专题1-2 相交线与平行线（考题猜想应用思想方法解相交线与平行线问题的九种技巧题型）原卷版-2023-2024学年7下数学期末考点大串讲（人教版）

专题1-2应用思想方法解相交线与平行线问题的九种技巧题型平行线与相交线这一章是初一下学期的重点内容，在这一章中涉及不少数学思想方法，比如方程思想、整体思想、分类讨论思想等等。这些思想方法不仅在小题中能用到，在解答题中也很常见，特别是在压轴题中，可能会将多种方法结合起来一起使用。题型技巧1：基本图形（添加辅助线）法【方法点拨】当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的第三条直线

，如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。【例题1】．（2022春•林州市期末）如图，，，则、和的关系是A． B． C． D．【变式1】．（2023春•长葛市期末）如图，，于，交于点，交于点．若，．【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，，，，若，则的度数为．

【变式3】（22-23八年级上·浙江·开学考试）如图，直线MN分别与直线AB和CD交于点E，F，且满足∠1+∠2＝180°．(1)试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由．(2)作∠AEF的平分线EG交CD于点G，过点G作GH⊥EG交MN于点H．若∠DGH＝40°，求∠1的度数．题型技巧2：分离图形法【方法点拨】在复杂图形中辨认“三线八角”比较困难,可先将图形进行分离,即将图形中与所需角、线无关的线遮挡起来,然后根据“三线八角”的基本图形进行辨认和确定【例题2】（22-23七年级下·山东聊城·期中）如图，三角形的边在直线上，直线平行于分别交，于点，则图中共有内错角的对数为．【变式1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图所示的八个角中，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对．【变式2】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，图中内错角有对．【变式3】（2023九年级·全国·专题练习）如图，请结合图形找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．题型技巧3：平移法【方法点拨】在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动-定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。【例题3】（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，若小路的宽为2m，则绿化面积为？【变式1】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）张三打算在院落里种上蔬菜，已知院落为东西长，南北宽的长方形为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路，余下的部分要种上蔬菜，若每条道路的宽均为，蔬菜的总种植面积是．

【变式2】（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）星期天早晨，小刚和爸爸正在商量往楼梯上铺地毯的事，如图所示，爸爸：“小刚，你帮我算一下，从一层铺到二层需要地毯几米？”爸爸：（打断小刚的话）“不量每阶的高度和宽度，你想想有没有办法？”小刚：（思索）“有了，只需要量出楼梯的总高和总长度再相加，就行了．”你认为小刚的方法可以吗？说明理由．【变式3】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）为实现“绿色江夏·和谐江夏”，江夏区政府准备开发城北一块长为，宽为的长方形空地．(1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为；(2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路，则这块草地的面积为；(3)方案三：修建一个长是宽的倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由．题型技巧4：方程思想【方法点拨】方程思想主要应用在有关角的度数的计算中，当已知角之间的关系比较复杂或不容易表达时，利用方程思想可以使解题过程变得比较简洁、清楚．【例题4】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）以直线上点O为端点作射线，使，将直角的直角顶点放在点O处．(1)如图1，若直角三角形的边放在射线上，则_______．(2)如图2，将直角三角形绕点O按逆时针方向转动，使得平分，说明所在射线是的平分线；(3)将直角三角形绕点O按逆时针方向转动，使得．求的度数．【变式1】（21-22七年级上·福建泉州·期末）如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转．(1)当时，求的度数；(2)若．①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值；②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值．【变式2】（20-21七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）一个角的余角比这个角的补角的一半小，则这个角的度数为度（2）如图，从点引出6条射线，且，、分别是的平分线．则的度数为度（3）钟面上的时间是3点整，然后，时针与分针继续正常行走，当分针与时针的夹角成时，针指向3点到4点之间，求此时刻是几点几分．【变式3】（20-21七年级上·陕西西安·期末）如图，从点O引出6条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且∠AOB＝120°，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，∠EOF＝135°．（1）若∠BOF＝m，则∠AOE（用含m的代数式表示）；（2）求∠COD的度数．题型技巧5：转化思想【方法点拨】当一个角的度数不能直接求出时，常常转化为求它的补角、余角或与它相等的角，进而求出这个角的度数．【例题5】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点在直线上，，．(1)求证：；(2)的角平分线交于点，过点作交的延长线于点．若，求的度数．【变式1】．（2024春•成县月考）如图，，点是上一点，，平分交于点，求的度数．【变式2】（2024春•西华县月考）如图，已知与交于点，，．（1）求证：．（2）若，，求的度数．【变式3】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知．(1)与平行吗？请说明理由．(2)若平分，于点A，，求的度数．题型技巧6：数形结合思想【方法点拨】数形结合即是通过将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来解题，促使抽象思维与形象思维的和谐复合，通过对几何图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。【例题6】（22-23七年级下·山东聊城·期中）如图，，平分，平分，点E在的延长线上，连接，．下列结论不正确的是（）A． B． C． D．【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）阅读下列推理过程，在括号中填写依据．已知：如图，点D、E分别在线段上，，，交于点F，平分，求证：平分．

证明：平分（已知）．∴（________）．∵（已知），∴（________）．∴（等量代换）．∵（________），∴（________）．且（________）．∴（等量代换）．∴平分（________）．【变式2】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，已知直线、被直线所截，平分，求的度数．将该题解题过程补充完整：解：（

