专题05 生活中的轴对称（考点压轴压轴必刷7题型37题）（解析版）-2023-2024学年7下数学期末考点大串讲（北师大版）

专题05生活中的轴对称（压轴必刷7题型37题）一．角平分线的性质（共6小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为4．【答案】4．【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形BEDF为正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案为4．2．如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于25．【答案】见试题解答内容【解答】解：延长AD交BC于E，如图所示：∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD（ASA），∴AD＝ED，∴△ABD的面积＝△EBD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积＝20，∴△ABD的面积＝△EBD的面积＝△BCD的面积﹣△CDE的面积＝45﹣20＝25．故答案为：25．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△DCF≌Rt△DEB，∴CF＝EB；（2）AF+BE＝AE．∵Rt△DCF≌Rt△DEB，∴DC＝DE，∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），∴AC＝AE，∴AF+FC＝AE，即AF+BE＝AE．4．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠EBC＝180°求证：2AE＝AB+AD．【答案】见试题解答内容【解答】证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC＝∠CEB＝90°，在△AFC和△AEC中，∴△AFC≌△AEC（AAS），∴AF＝AE，CF＝CE，∵∠ADC+∠EBC＝180°∴∠FDC＝∠EBC，在△FDC和△EBC中，∴△FDC≌△EBC（AAS）∴DF＝EB，∴AB+AD＝AE+EB+AD＝AE+DF+AD＝AF+AE＝2AE∴2AE＝AB+AD5．观察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，DE＝DC，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE＝DC，则AB＝BE+AE＝CD+AC；（2）AB＝CD+AC，理由为：在AB上截取AG＝AC，如图2所示，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B，又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BE＝DG＝DC，则AB＝BG+AG＝CD+AC；（3）AB＝CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG＝AC，如图3所示，∵AD为∠FAC的平分线，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ACD中，，∴△ADG≌△ACD（SAS），∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FGD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FGD＝2∠B，又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，则AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．6．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB．（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：过M作ME⊥AD于E，∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，∴MC＝ME，∵M为BC的中点，∴BM＝MC＝ME，∵∠B＝90°，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB；（2）AM⊥DM，证明：∵AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，∴∠MAD＝∠BAD，∠MDA＝∠ADC，∴∠MAD+∠MDA＝90°，∴∠AMD＝90°，∴AM⊥DM．二．线段垂直平分线的性质（共2小题）7．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE＝CE，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD＝OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∴∠AOE＝∠BOE＝30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF，∴OE＝4EF．8．如图甲，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝40°．（1）求∠NMB的大小．（2）如图乙，如果将（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．（3）根据（1）（2）的计算，你能发现其中的蕴涵的规律吗？请写出你的猜想并证明．（4）如图丙，将（1）中的∠A改为钝角，其余条件不变，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？请你把∠A代入一个钝角度数验证你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB＝＝70°，∵MN是AB的垂直平分线，∴∠NMB＝90°﹣∠B＝20°；（2）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝70°，∴∠B＝∠ACB＝＝55°，∵MN是AB的垂直平分线，∴∠NMB＝90°﹣∠B＝35°；（3）猜想：∠NMB＝∠A．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝＝90°﹣∠A，∵MN是AB的垂直平分线，∴∠NMB＝90°﹣∠B＝∠A；（4）不需要修改．若∠A＝100°，∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝＝40°，∵MN是AB的垂直平分线，∴∠NMB＝90°﹣∠B＝50°＝∠A．三．等腰三角形的性质（共10小题）9．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E．得到第3个△A2A3E…按此做法继续下去，则第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝70°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°；同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°，∴第n+1个三角形中以An+1为顶点的底角度数是（）n×70°．故选：A．10．如图，△ABC中，AB＝AC，点E在AB的延长线上，点D在边AC上，且EB＝CD＝4，线段DE交边BC于点F，过点F作FG⊥DE交线段CE于点G，CE⊥AC，△GEF的面积为5，则EG的长5．