数学中考总复习之旋转习题解析

新版数学中考总复习之旋转习题解析

单元知识点呈现

1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定

点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。(图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固

定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图

形的大小和形状没有改变。)如下图所示：

2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图

形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角(旋转角大于0°,小于360°)。

3.旋转的性质

(1)对应点到旋转中心的距离相等。

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

4.中心对称图形与中心对称

中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对

称图形。

中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中

心对称。

5.中心对称图形的判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

6.中心对称的性质：

(1)关于中心对称的两个图形是全等形。

(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或者在同一直线上)且相等。

重难点及方法解读

本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，发展空间观察，培养几

何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习的兴趣。

1.中心对称和中心对称图形的区别

区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，这两个图形关于一点对称，这个点是对称

中心，两个图形关于点的对称也叫做中心对称.成中心对称的两个图形中，其中一个上所有点关于

对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点的对称点，又都在这个图形上；

而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称.中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在

这个图形本身上。

如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形就是中心对称图形；一个中心

对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称。

2.坐标系中对称点的特征

(1)关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-X,-y)

(2)关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P(x,y)关于x轴的对称点为P'

(x,-y)

(3)关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P(x,y)关于y轴的对称点为P'

(-x,y)

3.旋转变换的应用总结

(1)求角度；

(2)求弧度；

(3)求面积；

(4)证明线段相等：

(5)证明角相等;

(6)证明位置关系；

(7)综合应用。

解题关键就是，要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等。

对点例题解析

【例题1】(2020•枣庄)如图，平面直角坐标系中，点6在第一象限，点4在x轴的正半轴上，4AOB=N

8=30°,以=2.将△/如绕点。逆时针旋转90°,点6的对应点0的坐标是()

A.(-V3,3)B.(-3,V3)C.(-V3,2+V3)D.(-1,2+g)

【答案】A

【解析】如图，过点8'作6,忆y轴于〃解直角三角形求出'H,B'〃即可.

如图，过点夕作8'/ALy轴于//.

在RtZ\4‘B'〃中，"：A'B'=2,ZB'A'〃=60°,

：.A'H=A'B'cos60°=1,B'H=A'B'sin60°=g,

.•.0/=2+l=3,

：.B'(-V3,3)o

【例题2】(2020•黑龙江龙东)如图①，在就△＜比'中，N〃》=90°,AC=BC,点、D、£分别在BC边

上，DC=EC,连接〃氏AE.切，点M、N、。分别是力£、BD、四的中点，连接掰、PN.MN.

(1)BE与助V的数量关系是.

(2)将△&笫绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断应与JW有怎样的数量关系？写出你的猜想，

并利用图②或图③进行证明.

【答案】见解析。

【分析】（1）如图①中，只要证明△制邠的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题.

（2）如图②中，结论仍然成立.连接/〃，延长应交4。于点"由AECB2ADCA,推出跖=/〃，ADAC=

NEBC,即可推出BHLAD,由M、N、尸分别为AE,BD、49的中点，推出PM//BE,P3^BE,PN//AD,PN=^AD,

推出PQPN,4MPN=90°,可得BE=2/¥=2x号MN=V2W.

解：（1）如图①中，

,:AM=ME,AP=PB,

J.PM//BE,PM=/E,

'：BN=DN,AP=PB,

：.PN//AD,PN=aAD,

‘：AC=BC,CD=CE,

：.AD=BE,

:・PM=PN,

■:NACB=90°,

：.ACLBC,

：.'：PM//BaPN//AC,

:・PMLPN,

・・・△切邠的等腰直角三角形，

：.MN=42PM,

：.MN=

：.BE=V2M

故答案为BE=品MN.

(2)如图②中，结论仍然成立.

图②

理由：连接力〃，延长正交相于点〃

・・•△力回和△侬是等腰直角三角形，

:・CD=CE,CA=CB,/ACB=/DCE=9G°,

VAACB-4ACE=/DCE-/ACE、

:./ACD=/ECB,

：.t\ECB^/\DCA(44S),

:.BE=AD,4DAC=/EBC,

VZ/li®=180o-(NHA侪NABH)

=180°-(45°+/HAC+ZABID

=/180°-(45°+/HBONABH)

=180°-90°

=90。,

：.BHLAD,

,:M、N、〃分别为您BD、小的中点，

J.PM//BE,PM=^BE,PN//AD,PN=\AD,

:.P4PN,NMPN=90°,

：.BE=2PM=2x导止近MN.

