2024八年级数学下册第五章分式与分式方程单元测试新版北师大版

Page1分式与分式方程(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．若分式eq\f(3x,x－5)有意义，则x的取值范围是(A)A．x≠5B．x≠－5C．x＞5D．x＞－52．(2024·凉山州)分式eq\f(x2－x,x－1)的值为0，则x的值是(A)A．0B．－1C．1D．0或13．上复习课时，李老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了：eq\f(1,x)，eq\f(1,2)，eq\f(x2＋1,2)，eq\f(3xy,π)，eq\f(3,x＋y)，a＋eq\f(1,m)，其中正确的个数为(B)A．2B．3C．4D．54．计算eq\f(m2,m－1)－eq\f(2m－1,m－1)的结果是(B)A．m＋1B．m－1C．m－2D．－m－25．(2024·哈尔滨)方程eq\f(2,x)＝eq\f(3,x＋1)的解为(C)A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－26．若关于x的分式方程eq\f(m＋4,x－3)＝eq\f(3x,x－3)＋2有增根，则m的值为(D)A．2B．3C．4D．57．若(eq\f(4,a2－4)＋eq\f(1,2－a))·w＝1，则w＝(C)A．a＋2(a≠－2)B．－a＋2(a≠2)C．－a－2(a≠±2)D．a－2(a≠2)8．(2024·宜昌)某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车动身，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是(D)A．0.2km/minB．0.3km/minC．0.4km/minD．0.6km/min9．(2024·内江)用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某探讨室支配两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一样，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，依据题意得方程正确的是(D)A．eq\f(2640,2x)＝eq\f(2640,x)＋2B．eq\f(2640,2x)＝eq\f(2640,x)－2C．eq\f(2640,2x)＝eq\f(2640,x)＋2×60D．eq\f(2640,2x)＝eq\f(2640,x)－2×6010．关于x的分式方程eq\f(ax－3,x－2)＋1＝eq\f(3x－1,2－x)的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3y－2,2)≤y－1，,y＋2＞a))有解，则全部满足条件的整数a的值之和是(B)A．－5B．－4C．－3D．－2二、填空题(每小题3分，共15分)11．分式eq\f(1,2x2y)与eq\f(1,3xy2)的最简公分母是__6x2y2__．12．(2024·宁夏)计算：eq\f(1,x－1)＋eq\f(3,x－1)＝__eq\f(4,x－1)__．13．假如a－b＝5，那么代数式(eq\f(a2＋b2,ab)－2)·eq\f(ab,a－b)的值是__5__．14．假如解关于x的分式方程eq\f(m,x－2)－eq\f(2x,2－x)＝1时出现增根，那么m的值为__－4__．15．(2024·眉山)关于x的方程eq\f(x＋m,x－2)－3＝eq\f(x－1,2－x)的解为非负数，则m的取值范围是__m≥－5且m≠－3__.三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16．(8分)计算：(1)(eq\f(5a,a＋1)－eq\f(2a,a－1))·eq\f(a2－1,a)；解：原式＝3a－7(2)(2024·大连)(eq\f(1,a＋3)＋eq\f(1,a2－9))÷eq\f(a－2,2a＋6).解：原式＝eq\f(2,a－3)17．(9分)解方程：(1)eq\f(1,x)＝eq\f(2,x＋3)；解：去分母，得x＋3＝2x，解得x＝3，检验：当x＝3时，x(x＋3)≠0，∴分式方程的解为x＝3(2)eq\f(x＋1,x－1)－eq\f(4,x2－1)＝1.解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1)，解得x＝1.检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，∴x＝1是增根，∴原方程无解18．(9分)小明解方程eq\f(1,x)－eq\f(x－2,x)＝1的过程如下：解：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝1.①去括号，得1－x－2＝1.②合并同类项，得－x－1＝1.③移项，得－x＝2.④解得x＝－2.⑤∴原方程的解为x＝－2.⑥请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．解：小明的解法有三处错误：步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前缺少“检验”步骤．正确解法如下：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x.去括号，得1－x＋2＝x.合并同类项、系数化为1，得x＝eq\f(3,2).经检验，x＝eq\f(3,2)是原分式方程的根．∴原方程的解为x＝eq\f(3,2)19．(9分)(2024·威海)先化简(a－eq\f(2a－1,a))÷eq\f(a2－1,a)，再从－3＜a＜3的范围内选择一个合适的数代入求值．