【答案】5．【解答】解：过D作DH∥AB交BC于H，则∠DHC＝∠ABC，∠EBF＝∠DHF，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DHC＝∠ACB，∴DH＝CD，∵BE＝CD，∴DH＝BE，在△BEF与△HDF中，∴△BEF≌△HDF，（AAS），∴EF＝DF，延长GC到M，使EG＝GM，连接DM，DG，∵S△EFG＝5，EF＝DF，EG＝MG，∴S△DFG＝S△EFG＝5，S△DGM＝S△DGE＝5+5＝10，∴S△DEM＝10+10＝20，∵DC＝4，AC⊥CE，∴S△DEM＝，∴20＝，解得：EM＝10，∴EG＝MG＝10＝5，故答案为：5．11．如图，已知△ABC中，AC＝BC，且点D在△ABC外，且点D在AC的垂直平分线上，连接BD，若∠DBC＝30°，∠ACD＝13°，则∠A＝73度．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过C作CM⊥BD，交BD的延长线于M，过D作DN⊥AC于N，∵点D在AC的垂直平分线上，∴DN是AC的垂直平分线，∴NC＝AC，∵AC＝BC，∴NC＝BC，在Rt△BMC中，∠DBC＝30°，∴CM＝BC，∴CM＝CN，在Rt△DNC和Rt△DMC中，∵，∴Rt△DNC和Rt△DMC（HL），∴∠DCM＝∠DCN＝13°，∵∠DBC＝30°，∴∠MCB＝60°，∴∠ACB＝60°﹣26°＝34°，又∵AC＝BC，∴∠A＝（180°﹣34°）＝73°，故答案为：73．12．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，在△DEA和△DFC中，∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；（3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK＝∠ABC＝20°，∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的结论得AD＝DK，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∴AD＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．13．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∵∠BAD＝70°，∴∠DAE＝50°，∴∠ADE＝∠AED＝65°，∴∠CDE＝180°﹣50°﹣30°﹣65°＝35°；（2）∵∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，∴∠E＝70°﹣15°＝55°，∴∠ADE＝∠AED＝55°，∴∠ADC＝40°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝70°，∴∠BAD＝30°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α∴，（1）﹣（2）得，2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α∴，∴2α＝β，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α∴，（2）﹣（1）得，2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．14．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝30°；（2）设∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x，∴∠BAD＝2∠CDE；（3）设∠CDE＝x，∠C＝y，∵AB＝AC，∠C＝y，∴∠B＝∠C＝y，∵∠CDE＝x，∴∠AED＝y+x，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝y+x，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴y+∠BAD＝y+x+x，∴∠BAD＝2∠CDE．15．（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上且CE＝CA，试求∠DAE的度数；（2）如果把第（1）题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；（3）如果把第（1）题中“∠BAC＝90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45度；（2）不改变．设∠CAE＝x，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝x，∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2x，在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ACB＝90°﹣2x，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝x+45°，在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E，＝180°﹣（90°﹣2x）﹣x＝90°+x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45°；（3）∠DAE＝∠BAC．理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x，∴∠DAE＝∠BAC．16．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．（1）AD与CE相等吗？为什么；（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数；（3）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，则α，β之间满足一定的数量关系，请直接写出这个结论．【答案】（1）AD＝CE，理由见解析；（2）30°；（3）2α﹣β＝180°．【解答】解：（1）AD＝CE，理由：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），∴AD＝CE；（2）∵BD＝BC，∠BCD＝75°∴∠BCD＝∠BDC＝75°，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∴∠ABC＝60°，由（1）知△ABD≌△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝30°；（3）∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∵BD为△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD，由（1）知△ABD≌△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝β，∵∠BCE＝∠BCD+∠ACE＝α，∴∠BCD＝∠BDC＝α﹣β，∵∠DBC+∠BDC+∠BCD＝180°，∴β+（α﹣β）+（α﹣β）＝180°，∴2α﹣β＝180°．17．如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝16cm，点D是AB的中点．有一点E在BC上从点B向点C运动，速度为2cm/s，同时有一点F在AC上从点C向点A运动，其中一点停止运动另一点也随之停止运动．