《旋转》单元精品检测试卷

本套试卷满分120分，答题时间90分钟

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（2019黑龙江绥化）下列图形中，属于中心对称图形的是（）

BCD

【答案】C

【解析】绕某点旋转180。能和原图形重合,则这个图形称为中心对称图形,其中,A是轴对称图形,B旋转120。

的整数倍可以重合,D选项旋转72°的整数倍可以重合,故选C.

2.（2019辽宁本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

000^

ABCD

【答案】B.

【解析】A选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；

B选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；

C选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故错误：

D选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误，

故选B.

3.（2019山东枣庄）如图，点£是正方形4式《的边比■上一点，把△/应■绕点/顺时针旋转90°到跖的

位置.若四边形4的的面积为20,DE=2,则451的长为（）

A.4B.2娓C.6D.2娓

【答案】1).

【解析】利用旋转的性质得出四边形/戌尸的面积等于正方形/腼的面积，进而可求出正方形的边长，再

利用勾股定理得出答案.

,/绕点｛顺时针旋转90°到△力跖的位置.

，四边形4瓦尸的面积等于正方形/比力的面积等于20,

:.AADC=2娓,

,:DE=2,

；♦Rt△ADE,AE—4虹）2+DE2=2^5

4.（2020•苏州）如图，在△/8C■中，ZBAC=108°,将△/仇7绕点/（按逆时针方向旋转得到.若点

9恰好落在6C边上，且月8=您，则/C的度数为（）

A.18°B.20°C.24°D.28°

【答案】C

【解析】由旋转的性质可得NC=Nf,%6=加，由等腰三角形的性质可得,ZB=NABB,由

三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解.

,:AB=CB,

:.NC=4CAB,

:.NAEB=NONCAB=2NC,

•.•将△1用绕点A按逆时针方向旋转得到△/SC,

:.NC=2C,A4AB,

：.NB=N.ABB=2NC,

'：ZS+ZaZCAS^180°,

，3NC=180°-108°，

：.ZC=2A0,

.,./C=/G=24°1,

5.（2020年浙江绍兴）如图，点0为矩形的对称中心，点£从点/出发沿向点8运动，移动到点

8停止，延长口交必于点八则四边形力的形状的变化依次为（）

A.平行四边形一正方形一平行四边形一矩形

B.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形

C.平行四边形一正方形一菱形一矩形

D.平行四边形一菱形一正方形一矩形

【答案】B

【解析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形力尸形状的变化情况.

观察图形可知，四边形4灰尸形状的变化依次为平行四边形一菱形一平行四边形f矩形.

6.（2019•南京）如图，S3是由△/勿经过平移得到的，△/'8C还可以看作是△/勿经过怎样的图形

变化得到？下列结论：①1次旋转：②1次旋转和1次轴对称：③2次旋转；④2次轴对称.其中所有正确结

论的序号是（）

A.①④B.②③C.②④D.③④

【答案】D.

【解析】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线(段)或者平行，或

者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分.在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋

转角.

依据旋转变换以及轴对称变换，即可使a'与RC重合.

先将△儿笫绕着的中点旋转180。，再将所得的三角形绕着*。的中点旋转180。，即可得到△力'月0；

先将△46。沿着B，的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着EC的垂直平分线翻折，即可得到BC。

7.(2019•湖北孝感)如图，在平面直角坐标系中，将点一(2,3)绕原点。顺时针旋转90°得到点P,则

P的坐标为()

A.(3,2)B.(3,-1)C.(2,-3)D.(3,-2)

【答案】D.

【解析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出

旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.

作图_Ly轴于0,如图，把点P(2,3)绕原点。顺时针旋转90°得到点户看作把△。图绕原点。顺时针旋

转90°得到△W0',利用旋转的性质得到/〃Q'g90°,ZW=90°,P'Q'=PQ=2,OQ'=OQ

=3,从而可确定P'点的坐标.