解：原式＝eq\f(a2－2a＋1,a)÷eq\f(（a＋1）（a－1）,a)＝eq\f(（a－1）2,a)·eq\f(a,（a＋1）（a－1）)＝eq\f(a－1,a＋1)，要使分式有意义，则a≠0且a－1≠0且a＋1≠0，所以a不能为0，1，－1，又因为－3＜a＜3，所以a可以取2，当a＝2时，原式＝eq\f(2－1,2＋1)＝eq\f(1,3)20．(9分)(2024·宁夏)“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．(1)求两种型号玩具的单价各是多少元？依据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：eq\f(520,1.6x)＝eq\f(175,x)＋30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．乙：eq\f(520,x)＝1.6×eq\f(175,x－30)，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．则甲所列方程中的x表示__B型玩具的单价__，乙所列方程中的x表示__A型玩具的数量__．(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？解：(1)B型玩具的单价；A型玩具的数量(2)设可购进A型玩具a个，则B型玩具(200－a)个，依据题意得8a＋5(200－a)≤1350，a≤116eq\f(2,3)，∴整数a的最大值是116，答：最多可购进A型玩具116个21．(10分)(2024·济南)某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的实惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？解：(1)设A型编程机器人模型单价是x元，则B型编程机器人模型单价是(x－200)元．依据题意，得eq\f(2000,x)＝eq\f(1200,x－200)，解得x＝500，经检验，x＝500是原方程的根，∴x－200＝300，答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元(2)设购买A型编程机器人模型m台，则购买B型编程机器人模型(40－m)台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，由题意得40－m≤3m，解得m≥10，w＝500×0.8m＋300×0.8(40－m)，即w＝160m＋9600，∵160＞0，∴w随m的减小而减小．当m＝10时，w取得最小值11200，∴40－m＝30.答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元22．(10分)(2024·牡丹江)某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？(3)在(2)的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件嘉奖优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请干脆写出这10件家电中B种家电的件数．解：(1)设A种家电每件的进价为x元，则B种家电每件的进价为(x＋100)元，依据题意得eq\f(10000,x)＝eq\f(12000,x＋100)，解得x＝500，经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意，∴x＋100＝500＋100＝600.答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元(2)设购进A种家电a件，则购进B种家电(100－a)件，依据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(500a＋600（100－a）≤53500，,a≤67，))解得65≤a≤67，又∵a为正整数，∴a可以为65，66，67，∴该商场共有3种购买方案，方案1：购进A种家电65件，B种家电35件；方案2：购进A种家电66件，B种家电34件；方案3：购进A种家电67件，B种家电33件(3)设这10件家电中包含m件B种家电，则包含(10－m)件A种家电，当a＝65时，600×[65－(10－m)]＋750(35－m)－500×65－600×35＝5050，解得m＝eq\f(14,3)，∵m为正整数，∴m＝eq\f(14,3)不符合题意，舍去；当a＝66时，600×[66－(10－m)]＋750(34－m)－500×66－600×34＝5050，解得m＝eq\f(13,3)，∵m为正整数，∴m＝eq\f(13,3)不符合题意，舍去；当a＝67时，600×[67－(10－m)]＋750(33－m)－500×67－600×33＝5050，解得m＝4.答：这10件家电中包含4件B种家电23．(11分)视察下列等式：eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)，eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，….将以上两个等式两边分别相加得：eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).用你发觉的规律解答下列问题：(1)干脆写出下列各式的计算结果：①eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,2024×2025)＝__eq\f(2024,2025)__；②eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,n（n＋1）)＝__eq\f(n,n＋1)__；(2)仿照题中的计算形式，猜想并写出：eq\f(1,n（n＋3）)＝__eq\f(1,3)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋3))__；(3)解方程：eq\f(1,x（x＋3）)＋eq\f(1,