第1章5 用空间向量解决平行与垂直的证明-人教A版高中数学选择性必修第一册常考题型练习

用空间向量解决平行与垂直的证明

考向一用坐标法证明平行问题

1、在正方体ABCD-AiBCiA中，M,N分别是CCi,BC的中点.求证：〃平面

AiBD.

【答案】见解析

【解析】法一如图，以。为原点,DA,DC,。。所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空

间直角坐标系，设正方体的棱长为1则0(0,0,0)41(1,0,1)1(1」,。)从。，1,0星，1,1),

于是血1=(1,0,1),DB=(1,1,0),加=,0,£).

ri-LDA\,n-DA\=x+z=0,

设平面AiBD的法向量为〃=(qy,z),则<取x=1,则

n.LDB,n-DB=x+y=0,

-1,z=・1,・••平面A］。的一个法向量为九二(1,-1,-1).

又加九二弓,0,£)・(1,-1,-1)=0,：.MN±n,：.MN//W-^AiBD.

法二硫二荻-昌丹巡1-：部=4晶1-万1>)=［忒，・••加〃血1,・・・MN〃平面

AiBD.

=

法三MN-C［N-C\M--1GC=1a4-1^2(

即加可用晶与加线性表示，故砒与4：方,加是共面向量，故MN〃平面42。.

2、如图所示，在四棱推P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱尸£＞，底

面ABCD‘PD=DC,E是PC的中点，过点E作EF1PB于点F.

求证：B4〃平面EDB；

［证明］以D为坐标原点，射线DA,DC,DP分别为无轴、y轴、z轴的正方向建立如

图所示的空间直角坐标系D-xyz.

设。C=a

⑴连接AC交BD于点G,连接EG.

。，第•

依题意得A(a,O,O)，尸(0,0,a),C(0,a,0),

因为底面ABCD是正方形，

所以G为AC的中点

故点G的坐标为

所以年=(a,0,-a),~EG八4、

则H=2EG,故朋〃EG.

而EGu平面EDB,出。平面EDB,

所以以〃平面E08.

3、如图，在四面体A-BCD中，AD_L平面BCD,BCA,CD,AD=2,BD=2小,

M是4。的中点，2是8加的中点，点Q在线段AC上,且4Q=3QC

求证：PQ〃平面BCD.

证明：如图，取BD的中点O,以。为坐标原点,OD,OP所在直线分别为y轴，z轴，

建立空间直角坐标系O-xyz.

由题意知，A(0,“2,2),8(0,-42,0),D(0,42,0).

设点C的坐标为(xo,加0).

因为近二3吠,

所以Q(1ro，乎++o,I)-

因为M为40的中点，故M(0,42,1).

又尸为的中点，故《0,0,0,

所以同'=(jxo，(+张,。1

又平面BCD的一个法向量为a=(0,0,1),

故同％=0.

又PQC平面BCD,所以PQ〃平面BCD.

4、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，出，底面ABCD,

E,R分别是PC,的中点，PA=AB=1,BC=2.

求证：EF〃平面PAB；

［证明］以A为原点,AB.AD.AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间

直角坐标系如图所示,则40,0,0),5(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),

P(0,0,l),所以,EF=1—；,o,o］,PB=(1,0,/—|二

-1),PD=(0,2,-1),AP=(0,0,1),AD=(0,2,0),DC=(1,0,0),AB=(1,0,0).

因为Eb=--AB,所以EF〃A5,即EF//AB.

2

又A3u平面PAB,ERI平面PAB,所以ER〃平面PAB.

5、在如图3-2-4所示的多面体中，E几L平面AEB,AE±EB,AD//EF,EF//BC,BC=2AD

=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点,求证：AB〃平面DEG.

图3-2-4

［证明］,/EF_L平面AEB,AEu平面AEB,BEu平面AEB,

：.EF±AE,EF±BE.

5^'：AE±EB,：.EB,EF,EA两两垂直.

以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐

标系.

由已知得,40,0,2),5(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),£>(0,2,2),G(2,2,0),AED=(0,2,2),

EG=(2,2,0),AB=(2,0,-2).

设平面DEG的法向量为〃=(x,y,z),

EDn-02y+2z=0,

贝比z即」

EGn=0,[2x+2y=Q,

令y=1,得z=-1,x=-1,则w=(-1,1,-1),

：.AB-n=-2+0+2=0,即曲_Lw.

「ABct平面DEG,

.♦.AB〃平面DEG.

