定义一般地，假如直线l与平面α内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面α相互垂直，记作l⊥α有关概念直线l叫做平面α的____，平面α叫做直线l的____．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做____图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直直线与平面垂直定义中的关键词“随意一条直线”是否可以换成“多数条直线”？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________学问点2直线与平面垂直的判定定理文字语言假如一条直线与一个平面内的____________垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言m⊂α，n⊂α，______＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α图形语言学问点3直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面____，但不与这个平面____，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA斜足斜线和平面的____，如图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引____，过____和____的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO；规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是______；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是____．取值范围设直线与平面所成的角为θ，则________________1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直． ()(2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线． ()(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线． ()2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．类型1直线与平面垂直的判定【例1】如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)．②判定定理最常用：要着力找寻平面内哪两条相交直线(有时作帮助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α.②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.[跟进训练]1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上随意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2直线与平面所成的角【例2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1．(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究]在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求直线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的____，再过垂足和斜足作直线，留意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的__________中计算．[跟进训练]3．在正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不确定2．(多选)下列说法，正确的是()A．若直线l垂直于α，则直线l垂直于α内任始终线B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，则a∥α3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°4．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是点H，给出以下说法：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC两两相互垂直，则点H是△ABC的垂心；③若点P到△ABC的三边距离相等，且点H在△ABC的内部，则H是△ABC的内心；④若PA＝PB＝PC，则点H是△ABC的外心．其中正确的说法是________(填序号)．回顾本节学问，自主完成以下问题：1．直线与平面垂直的判定定理的内容是什么？证明线面垂直的主要方法有哪些？2．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？如何求直线与平面所成的角？8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的定义及判定定理[必备学问·情境导学探新知]学问点1随意一条垂线垂面垂足思索提示：不行以，因为一条直线与某平面内多数条平行直线垂直，该直线与这个平面不愿定垂直．学问点2两条相交直线m∩n学问点3相交垂直交点垂线垂足斜足90°0°0°≤θ≤90°课前自主体验1．(1)×(2)√(3)×2．45°45°0°[∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.][关键实力·合作探究释疑难]例1证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.跟进训练1．证明：设圆O所在的平面为α，∵PA⊥α，且BM⊂α，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，∴AN与PM、BM两条相交直线相互垂直．故AN⊥平面PBM.2．证明：如图，连接AC，则AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C⊂平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可证BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.例2解：(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝22(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1∴∠A1BO＝30°，即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.母题探究解：连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a.∵E是AB的中点，EO1∥AC，∴O1是BO的中点，∴EO1＝12AO＝12×B1O1＝BO12+BB∴tan∠EB1O1＝EO1B1O发觉规律(1)垂线(3)直角三角形跟进训练3．解：如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，BD.因为底面△A′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′.因为AA′⊥底面A′B′C′，所以A′A⊥C′D.又AA′∩A′B′＝A′，所以C′D⊥侧面ABB′A′，所以BD是斜线BC′在平面ABB′A′上的射影，∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成的角．等边三角形A′B′C′的边长为1，C′D＝32在Rt△BB′C′中，BC′＝B'B2故直线BC′与平面ABB′A′所成的角的正弦值为sin∠C′BD＝C'DB[学习效果·课堂评估夯基础]1．B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]2．AC[由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时