问当点F的运动速度是多少时，△DBE和△EFC全等？【答案】见试题解答内容【解答】解：设点F运动的时间为ts，点F运动的速度为xcm/s，则BE＝2t，EC＝16﹣2t，CF＝tx，∵点D为AB的中点，∴BD＝AB＝9，∵∠B＝∠C，∴当CE＝BD，CF＝BE时，可根据“SAS”判断△DBE≌△ECF，即16﹣2t＝9，tx＝2t，解得t＝3.5，x＝2；当CE＝BE，CF＝BD时，可根据“SAS”判断△DBE≌△EFC，即16﹣2t＝2t，tx＝9，解得t＝4，x＝2.25，综上所述，当点F的运动速度是2厘米/秒或2.25厘米/秒时，△DBE和△EFC全等．18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝25°，∠DEC＝115°；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，∠AED＝∠EDC+∠C＝40°+25°＝65°，∠DEC＝180°﹣∠AED＝115°．（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE．理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，又∵AB＝DC＝2，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）．故答案为：25，115．四．等边三角形的性质（共8小题）19．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展而来边数记为a3＝12，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4＝20，第（3）个多边形由五边形“扩展”而来，边数记为a5＝30…依此类推，由正n边形“扩展而来的多边形的边数记为an（n≥3），则结果是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵根据图形可知：a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝5×6，…，a12＝12×13，∴＝++++…+＝﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝，故选：D．20．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为128【答案】见试题解答内容【解答】解：设等边三角形的边长一次为a1，a2，a3，…，∵△A1B1B2是等边三角形，∴B1A1＝B2A1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OB1＝B1A1＝1，∴B2A1＝1，∵△B2A2B3、△B3A3B4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴B1A1∥A2B2∥A3B3，A1B2∥A2B3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴a2＝2a1，a3＝4a1＝4，a4＝8a1＝8，a5＝16a1，以此类推：a8＝27＝128，即△A8B8B9的边长为128，故答案为：128．21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以直角三角形的三条边为边，在直线AB同侧分别作正三角形，已知S甲＝8，S乙＝6，S丙＝3，则△ABC的面积是11．【答案】11．【解答】解：由图可知，S△ABC＝SABD﹣S丙﹣（S△ACE﹣S甲）﹣（S△BCF﹣S乙），设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2+b2＝c2．∵△ACE，△ABD，△BCF是等边三角形，则S△ACE＝b2，S△ABD＝c2，S△BCF＝a2，∴S△ABC＝c2﹣3﹣（b2﹣8）﹣（a2﹣6）＝11．故答案为：11．22．已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）AD＝CE，证明：如图1，过点D作DP∥BC，交AB于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，又∠BPD＝∠A+∠ADP＝120°，∠DCE＝∠A+∠ABC＝120°，即∠BPD＝∠DCE，在△BPD和△DCE中，∠PDB＝∠DEC，∠BPD＝∠DCE，DB＝DE，∴△BPD≌△DCE，∴PD＝CE，∴AD＝CE；（2）如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDA＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，，∴△BPD≌△DCE，∴PD＝CE，∴AD＝CE．23．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）当动点P、Q同时运动2s时，则BP＝1cm，BQ＝2cm．（2）当动点P、Q同时运动t（s）时，分别用含有t的式子表示；BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm．（3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）BQ＝1×2＝2（cm），BP＝3﹣2＝1（cm），故答案为1，2；（2）BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm，故答案为（3﹣t），t；（3）根据题意，得AP＝tcm，BQ＝tcm．在△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，∴BP＝（3﹣t）cm．在△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm．，BQ＝tcm，若△PBQ是直角三角形，则只有∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°①当∠BQP＝90°时，BQ＝BP，即t＝（3﹣t），解得t＝1；②当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ，即3﹣t＝t．解得t＝2．答：当t＝1s或t＝2s时，△PBQ是直角三角形．24．如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由．（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）MN＝BM+NC．理由如下：延长AC至E，使得CE＝BM，连接DE，如图所示：∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°，又∵BD＝DC，且∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°，∴∠MBD＝∠ECD＝90°，在△MBD与△ECD中，，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE，又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，∴∠CDE+∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°，∴∠MDN＝∠NDE＝60°，在△DMN与△DEN中，，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN＝EN，又∵NE＝NC+CE，BM＝CE，∴MN＝BM+NC；（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，利用（1）中的结论得出：BM＝CE，MN＝EN，△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+NE+AN＝AM+AN+NC+CE＝AM+AN+NC+BM＝（AM+BM）+（NC+AN）＝AB+AC＝2+2＝4．