作轴于0,如图，

,:P(2,3),

：.PQ=2,OQ=3,

•.•点P(2,3)绕原点。顺时针旋转90°得到点尸相当于把绕原点。顺时针旋转90°得到Q',

：.ZP'Q'<9=90°,ZQOQ'=90°,P'Q'=H0=2,OQ'=。。=3,

.•.点P的坐标为(3,-2).

8.(2019•山东省聊城市)如图，在RtaA?。中，/烟=90°,A(4,4),点。在边力8上，且22=工，点

CB3

〃为切的中点，点一为边以上的动点，当点尸在以上移动时，使四边形做％周长最小的点〃的坐标为

()

A.(2,2)B.(―,—)C.(―,国■)D.(3,3)

2233

【答案】C.

【解析】根据已知条件得到四=加=4,N4必=45°,求得比'=3,OD=Bg2,得到。(0,2),C(4,3),

作〃关于直线办的对称点区连接比交切于只则此时，四边形花!纪周长最小，Z?(0,2),求得直线比

的解析式为y=工底2,解方程组可得到结论.

4

•.•在口△/8。中，/烟=90°,A(4,4),

:.AB=OB=4,N408=45°,

:空.=工，点。为烟的中点，

CB3

:.BC=3,0D=BD^2,

：.D(0,2),C(4,3),

作〃关于直线OA的对称点E,连接EC交OA于P,

则此时，四边形如比'周长最小，£,(0,2),

•••直线总的解析式为y=x,

设直线比的解析式为尸k/b,

.fb=2

••「k+b=3，

解得：，k=T,

b=2

直线比■的解析式为y=1^2,

4

((8

E产Xx-y

.•/(纥1)

33

故选：C.

9.(2019•河南)如图，在△的8中，顶点0(0,0),J(-3,4),B(3,4),将△物8与正方形/以力组成

的图形绕点。顺时针旋转，每次旋转90°,则第70次旋转结束时，点〃的坐标为()

T.

D

———7s

-------0-\f-------->-x

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

【答案】D.

【解析】先求出力?=6,再利用正方形的性质确定〃(-3,10),由于70=4X17+2,所以第70次旋转结束

时，相当于△力6与正方形4版组成的图形绕点。顺时针旋转2次，每次旋转90°,此时旋转前后的点。

关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点。的坐标.

,：A(-3,4),B(3,4),

...四=3+3=6,

•••四边形ABCD为正方形,

，止》6=6,

：.D(-3,10),

70=4X17+2,

.•.每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△的6与正方形4腼组成的图形绕点。顺时针旋转2次，

每次旋转90°,

...点〃的坐标为(3,-10).

10.(2020年浙江嘉兴)如图，正三角形的边长为3,将△48C绕它的外心。逆时针旋转60°得到△

ABC,则它们重叠部分的面积是()

o

B\/C

B'

A.2yB.-|v§c--jVsD-M

【答案】c

【分析】根据重合部分是正六边形，连接。和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形,

据此即可求解.

解：作4批L8C于机如图：

重合部分是正六边形，连接。和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形.

丛ABC是等边三角形，AMI.BC,

12

:.AB=BC=3,B.^=CM=—BC=—,NRW=30°,

22

."材=仃网=邛^,

二/\ABC的面积=工8cxAM=—X3X,

2224

.•.重叠部分的面积=2•△胸的面积=堤义之旦=色反

9942

二、填空题（每空3分，共30分）

11.（2019•海南省）如图，将应△力固的斜边力8绕点力顺时针旋转d（0°<o<90°）得到4?,直角边47

绕点4逆时针旋转白（0°<a<90°）得到/尸，连结AE若18=3,AC=2,且由^二/昆则用=.

【答案】V13

【解析】由旋转的性质可得AF=16=3,AC=AF=2,由勾股定理可求哥'的长.

由旋转的性质可得熊=月43,然=",=2,

VZB+ZBAC=W°,且加看=/反

・・・N胡什"€=90°

・•・Z£4^=90°

•*,EF=VAE2+AF2=任

12.（2019•湖南邵阳）如图，将等边△?!如放在平面直角坐标系中，点4的坐标为（4,0）,点6在第一象

限，将等边△4如绕点。顺时针旋转180°得到OB',则点B'的坐标是.