）____________平分（已知）____________（已知）（

）（

）______【变式3】（22-23七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知两点分别是上的两动点，分别平分和，射线的反向延长线与射线相交于点．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，作的角平分线交射线于点，求的度数；(3)如图3，为线段和上的两定点，若将沿翻折，点对应点在的内部，且满足，，请求出与的关系．题型技巧7：分类讨论思想【方法点拨】在本章中，过一点作已知直线的垂线与过一点作已知直线的平行线等问题中，当点的位置不确定时，需要对点的位置进行分类讨论．在有关角的计算问题中，还常对某条射线在角的内部或外部进行分类讨论．【例题7】．（2024春•沭阳县月考）探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点．与有怎样的数量关系？（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．图1中与数量关系为；图2中与数量关系为；请选择其中一种情况说明理由．（2）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，求出这两个角的度数．【变式1】．（2022春•茂南区期中）已知，画一个角，使，，且交于点．探究与的数量关系．（1）我们发现与存在某种数量关系，如图1所示，那么图1中与有什么数量关系？请说明理由．（2）你认为与还有其他数量关系吗？若有，请写出这个数量关系并在图2中画出一个满足这个数量关系的．若没有，请说明理由．（3）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，请求出这两个角的度数．【变式2】．（2024春•桐乡市校级月考）如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，．（1）求的度数．（2）如图2，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒．当时，试探究与的位置关系，并说明理由．（3）在（2）中，射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值．【变式3】．（2023春•义乌市月考）如图1，点在直线上，，将一个含有角的直角三角尺的直角顶点放在点处，较长的直角边在射线上，较短的直角边在直线的下方．【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒．（1）图1中与互补的角有．（2）当，求旋转的时间．【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点处，另一端点在射线上．如图3，在三角尺绕着点以每秒度的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点以每秒度的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转．试探索：在三角尺与直尺旋转的整个过程中，是否存在某个时刻，使得与这两个角中，其中一个角是另一个角的一半？若存在，请直接写出所有满足题意时的度数；若不存在，请说明理由．你的答案是：．题型技巧8：建模思想模型一、“铅笔”模型1.从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图：那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。模型结论：∠B+∠E+∠D=360°2.模型证明如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°证明一：如图，过点E作FG//AB∵

AB//FG，AB//CD∴

FG//CD∵

AB//FG∴∠BEF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵FG//CD∴

∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴

∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360°∴∠B+∠D+∠BED=360°证明二：如图，连接BD，∵AB//CD∴∠ABD+∠BDC=180°在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°∴

∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°∴

∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°∴∠ABE+∠E+∠CDE=360°证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。3.猪蹄模型和铅笔头模型关系（1）将猪蹄模型转化为铅笔头模型ABEDC为猪蹄模型，FBEDG为铅笔头模型由猪蹄模型可得，∠ABE+∠CDE=∠BED∵∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°∴

∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴

180°-∠FBE+180°-∠GDE=∠BED∴

∠FBE+∠GDE+∠BED=360°（2）将铅笔头模型转化为猪蹄模型ABEDC为铅笔头模型，FBEDG为猪蹄模型由铅笔头模型得，∠ABE+∠BED+∠CDE=360°∵

∠ABE+∠FBE=180°，∠CDE+∠GDE=180°∴

∠ABE=180°-∠FBE，∠CDE=180°-∠GDE∴

180°-∠FBE+∠BED+180°-∠GDE=360°∴

∠FBE+∠GDE=∠BED【例题8】（2023春•炎陵县期末）如图所示，，，，试求的度数．【变式1】．（2023春•禅城区期中）如图，已知直线，与、分别交于点、，动点在直线上且不与点、重合．点在上，且位于点的左侧，点在上，已知，，．（1）当点在点的左侧时，①点在图1的位置时，若，，求的度数．②点在图2的位置时，试说明，，之间的关系．（2）当在右侧，且时，请直接写出，，之间可能的关系．【变式2】．（2023春•武汉期末）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．（1）如图1，当时，求的度数；（2）如图2，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；（3）如图3，在（2）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．【变式3】．（2023春•巴南区月考）已知直线，点、分别在直线、上，点在直线和之间．（1）如图1，求证：；（2）如图2，，点在直线上，且，求证：；（3）如图3，平分，平分，且．若，直接写出的度数．模型二：猪蹄模型基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系．思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠E=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠E=∠B+∠D．思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E．小结证明的方法还有很多，同学们可以多多尝试。重点在于构造平行线的三线八角，就可以得到经典结论：猪蹄模型顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和。猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）结论：∠B+∠D=∠E步骤总结步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角步骤三：推导出角的数量关系【例题9】．（2023春•确山县期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．（1）如图①，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由．（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点，，，平分交直线于点，则．【变式1】．（2023春•云阳县期末）如图，已知直线，点在和之间，连接，，若，，则．【变式2】．（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．【问题探究】：（1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由；【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线，若，，，求的度数；【灵活应用】：（3）如图3，直线，若，，则度．【变式3】．（2022秋•射洪市期末）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．（1）如图1，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由．（2）【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，已知，，点在上，，请你说明；（把下面的解答补充完整）解：因为所以因为又因为所以即所以由（1）知（3）【拓展延伸】如图3，平分，平分，．若，请直接写出的度数为．三、锯齿模型已知图示结论（性质）证明方法AB∥DE∠B+∠E=∠C遇拐点做平行线（方法不唯一）AB∥DE∠B+∠M+∠E=∠C+∠Na∥b所有朝左角之和等于所有朝右角的和【例题10】．（2023春•天宁区校级期中）如图，，是直线、间的一条折线．若，，，则的度数为A． B． C． D．【变式1】．（2023春•定州市期中）如图，，，则、、的关系为A． B． C． D．【变式2】．（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次