2018上海市青浦区高考数学一模的试卷

...wd......wd......wd...2018年上海市青浦区高考数学一模试卷一.填空题〔本大题总分值54分〕本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否那么一律得零分.1．〔4分〕设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，那么P∩CUM．2．〔4分〕复数〔i为虚数单位〕，那么=．3．〔4分〕不等式2＞〔〕3〔x﹣1〕的解集为．4．〔4分〕函数f〔x〕=sinxcosx+cos2x的最大值为．5．〔4分〕在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是．6．〔4分〕将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，那么此圆锥的体积为．7．〔5分〕设等差数列{an}的公差d不为0，a1=9d．假设ak是a1与a2k的等比中项，那么k=．8．〔5分〕〔1+2x〕6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，那么=．9．〔5分〕同时掷两枚质地均匀的骰子，那么两个点数之积不小于4的概率为．10．〔5分〕函数f〔x〕=有三个不同的零点，那么实数a的取值范围是．11．〔5分〕Sn为数列{an}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=〔an﹣1+an+1〕+〔1﹣an〕，n≥2，n∈N*，假设A，B，C在同一直线上，那么S2018=．12．〔5分〕函数f〔x〕=m〔x﹣m〕〔x+m+2〕和g〔x〕=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f〔x〕＜0或g〔x〕＜0；②总存在x0∈〔﹣∞，﹣2〕，使f〔x0〕g〔x0〕＜0成立．那么m的取值范围是．二.选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.13．〔5分〕“a＞b〞是“〔〕2＞ab〞成立的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件14．〔5分〕函数f〔x〕=2sin〔x+〕，假设对任意实数x，都有f〔x1〕≤f〔x〕≤f〔x2〕，那么|x2﹣x1|的最小值是〔〕A．π B．2π C．2 D．415．〔5分〕和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，那么〔〕A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大16．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为〔3，﹣1〕，M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，那么四边形AMQN能构成矩形的个数为〔〕A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个三．解答题〔本大题总分值76分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．〔14分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．〔1〕求三棱锥P﹣ABC的体积；〔2〕求异面直线EC和AD所成的角〔结果用反三角函数值表示〕．18．〔14分〕抛物线C：y2=2px过点P〔1，1〕．过点〔0，〕作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．〔1〕求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；〔2〕求证：A为线段BM的中点．19．〔14分〕如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．〔1〕保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；〔2〕保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，假设甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米〔含3千米〕，试问有多长时间两人不能通话20．〔16分〕设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．〔1〕A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；〔2〕设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为an，如果A={a1，a2，…，an}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为Sn，求Sn的值；〔3〕在〔2〕的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn﹣λSk＞0恒成立，求实数λ的最大值．21．〔18分〕对于定义在[0，+∞〕上的函数f〔x〕，假设函数y=f〔x〕﹣〔ax+b〕满足：①在区间[0，+∞〕上单调递减，②存在常数p，使其值域为〔0，p]，那么称函数g〔x〕=ax+b是函数f〔x〕的“逼进函数〞．〔1〕判断函数g〔x〕=2x+5是不是函数f〔x〕=，x∈[0，+∞〕的“逼进函数〞；〔2〕求证：函数g〔x〕=x不是函数f〔x〕=〔〕x，x∈[0，+∞〕的“逼进函数〞〔3〕假设g〔x〕=ax是函数f〔x〕=x+，x∈[0，+∞〕的“逼进函数〞，求a的值．2018年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题〔本大题总分值54分〕本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否那么一律得零分.1．〔4分〕设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，那么P∩CUM{﹣2，﹣1，0}．【解答】解：CUM={﹣2，﹣1，0}，故P∩CUM={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．〔4分〕复数〔i为虚数单位〕，那么=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．〔4分〕不等式2＞〔〕3〔x﹣1〕的解集为〔﹣∞，﹣2〕∪〔3，+∞〕．【解答】解：不等式2＞〔〕3〔x﹣1〕化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为〔﹣∞，﹣2〕∪〔3，+∞〕．故答案为：〔﹣∞，﹣2〕∪〔3，+∞〕．4．〔4分〕函数f〔x〕=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f〔x〕=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin〔2x+〕+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．〔4分〕在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ〔λ≠0〕，∵双曲线椭圆x2+=1右顶点〔1，0〕，∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．〔4分〕将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，那么此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，那么2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．〔5分〕设等差数列{an}的公差d不为0，a1=9d．假设ak是a1与a2k的等比中项，那么k=4．【解答】解：因为ak是a1与a2k的等比中项，那么ak2=a1a2k，[9d+〔k﹣1〕d]2=9d•[9d+〔2k﹣1〕d]，又d≠0，那么k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2〔舍去〕．故答案为：4．8．〔5分〕〔1+2x〕6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，那么=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．〔5分〕同时掷两枚质地均匀的骰子，那么两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本领件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本领件〔a，b〕有：〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，1〕，〔1，3〕，〔3，1〕，共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．〔5分〕函数f〔x〕=有三个不同的零点，那么实数a的取值范围是[1，+∞〕．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半局部为单调递增对数函数的局部，函数图象的右半局部为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的局部向下平移到与x轴相交，由对数函数过点〔1，0〕，故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞〕．