福建省福州市闽江口协作体（七校）2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

2023~2024学年第二学期闽江口协作体（七校）期中联考高一数学全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章，第七章、第八章8.1-8.4。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（）A. B.2 C.1或2 D.2或3.用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知是斜边的中点，轴，且，则的面积为（）A. B. C. D.4.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的最大内角为（）A. B. C. D.5.下列命题中正确的是（）A.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体B.三棱锥的三个侧面不可能都是直角三角形C.若，，，四点共面，，，，四点共面，则，，，，五点共面D.异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线6.若，为非零向量，则“”是“，共线”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知中，角，，对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是（）A. B. C. D.8.已知平面向量，，满足，，，若，，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，为的共轭复数，则下列各选项正确的是（）A.是虚数 B.的虚部为C. D.10.下列结论正确的是（）A.在正方体中，直线与是异面直线B.不共线的三点可以确定3条直线C.圆锥的侧面展开图是个半圆，则圆锥的母线是底面半径的3倍D.圆柱的侧面展开图是正方形，且侧面积为，则圆柱的体积为11.已知为所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（）A.若且，则B.C.与的面积之比为D.与的面积之比为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量与的夹角为，，，则______.13.设复数，为虚数单位，且，若，则______.14.在中，三个内角、、所对的边分别为、、，，，则的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等.（1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱的体积.16.（本小题满分15分）已知平面向量，，，且.（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，且，求的值.17.（本小题满分15分）在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角；（2）若，且，求的面积.18.（本小题满分17分）如图，在菱形中，，是的中点，且.（1）求；（2）以为圆心，2为半径作圆弧，点是弧上的一点，求的最小值.19.（本小题满分17分）在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角；（2）若为锐角三角形，，是线段的中点，求的长的取值范围.

2023~2024学年第二学期闽江口协作体（七校）期中联考・高一数学参考答案、提示及评分细则1.A.故选A.2.C由余弦定理得，化简得，解出或2.故选C.3.B因为为等腰直角三角形且，所以，，由斜二测画法可知，，且为直角三角形，所以的面积为.故选B.4.C因为，所以角最大.由余弦定理，得，即，所以，又，所以.故选C.5.D侧面都是矩形的直四棱柱的底面可以不是矩形，不一定是长方体，故A错误；三棱锥，平面，，则此三棱锥三个侧面，，都是直角三角形，故B错误；若，，三点共线，直线与直线异面，此时，，，，不共面，故C错误；异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线，故D正确.故选D.6.A若，则，共线，所以充分性成立；，共线可能同向共线、也可能反向共线，所以，共线得不出，所以必要性不成立.故选A.7.C因为，所以，由正弦定理得，可得，即，所以，，则，，，（当且仅当时符号成立），.故选C.8.B因为，，，且，，所以，所以，令，，所以，其中，，所以，即的取值范围是.故选B.9.AD因为，所以，A选项中，由于虚部不为0，所以是虚数，A正确；B选项中，的虚部为1，B错误；C选项中，当复数的虚部不为零时，不能比大小，C错误；D选项中，，，，D正确.故选AD.10.ABD正方体中，平面，平面，，由异面直线判定定理得与是异面直线，故A正确；不共线的三个点中任意两个点都可确定一条直线，共可以确定3条直线，故B正确；设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由题意得，则，故C错误；由题意可知圆柱的高，底面半径，则圆柱体积为，故D正确.故选ABD.11.ABD若且，则，所以，故A正确；因为，所以，故B正确；因为，所以，故C错误；因为，所以，，所以，故D正确.故选ABD.12.因为，所以.13.由于，则，即，由于，则，因此，.14.因为，，由余弦定理得，所以，当且仅当时等号成立.，又，，又因为，所以，即的取值范围为.15.解：（1）设底面圆的直径为，由题可知，圆柱的体积，解得，因此圆柱的侧面积为；（2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1，因此边长，所以三棱柱的体积.16.（1）解：设，，，又，，或，或；（2）解：，，则，，，.17.解：（1）因为，由正弦定理得，又，所以，又，所以；（2）由，则，故，所以，所以，又，整理得，则，解得，所以的面积为.18.解：（1）因为，，所以，所以，所以，又，所以.为等边三角形，又是中点，，是直角三角形，，，，；（2）以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角