25．如图，以△ABC的边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD相交于点F．求证：（1）△DAC≌△BAE；（2）BE＝DC；（3）求∠DFE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：∵△ABD和△ACE都为等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝∠AEC＝∠ACE＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS）；（2）∵△DAC≌△BAE，∴BE＝DC；（3）∵△DAC≌△BAE，∴∠ACD＝∠AEB，则∠DFE＝∠FEC+∠FCE＝∠FEC+∠ACD+∠ACE＝∠FEC+∠AEB+∠ACE＝∠AEC+∠ACE＝120°．26．如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∠ECF不变为60°．（1分）理由如下：∵△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，∴BC＝AC＝CD，∠B＝∠DAC＝60°，又∵E、F两点运动时间、速度相等，∴BE＝AF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠ECB＝∠FCA．（4分）所以∠ECF＝∠FCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝∠BCA＝60°；（6分）（2）不变化．理由如下：∵四边形AECF的面积＝△AFC的面积+△AEC的面积，△BCE≌△ACF，∴△AEC的面积+△BEC的面积＝△ABC的面积；（8分）（3）证明：由（1）知CE＝CF，∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形，∵∠FCD+∠DFC＝120°，∠AFE+∠DFC＝120°，∴∠ECF﹣∠ACF＝∠ACD﹣∠ACF，即∠AFE＝∠FCD，所以∠ACE＝∠FCD＝∠AFE．（10分）五．轴对称的性质（共4小题）27．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，故选：C．28．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（）A．16 B．19 C．20 D．21【答案】B【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝60°，∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝60°，∵MA′＝MB′，∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，∴CD的最大值为19，故选：B．29．如图，∠BAC＝90°，点B是射线AM上的一个动点．点C是射线AN上一个动点，且线段BC的长度不变，点D是点A关于直线BC的对称点，连接AD，若2AD＝BC，则∠ABD的度数是30°或150°．【答案】见试题解答内容【解答】解：分两种情况：如图，当AB＞AC时，取BC的中点E，连接AE，DE，则AE＝DE＝BC，即BC＝2AE＝2DE，又∵BC＝2AD，∴AD＝AE＝DE，∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，又∵BC垂直平分AD，∴∠AEC＝30°，又∵BE＝AE，∴∠ABC＝∠AEC＝15°，∴∠ABD＝2∠ABC＝30°；如图，当AB＜AC时，同理可得∠ACD＝30°，又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABD＝150°，故答案为：30°或150°．30．综合与实践问题情境：在数学实践课上，给出两个大小、形状完全相同的含有的直角三角板如图1放置，PA，PB在直线MN上，且三角板PAC和三角板PBD均可以点P为顶点运动．操作探究：（1）如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；（2）如图3，在图1基础上，若三角板PAC开始绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，同时三角板PBD绕点P以每秒1°的速度逆时针旋转，当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当PC，PB，PD三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；拓广探究：（3）如图4，作三角板PBD关于直线PD的对称图形PB1D．三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，当AC∥B1P时，请直接写出旋转角的度数．【答案】（1）30°．（2）15s或s．（3）30°．【解答】解：（1）∵PE平分∠CPD，∴设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y．则∠APF＝60°+y，∠DPF＝2x﹣y，∵PF平分∠APD，∴2x﹣y＝60°+y，∴x﹣y＝30°，∴∠EPF＝x﹣y＝30°．（2）设旋转的时间为t秒，则0≤t≤36，当PD平分∠BPC时，∠CPD＝∠BPD＝30°，∵∠BPM＝t°，∠APN＝5t°，∴30﹣t+30+60+5t＝180，∴t＝15，当PC平分∠BPD时，∠BPC＝15°，∴5t+60+15﹣180＝t，∴t＝，当PB平分∠CPD时，PA与PD重合，∴5t﹣t＝120+30，∴t＝＞36，不合题意，舍去．∴旋转的时间15s或s．（3）由已知得∠BPB1＝60°，∴当AC∥B1P时，∠APN＝30°，∴旋转角的度数为30°．六．轴对称-最短路线问题（共5小题）31．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解答】解：连接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴MA＝MC，∵AD≤AM+MD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝10+2＝12．故选：D．32．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是30°．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BCF＝∠BAD＝30°，如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，∴△DCG是等边三角形，∴DG＝DC＝DB，∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，故答案为：30°．33．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8，M、N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为8，则∠AOB＝30°．【答案】30°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM