2023年高考分类题库考点36 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系

考点36圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系15.(2023·新高考Ⅱ卷·T15)已知直线x-my+1=0与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值为【命题意图】本题是一道开放题,有多个答案,考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离及圆内接三角形性质等内容.【解题指导】根据直线与圆的位置关系,求出弦长|AB|,以及点C到直线AB的距离,结合面积公式即可解出.【解析】设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式得|AB|=24−d所以S△ABC=12×d×24−d2解得:d=455或d=由d=|1+1|1+m2=21+m2,所以21+解得:m=±12或m=±2答案:2(2,-2,12,-1212.(2023·天津高考)过原点的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切,交曲线y2=2px(p>0)于点P,若|OP|=8,则p的值为.

【解析】如图,由题意,不妨设直线方程为y=kx(k>0),即kx-y=0,由圆C:(x+2)2+y2=3的圆心C(-2,0)到kx-y=0的距离为3,得|-2k|k2+1=3,解得k=则直线方程为y=3x,联立y=3xy2=2即P2p3,23可得|OP|=2p32+23p答案:611.(2023·全国乙卷·文科·T11)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是()A.1+322 B.C.1+32 D.7【解析】选C.方法一:令x-y=k,则x=k+y,代入原式化简得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0,因为存在实数y,则Δ≥0,即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0,化简得k2-2k-17≤0,解得1-32≤k≤1+32,故x-y的最大值是32+1.方法二:x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(x-2)2+(y-1)2=9,令x=3cosθ+2,y=3sinθ+1,其中θ∈[0,2π],则x-y=3cosθ-3sinθ+1=32cosθ+π4+1,因为θ∈[0,2π],所以θ+π4∈π4,9π4,则θ+π4=2π,即θ=7π4时,x-y取得最大值方法三:由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9,设x-y=k,则圆心到直线x-y=k的距离d=|2-1-k|2解得1-32≤k≤1+32.故x-y的最大值是1+32.12.(2023·全国乙卷·理科·T12)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点,若|PO|=2,则·的最大值为()A.1+22 B.C.1+2 D.2+2【解析】选A.如图所示,|OA|=1,|OP|=2,则由题意可知:∠APO=45°,由勾股定理可得PA=OP2-当点A,D位于直线PO异侧时,设∠OPC=α,0≤α≤π4则:·=||·||cosα+π4=1×2cosαcosα+π4=2cosα22cosα-22sinα=cos2α-sinαcosα=1+cos2α2-12sin=12-22sin2α-π40≤α≤π4,则-π4≤2α-π4所以当2α-π4=-π4时,·有最大值1.当点A,D位于直线PO同侧时,设∠OPC=α,0≤α≤π4则:·=||·||cosα-π4=1×2cosαcosα-π4=2cosα22cosα+22sinα=cos2α+sinαcosα=1+cos2