【答案】故答案为（-2,-2«）.

【解析】作做Ly轴于"如图，

•.•△的8为等边三角形，

：.0II=Ali=2,ZB0A=6Q°,

:划=如011=2如,

.♦.6点坐标为（2,2«）,

•.,等边△4如绕点。顺时针旋转180°得到△/OB',

二点4的坐标是（-2,-2伺.

故答案为（-2,-2丑）.

13.（2019山西）如图，在ZkABC中，ZBAC=90",AB=AC=10cm,点D为Z\ABC内一点,ZBAD=15",AD=6cm,

连接BD,将aABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E,连接DE,DE交AC于点F,

则CF的长为______cm.

F

D

BC

【答案】10-276

【解析】过点A作AG_LDE于点G,由旋转可知：AD=AE,ZDAE=90°,NCAE=NBAD=15°

.,.ZAED=45°；在4AEF中：ZAFD=ZAED+ZCAE=60°

AD

在RtZXADG中：AG=DG==372

AG

在Rt^AFG中：GF=R,AF=2FG=276

CF=AC-AF=10-246

故答案为：10-276

14.（2019山东淄博）如图，在正方形网格中，格点△/（比■绕某点顺时针旋转角G（0Vd<180°）得到格点

，点4与点4，点6与点旦，点。与点G是对应点，贝必=度.

Mi：

【答案】90

【解析】作⑶，制的垂直平分线交于点发可得点“是旋转中心，即/4E4尸d=90°.

如图，连接CG，AA},作S，44的垂直平分线交于点色连接AE

•••第，加।的垂直平分线交于点£,

...点£是旋转中心，

・2倒=90°；.旋转角d=90。

15.(2019•广西池河)如图，在平面直角坐标系中，4(2,0),B(0,1),4C由4?绕点{顺时针旋转90°

而得，则力。所在直线的解析式是.

【答案】y=2x-4.

【解析】过点c作aax轴于点〃，易知△/年△为。(加S),已知4(2,0),6(。，1),从而求得点c坐

标，设直线4C的解析式为将点4点C坐标代入求得力和4从而得解.

,：A(2,0),B(0,1)

：.OA=2,OB=\

过点C作轴于点D,

则易知△/g△胡。UAS)

：.AD=OB=\,CD=0A=2

."(3,2)

设直线4C的解析式为尸4户8,将点4点C坐标代入得

(0=2k+b

12=3k+b

.*=2

lb=-4

直线4C的解析式为尸2x-4.

16.(2019•黑龙江哈尔滨)如图，将△/a'绕点C逆时针旋转得到△/B'C,其中点/与4是对应点，点

B'与8是对应点，点"落在边47上，连接4'B,若//应=45°,/C=3,BC=2,则A16的长为.

【答案】V13

【解析】由旋转的性质可得然=/'C=3,N43//Of=45°,可得//龙=90°,由勾股定理可求解.

♦.•将△46。绕点。逆时针旋转得到△/B'C,

：.AC^A'O：3,ZACB^ZACA'=45°

二Z/绥=90°

**•A，^VBC2+A/C2^^

17.(2020年浙江丽水)图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为4G放(点力

与点4重合)，点。是夹子转轴位置，如“于点及力」外于点用OE=OF=\cm,AC=BD=&cm,CE=DF,

CE-.AE=2：3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点。转动.

(1)当E,尸两点的距离最大时，以点4B,C,。为顶点的四边形的周长是cm.

(2)当夹子的开口最大(即点C与点〃重合)时，A,5两点的距离为cm.

【答案】见解析。

【分析】(1)当瓦厂两点的距离最大时，E,0,尸共线，此时四边形48徵是矩形，求出矩形的长和宽即

可解决问题.

(2)如图3中，连接跖交％于"想办法求出跖利用平行线分线段成比例定理即可解决问题.