考向二用坐标法证明垂直问题

1、在直三棱柱ABC-AiBiG中，90。，BC=2,CG=4,点E在线段8囱上，目EBi

=1,D,F,G分别为CCi,CiBi,C1A）的中点.

求证：81。_1平面4瓦）；

证明：⑴以3为坐标原点，BA.BC、33所在的直线分别为x轴、

丁轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则5(0,0,0),。(0,2,2),

81(0,0,4)，设=a,贝UA(a,0,0),

所以5A=(a,0,0),BD=(0,2,2),BYD=(0,2,-2),

BXD-BA=Q,BXD•50=0+4-4=0,即B]D±BA,ByDLBD.

又BAHBD=B,因止匕Bi。，平面ABD.

2、如图所示，正三棱柱ABC-A出Ci的所有棱长都为2,D为CCi的中点，求证：A3」平

面AiBD.

【答案】见解析

【解析】法一：如图所示，取BC的中点0,连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO±

BC.

因为在正三棱柱A8C-4B1C1中，平面A3C_L平面BCGB1,所以AO_L平面BCGS.

取BiCi的中点。1,以。为原点，以加,001,次分别为尤轴，y轴，z轴的正方向建

立空间直角坐标系，

则5(1,0,0),D(-1,1,0),4(0,2,小),4(0,0,43),6(1,2,0).

所以检产(1,2,-^3),双i=(-1,2,43),丽二(-2,1,0).

因为ABrBAi=1x(-1)+2x2+(-43)x43=0.

ABvBD=1x(-2)+2xl+(-43)x0=0.

所就i,ABiLBD,即,ABi±BD.

又因为=B,所以AB」平面A/。.

法二：建系同方法一,

设平面AiBD的法向量为"=。，y,z),

n±BAin-BAi=-x+2y+y/3z=0,

叫_,即,

M-i-BDn-BD=-2x+y=0,

令x=1得平面AyBD的T法向量为n=(1,2,-V3),

又同i=(l,2,-V3),所以"二届i,即届i〃〃.

所以AS，平面48。.

3、如图所示,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,以，底面ABCD,E,

R分别是PC,PD的中点，PA=AB=1,BC=2.

BC

求证：平面平面PDC.

［证明］以A为原点,AB.AD.AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间

直角坐标系如图所示，则40,0,0),5(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),

(11A(1AEF=-1,0,0,PB=(1,0,

P(0,0,l),所以E亍1,彳,F0,1,-

L)\L)

-1),PD=(0,2,-1),AP=(0,0,1),AD=(0,2,0),DC=(1,0,0),AB=(1,0,0).

因为APDC=(0,0,1)-(1,0,0)=0,ADDC=(0,2,0).(l,0,0)=0,

所以,AD±DC,即APLDC,A。，。。.

又APHAD=A,APu平面PAD,ADu平面PAD,所以DC,平面必D因为DCu

平面PDC,

所以平面以。，平面PDC.

4、如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC,D为的中点，尸。，平面ABC,

垂足。落在线段A。上.已知BC=8,PO=4,AO=3,00=2.

(1)证明:APLBC；

(2)若点M是线段AP上一点，且3.试证明平面AMC_L平面BMC.

证明：(1)以O为坐标原点，以射线OD为v轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图

所示的空间直角坐标系O-xyz.

则。(0,0,0),4(0,-3,0),2(420),C(-4,2,0),P(0,0.4).

于是涓=(0,3,4),-BC=(-8,0,0),

所以7X~BC=(0,3,4)-(-8,0,0)=0,

所以方LBC,即AP±BC.

⑵由⑴知AP=5,又AM=3,且点M在线段AP上,

所以刀/=|AX=^0,|,y),5LBA=(-4,-5,0),

所以M=~BA+~AM=(-4,-竽,S,

则讶.BM=(0,3,4)(-4,-与，5=0,

所以守LBM,即AP±BM,

又根据(1)的结论矢口AP±BC,且BCCBM=B,

所以APJ_平面BMC,于是AMJ_平面BMC.

又AMu平面AMC,故平面AMC_L平面BMC.

5、如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，ZABC=ZBCD=90°,

AB=BC=PB=PC=2CD,平面PBCL底面A8C£).求证：

(1)E4±BD；

(2)平面E4D_L平面PAB.

证明：⑴取BC的中点0,连接PO,

•.•△尸3。为等边三角形，；.尸。，2C

,/平面PBCL底面ABCD,平面PBCn底面ABCD=BC，尸Ou平面PBC,

：.PO_L底面ABCD.