11．〔5分〕Sn为数列{an}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=〔an﹣1+an+1〕+〔1﹣an〕，n≥2，n∈N*，假设A，B，C在同一直线上，那么S2018=2．【解答】解：假设A，B，C三点共线，那么=x+〔1﹣x〕，∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=〔an﹣1+an+1〕+〔1﹣an〕，n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，〞得出an﹣1+an+1+1﹣an=1，∴an﹣1+an+1=an，∵Sn为数列{an}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{an}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{an}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×〔1+1+0﹣1﹣1+0〕+1+1=2．故答案为：2．12．〔5分〕函数f〔x〕=m〔x﹣m〕〔x+m+2〕和g〔x〕=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f〔x〕＜0或g〔x〕＜0；②总存在x0∈〔﹣∞，﹣2〕，使f〔x0〕g〔x0〕＜0成立．那么m的取值范围是〔﹣3，﹣2〕．【解答】解：对于①∵g〔x〕=3x﹣3，当x＜1时，g〔x〕＜0，又∵①∀x∈R，f〔x〕＜0或g〔x〕＜0∴f〔x〕=m〔x﹣m〕〔x+m+2〕＜0在x≥1时恒成立那么由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在〔1，0〕的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈〔﹣∞，﹣2〕，f〔x〕g〔x〕＜0∴此时g〔x〕=3x﹣3＜0恒成立∴f〔x〕=m〔x﹣m〕〔x+m+2〕＞0在x∈〔﹣∞，﹣2〕有成立的可能，那么只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，〔i〕当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，〔ii〕当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，〔iii〕当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：〔﹣3，﹣2〕．二.选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.13．〔5分〕“a＞b〞是“〔〕2＞ab〞成立的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解答】解：由〔〕2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，那么a2﹣2ab+b2＞0，即〔a﹣b〕2＞0，那么a≠b，那么“a＞b〞是“〔〕2＞ab〞成立的充分不必要条件，应选：A．14．〔5分〕函数f〔x〕=2sin〔x+〕，假设对任意实数x，都有f〔x1〕≤f〔x〕≤f〔x2〕，那么|x2﹣x1|的最小值是〔〕A．π B．2π C．2 D．4【解答】解：对于函数f〔x〕=2sin〔x+〕，假设对任意实数x，都有f〔x1〕≤f〔x〕≤f〔x2〕，那么|x2﹣x1|的最小值为函数f〔x〕的半个周期，即===2，应选：C．15．〔5分〕和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，那么〔〕A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建设坐标系，那么=〔1，0〕，=〔0，1〕，设=〔xn，yn〕，∵，，n∈N*，∴xn=n，yn=2n+1，n∈N*，∴=〔n，2n+1〕，n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．应选：B．16．〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为〔3，﹣1〕，M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，那么四边形AMQN能构成矩形的个数为〔〕A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如以以下图，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，那么四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．应选：D．三．解答题〔本大题总分值76分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．〔14分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．〔1〕求三棱锥P﹣ABC的体积；〔2〕求异面直线EC和AD所成的角〔结果用反三角函数值表示〕．【解答】解：〔1〕∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，∴S△ABC==1．故VP﹣ABC==．〔2〕∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．〔14分〕抛物线C：y2=2px过点P〔1，1〕．过点〔0，〕作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．〔1〕求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；〔2〕求证：A为线段BM的中点．【解答】解：〔1〕∵y2=2px过点P〔1，1〕，∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为〔，0〕，准线为x=﹣，〔2〕证明：设过点〔0，〕的直线方程为y=kx+，M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A〔x1，x1〕，B〔x1，〕，由，可得k2x2+〔k﹣1〕x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+〔1﹣k〕•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．〔14分〕如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．〔1〕保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；〔2〕保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，假设甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米〔含3千米〕，试问有多长时间两人不能通话【解答】解：〔1〕在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=〔2〕2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；〔2〕在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，那么由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，那么AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，那么AQ=2t，如以以下图，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=〔4﹣t〕2+〔2t〕2﹣2•2t•〔4﹣t〕cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=〔4﹣t〕2+4﹣2•2t•〔4﹣t〕cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．〔16分〕设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．〔1〕A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；〔2〕设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为an，如果A={a1，a2，…，an}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为Sn，求Sn的值；〔3〕在〔2〕的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn﹣λSk＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：〔1〕∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；〔2〕曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故an=2=n，∴a1+a2+a3+…+an=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为Sn=3〔a1+a2+a3+…+an〕+n〔﹣﹣﹣〕=3•+n〔﹣﹣﹣〕