【解答】解：(1)当反月两点的距离最大时，E,0,尸共线，此时四边形48(力是矩形，

'：OE=OF=Xcm,

'.EF—2cm,

AB—CD—2c/Hf

此时四边形力及力的周长为2+2+6+6=16(cm),

故答案为16.

(2)如图3中，连接旗交0c于"

,B

C(D)

图3

由题意g仔、=2乂6=卫(。加,

55

'：OE=OF=\cm,

.♦.CO垂直平分线段EF,

7C，C22=2+12=至(cm),

^VCE-H3E15

■:LOE・EC=L*CO>EH,

22

IX普

0

：.EH=———12(cm'),

XO13

~5~

：.EF=2EH=^-(cm)

13

'：EF//AB,

.空=丝=2

'ABCB亏'

•3/等瑞区

故答案为殷.

13

18.如图，在直角△()在中,ZA0B=30°,将△OAB绕点0逆时针旋转100°得到△0AM则N

A)OB=

【答案】70.

【解析】：将△OAB绕点。逆时针旋转100°得到△OAB,ZA0B=30°,

...△0AB丝△0AM

AZAI0B=ZA0B=30°.

/.ZA,0B=ZA,0A-ZA0B=70°.

19.如图，在等边aABC中，AB=6,D是BC的中点，将AABD绕点A旋转后得到aACE,那么线段DE的长度

为.

【答案】3b.

【解析】考点有旋转的性质；等边三角形的判定与性质.

首先，利用等边三角形的性质求得AD=3J5；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知4ADE为等边三

角形，则DE=AD.

如图,•..在等边△ABC中，ZB=60°,AB=6,D是BC的中点，

AAD1BD,ZBAD=ZCAD=30°,

，AD=ABcos30°=6X运3M.

根据旋转的性质知，ZEAC=ZDAB=30°,AD=AE,

，/DAE=NEAC+NBAD=60°，

.♦.△ADE的等边三角形，

.*.DE=AD=3V3＞即线段DE的长度为3炳.

20.如图，平面直角坐标系的原点0是正方形ABCD的中心，顶点A,B的坐标分别为(1,1),(-1,1),

把正方形ABCD绕原点0逆时针旋转45°得正方形A'B'C'D',则正方形ABCD与正方形A'B'CD'

重叠部分所形成的正八边形的边长为.

【答案】25/2-2

【解析】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；应牢固

掌握旋转变换的性质、正方形的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键.如图，首先求出

正方形的边长、对角线长；进而求出0A'的长；证明aA'MN为等腰直.角三角形，求出A'N的长度：同

理求出D'M'的长度，即可解决问题.

如图，由题意得：正方形ABCD的边长为2,

.•.该正方形的对角线长为2后,

AOA,=圾；而OM=1,

AA,M=V2-1;

由题意得：ZMA1N=45°,NA'MN=90°,

.\ZMNA,=45°,

.\MN=A,M=^2-1;

由勾股定理得：A'N=2-V2：

同理可求D'M'=2-我，

.*.MN=2-（4-272）=272-2,

正八边形的边长为2M-2.

三、解答题（6个小题，共60分）

21.（8分）（2020•达州）如图，△/a'中,BC=2AB,D、«分别是边8C、〃'的中点.将△口应绕点£旋转

180度，得△4阳

（1）判断四边形/飒■的形状，并证明；

（2）已知力6=3,A加BF=8,求四边形/购'的面积S.

【答案】见解析。

【分析】（1）结论：四边形4应尸是菱形.根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

（2）设》=x,OB=y,构建方程组求出20即可解决问题.

解：（1）结论：四边形4网,是菱形.

■:CQDB,CE=EA,

：.DE//AB,AB=2DE,

由旋转的性质可知，DE=EF,

:.AB=DF,AB//DF,

四边形/砌;■是平行四边形,

■:BC=2AB,BD^DC,

:.BA=BD,

...四边形/切尸是菱形.

(2)连接跖，4。交于点0.

•.•四边形力位於是菱形，

C.AD1,BF,0B=OF,AgOD,设勿=x,OB=y,

2x+2y=8

则有

,x2+y2=32)

，x+y=4,

.\x+2xy^y=16,

/.2盯=7,

*,•S菱形ABD卜=2x"XAD=2盯=7.