以BC的中点。为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点。与

AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

如图所示.

不妨设CD=1,则AB=8C=2,尸。=43,

,-2,0),8(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,43),

ABD=(-2,-1,0),"RT=(1,-2,-V3).

"：~BD~PA=(-2)x1+(-1)x(-2)+0x(-43)=0,

：.~^ALBD,：.PA±BD.

⑵取PA的中点M,连接OM,则破，-1,坐].

•••而=[|,0,坐)，同=(1,0,-<3),

______>3A3

DM->PB=^xl+0x0+—x(-73)=0,

：.1)M±~PB,即。ALLPA

'：1)M^PA=|xl+0x(-2)+/x(-43)=o,

：.15MLPA,即。

又PA^PB=P,以u平面PAB,PBu平面PAB,

平面PAB.

「DMu平面PAD，，平面以。_L平面PAB.

6、如图1在四棱锥S-ABCD中，底面ABC。是正方形，AS，底面ABC。，且AS=AB,

£是SC的中点.求证：

(1)直线平面;

(2)平面BDE±平面ABCD.

图1

【答案】见解析

【解析】如图2,以A为原点，AB,AD,AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直

角坐标系Ax*,设AS=AB=2,则A(0,0,0),£>(0,2,0),C(2,2,0),B(2,0,0),

5(0,0,2),E(l,l,l)

易得AS=(0,0,2),AB=(2,0,0)

n±ASn-AS=2z=Q

设平面SAB的法向量为〃=(尤,％z)，则＜,即

n.LABn-AB=2x=0

取y=1,可得平面SAB的一个法向量为n=(0,1,0)

又A。=(0,2,0)，所以A。=2〃，所以，所以直线AD,平面SAB

方法1：如图2,连接AC交8。于点。，连接。£,则点。的坐标为(LL0)

易得OE=(0,0,1),AS=(0,0,2)，显然AS=2OE，故AS〃OE，所以AS〃。石

又AS，底面ABC。,所以，底面ABC。

又Q£u平面,所以平面区汨，平面ABCZ)

方法2:易得32=(—1,1,1),30=(—2,2,0)

m^-BEm-BE=-x+y+z=0

设平面BDE的法向量为m=(尤,％z),贝叫，即，

m-LBD[m-BD=-2x+2y=0

取x=l,得y=i,z=o，所以平面A3。的一个法向量为帆=(LL0)

AS，底面ABCD,可得AS=(0,0,2)是平面ABC。的一个法向量

因为AS•相=(0,0,2).(1,1,0)=0,所以AS±m,所以平面BDE±平面ABCD

考向三用坐标法解决探索性问题

1、如图,三棱柱ABC-4B1C中，A4i_L平面ABC,BC±AC,BC=AC=AAi=2，。为AC

的中点.

⑴求证：AB〃平面BDCi；

⑵设ABi的中点为G，问：在矩形8CC1B1内是否存在点X,使得G8,平面BDQ.若存在,

求出点”的位置，若不存在，说明理由.

【答案】见解析

【解析】⑴证明：连接BiC,设SCABCi=M，连接,

在△ABC中，M为BC中点，。为AC中点，

：.DM//AB\,

又；AS不在平面BDCi内，0M在平面BDCi内，

〃平面BDCi.

⑵以G为坐标原点，&X为X轴，Gt为y轴，为z轴建立空间直角坐标系.

依题意，得C1(O,O,O),£>(1,2,0),B(0,2,2),，假设存在"(0,m,ri),

-1,m-1,n-l),&b=(1,2,0),协=(-1,0,2),

由平面BCiD,得

GhlQb^>(-1,m-l,n-l)-(l,2,0)=0^m=^.

同理，由国，协得H=1,即在矩开?BCGB］内存在点H,使得G//L平面BDCi.

31

此时点H到BiCi的距离为］,到GC的距离为*

2、如图所示，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD,E,

尸分别为阴,2。中点，E4=PD=AD=2.

(1)求证：所〃平面PBC；

(2)在棱PC上是否存在一点G，使GPL平面EDF?若存在，指出点G的位置；若不存

在，说明理由.

【答案】见解析

【解析】⑴证明：如图所示，连接AC因为底面ABCD是正方形，AC与3。互相平分.F是

BD中点，所以尸是AC中点.在△RIC中，E是以中点，厂是AC中点，所以EF//PC.

又因为ERJ平面PBC,PCu平面PBC