B

22.(8分)(2020•福建)如图，△月应,由△46C绕点力按逆时针方向旋转90°得到，且点6的对应点。恰

好落在8C的延长线上，AD,相交于点2

(1)求/隧■的度数；

(2)尸是比延长线上的点，且/CDF=4DAC.

①判断以和"的数量关系，并证明；

EPPC

②求证：而=

CF

【解析】见解析。

【分析】(1)由旋转的性质得出49=4〃NBAD=90：/\ABC^/\ADE,得出N4瓦'=26=45°,可求出N

即E的度数;

(2)①由旋转的性质得出/。£=90°,证舄乙FPD=4FDP,由等腰三角形的判定得出结论；

EPDH

②过点一作掰〃切交所于点〃，得出NHPF=NDEP,—=——，证明△用蜂△"*(/8!),由全等三角形

PFHF

的性质得出法=5则可得出结论.

【解析】(1)・・・△/〃夕由△力比绕点4按逆时针方向旋转90°得到，

：.AB=AD,NBAD=90°,△ABgXADE、

在中，/B=/ADB=45°,

：・/ADE=NB=45°,

:./BDE=NAD及/ADE=9G.

(2)①DF=PF.

证明：由旋转的性质可知，AC=AE,ZCAE=90°,

在Rt△力酸中，ZACE=ZAEC=45°,

■:4CDF=/CAD,ZACE=ZADB=45°,

・•・ZADB+ZCDF=AACE-^ZCAD,

映4FPD=/FDP,

：.DF=PF.

②证明：过点刀作勿〃切交加'于点〃，

/DPF=/ADEQDEP=43°+/DEP,

Z.DPF=ZACE+ZDAC=45°"DAC,

:.NDEP=/DAC,

又•：/CDF=/DAC,

:"DEP=/CDF,

:./HPF=4CDF,

又“：FD=FP,N/=NE

:•△HPFaXCDF(AS4,

:.HF=CF,

：.DH=PC,

EPDH

PFHF

EPPC

PF-CF'

23.(9分)(2019北京市)已知NAO8=30。，H为射线0A上一定点，OH=6+1，P为射线0B上一点，

M为线段0H上一动点，连接PM,满足NOWP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150。，得到

线段PN,连接0N.

(1)依题意补全图1;

(2)求证：20Mp=4OPN；

(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个0P的值，使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明.

备用图

【答案】见解析。

【解析】本题考查的知识点有尺规作图、旋转、三角形的内角和、方程思想、30。锐角的性质、中心对称的

性质.

(1)见下图。

NB

(2)证明：・・•ZAOB=30°

A14A0PM中，ZOMP=\80°-ZPOM-ZOPM=150°-Z.OPM

又「ZMPN=\50。,

：.4OPN=NMPN-ZOPM=150°-NOPM

・・・40Mp=/OPN.

(3)如下图，过点P作PKJ_OA于K,过点N作NFJ_OB于F

NOMP=NOPN

・・・ZPMK=ZNPF

ZNPF=NPMK

在△NPF和ZXPMK中，/NFO=/PKM=90°

PN=PM

AANPF^APMK(AAS)

APF=MK,ZPNF=ZMPK,NF=PK

又YON=PQ

[ON=PQ

在RtANOF和RtAPKQ中，八〃

[NF=PK

ARtANOF^RtAPKQ(HL)

・・・KQ二OF

设MK=y,PK=x

VZPOA=3O°,PK±OQ

:.OP=2x

：.OK=y/3x,OM=V3x-y

OF=OP+PF=2x+y,

MH=OH-OM=^+\-{4?>x-y^,

KH=OH-OK=K+"瓜.

VM与Q关于H对称

，MH=HQ

/.KQ=KH+HQ

=y/3+1-y/3x+x/3+1-y/3x+y

=2石+2-2瓜+y

又：KQ=OF

.*•2x/3+2—2Gx+y=2x+y

：.2g+2=x(2+2G)

：.x=i,即PK=1

又；ZPOA=30°

：.0P=2.

24.(9分)如图，将小旗ACDB放于平面直角坐标系中，得到各顶点的坐标为A(-6,12),B(-6,

0),C(0,6),D(-6,6).以点B为旋转中心，在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°.

(1)画出旋转后的小旗A'CD'B'；

(2)写出点A，,C',D，的坐标；

(3)求出线段BA旋转到B'A'时所扫过的扇形的面积.

【答案】见解析。

【解析】本题考查了利用旋转变换作图，扇形的面积计算，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图

形的形状与大小是解题的关键.

(1)根据平面直角坐标系找出A'、C'、D'、B'的位置，然后顺次连接即可；小旗A'C'D'B'如图

所示。

(2)根据旋转的性质分别写出点A',C',D'的坐标即可;

点A'(6,0),C(0,-6),D'(0,0)

(3)先求出AB的长，再利用扇形面积公式列式计算即可得解.

VA(-6,12),B(-6,0),

/.AB=12,

2

，线段BA旋转到B'A'时所扫过的扇形的面积=2°')」12_=36n.

360

25.(12分)(2019•广西贵港)已知：△/力是等腰直角三角形，ZBAC=90°,将比■绕点，顺时针方向

旋转得到B'C,记旋转角为d当90°<a<180°H'j',作"DLAC,垂足为〃，A'D马C交于点

E.

(1)如图1,当/。'。=15°时，作的平分线所交况■于点尸.

①写出旋转角a的度数；

②求证：EA'+EC=EF；

(2)如图2,在(1)的条件下，设户是直线不。上的一个动点，连接用，PF,若A4近,求线段序+分、

的最小值.(结果保留根号)

【答案】见解析。

【解析】(1)①解直角三角形求出5即可解决问题.

②连接/F,设跖交勿'于点2在斯时截取而仇7,连接以7.首先证明△©才是等边三角形，再证

明△用侬CE(SAS),即可解决问题.

(2)如图2中，连接4F,PB',AB',作6',以力C交〃1的延长线于机证明△"£侬△"EB',推

出EF=EB',推出B',尸关于A'«对称，推出PF=PB',推出PA+PF^PA+PB'夕，求出AB'即可解

决问题.

【解答】(1)①解：旋转角为105°.

理由：如图1中，

图1

"：A'DLAC,二/H%=90°,

"：ACA'79=15",

/.AA'g75°,：.ZACA'=105°,

...旋转角为105°.

②证明：连接"F,设哥"交。'于点0.在用时截取比,连接◎/.

'：ZCED=2A'CE+Z.CA'6=45°+15°=60°,

：.ZCEA'=120°,

平分/烟，，:.NCEF=NFEA'=60°,

'：AFCO=\?,Q°-45°-75°=60°,

:.NFCO=NA'EO,；4FOC=NA'OE,

：./\FOC^/\A'OE,

.OF_0C

,•A'00E，

.OFA'0

OCOE

♦：NCOE=ZFOA',：./\COE^/\FOA',

AAFA'0=40EC=60°,

.♦.△H/是等边三角形，...67，=。'=A'F,

'：EM=EC,NCEM=60°,△CSV是等边三角形，

ZEClf=60°,CM=CE,

,：ZFCA1=N<F=60°,.'.ZFaf^ZA'CE,

△尸《侬△/'CE(S/1S),：.Hf=A'E,

：.CE+A'E=EiMF4EF.

(2)解：如图2中，连接4F,PB',AB',作夕,姓L4C交〃'的延长线于也

由②可知，NEA'F='EA'B'=75°,A'E=A'E,A'F=A'B',

EF^/\A'EB',

：.EF=EB',

：.B',尸关于H£对称，:.PF=PB',

：.PA+PF=PA+PB'3AB',

在"中，CB'=BC=®AB=2,NMCB'=30°,

：.B'=1,CM=g

2=22=6+2

：-AB'=VAM2+BZM7（V2+V3）+1^^-

...PA+PF的最小值为J6+

26.（14分）（2020年浙江绍兴）如图1,矩形〃g%1中，DG=2,DE=3,Rt△力比1中，N4cB=90°,CA=CB

=2,FG,a1的延长线相交于点0,且FG1BC,a7=2,OC=\.将△/8C