不等式中级水平(一)

不等式中级水平必备

一、鬲平均不等至

1、鬲平均函数:设打，叼，°，则鬲平均函数定义为:

M(0)^x1x2...xn；(1)

M(r)n⑵

(1)⑵这两个式子称为事平均函数.

2、鬲平均不等式:鬲平均函数在实数空间是连续且单调递增的.

利用其增减性得到的不等式称为哥平均不等式.

3、在r。点的证明:设函数/(r)In三_f_二J'

n

r

Inx7x/Inx2...xnInxn

则:广⑺

xrxr...xr

12n

xInx,x701nx,...x°Ynxln(xrx5..x)

于是：尸(0)X。，。」":即

12n

即：e八°)内林…用2.』

1

YrYrYr~r

而：M(r)

n

…丁r

则：InM(r)Ln¥Vf()

rnr

故：InM(O)limlnM(r)hi/&)1n/⑺/(。)f\0)

r0r0rrr0

0

则：M(0)e八。)②

将①代入②得:M(0)x2...Xn•(1)式证毕.

二、毒平均不等式的推论

1、在r1点：由⑵式得：

x1x1...11

xn

M(1)/'Hn(3)

n111

Xjx2...xn

故rI的鬲平均值是调和平均值.

2、在r。点：由已证明过的(1)式：M(0)^X1x2...xnGn⑷

故r0的鬲平均值是几何平均值.

3、在r1点由(2)式得：

M⑴n“4(5)

故r1的量平均值是算术平均值.

4、在r2点：由⑵式得：

M(2)VOn⑹

nn

故r2的鬲平均值是平方平均值.

5、推论:根据衽均函数在实数空间是连续且单调递增，r由1012可得：

HnGnAnS(7)

当且仅当x1x2...X"时取等号.

以上是由以平均不等式推导的均值定理,在处理更高次方时，即r2时，(2)式仍适

用.

三、加权不等式

1、加权不等式:若I，2，“”“且12…n1，则，•就是权重，

当程0(k1,2,时，恒有：

lal2a2a2n(8)

成立.

⑻式就是加权不等式.

2、对〃2时:此时(8)式为：1与2a2aI1a2

取1,上式变为：-02

这是二元的均值不等式.

3、对〃3时:此时(8)式为：2a23a3aI1a2a3

取1,上式变为：勾牝勺-----

123JMa2a3

这是三元的均值不等式.

4、评价:此加权不等式为均值加权,由于权重的灵活配置，加权不等式比均值不等式

更加灵活，也更加高效.

四、加权琴生不等式

1、琴生不等式:对于向下凸函数,函数的均值不小于均值的函数值.用数学式子表达为:

/(町)/(*2)…/D/(勺“2…J

(9)

nn

左边是函数的平均值，右边是平均值的函数值.

对于向上凸函数,只需在函数前面加一个负号就可以直接采用(9)式.

2、加权琴生不等式:若函数f(x1,x2,)在[a,切区间连续，且在(a,力)区间为向下凸函

I2•••

数，若!，n[0,1],且”1,对于一切盯(a,b),

Xx

则：]/(町)•••nf(Xn)f(11•••nn)(10)

当…_1时，(10试就化为(9)式.

12n-

因此，(I。)式是更普遍的琴生不等式.

3、推论:设函数/,在区间[a,切R时，/是一个连续函数，则：

⑴对一切[a,切，恒有：,/(*)J/(j)__(11)

222

⑵对一切x,y[a,b],(0,1),恒有：

fix)(1)f(y)/(x(I)j)(12)

4、向下凸函数判据:设函数),在区间[a,切R时，/是一个连续函数.

(D如果/(*)f(xy)成立，则汴向下凸函数.

22

⑵如果/''(X)0,则然向下凸函数.

五、柯西不等式

1、柯西不等式:设即,a2,an,b1,b2,与为实数，则：

(a/...a,/)(/>/...bj)(即办...(13)

叫A

这就是著名的柯西不等式.

2、推论1:设即，与，…，％°，bj,b2,bn0,则：

」[7(«7—02—Z—%)―1—E—Z—Ja曲da2b2…八也(14)

3、推论2:设勾,与，…，%3b1,b2,...,bn0,则:

22即

a/a2a„(a2...aj

-----…~T~(15)

b]t>2----------------b]t>2•••

(15)式被称为权方和不等式.

4、推论3:设句,做，…，a”°，bj,b2,bn0,则：

a„1,ajaa”

ari1rla2...(__...」2(16)

22

bfb2bn即a2...anbjb2bn

5、推论4:设与，…，册°，^j,b2,bn0,则：

0±_竺…?(ai做…aj(77)

%b2bnga2b2...a„bn

六、伯努利不等装

1、伯努利不等式:设盯，必，…，X"1,则：2当X?x2

时：

(IXj)(lX2)...(lXM)1Xjx2...”

xn

(18)

(1x)n1IK(19)

可见，(19)式是(18)式的特例，(18)式更普遍.

七、切线法不等司即：设限法

1、切线法:设/(x)为实值向下凸函数,m,nR,x(»/,"),直线y〜与理切

于(叫〃)，假设:在x(叫〃)区间，始终有：

/(x)axb(20)

则：(20)式就称为切线不等式.

当/(x)ax方时，前面加负号就可以采用(20)式

2、指数不等式：e*x7(x1)

函数为：/(x)e。为向下凸函数.

则：f\0)e°1,f(0)e°1,

在x。处的切线方程为：y/'(0)(x0)f(0)x1

故:在xI区间，由(20)式得:/(x)x1,即：e*x(21)

1

(21)式就是指数不等式.

3、对数不等式：Inxx1(x0)

函数为：/(x)Inx,为向上凸函数.

设g(x)/(x)Inx,则g(x)为向下凸函数.

1

则：g'(D1，g(DInI;0,

“Xlx

在XI处的切线方程为：yg'C0(x1)g(l)(x1)

故:在x。区间，由(20)式得：g(x)(x1),

即：Inx(x1),即：Inxx(22)

(22)式就是对数不等式.

八、定义符号

对于3个对称变量的不等式，为了简化书写，便于计算，我们定义两个简化求和符号.

⑴定义：为单轮换求和:展开项数为3.

eye

P(x,y,z)P(x,y,z)P(y,z,x)P(z,x,(23)

y

eye

(23)式为单轮换求和定义式.

根据定义：

单个求和:xxyz；

eye

eye

eye

双积求和:xyxyyzzx;

eye

x2yx2yy2zz2x;

x3yx3yy3zz3x;

x3y2x3y2y3z2z3X2.

eye

三积求和:xyzxyzyzxzxy

eye

22

x2yzxyzyzx^xyXjz(xyz)xyzx;

eye

2222222

Xyzxyzyzxzxyxjz(xyyzzx)xyzxy;

eye

332x

X3yzxyzyzxz3xyxyz(x2y2z)xyzx2.

eye

⑵定义：为双轮换求和:展开项数为6.

P(x,y,z)P(x,y,z)P(y,z,x)P(z,x,j)P(x,z,y)P(z,y,x)P(y,x,z)

sym

P(x,y,z)P(x,z,(24)

y

eyeeye

(24)式为双轮换求和定义式.

根据定义：

单个求和:xxy2(xyz)2x;

symeyeeyeeye

222c/222、c2

Xy2(xyz)2x;

symeyeeyeeye

X3X3y32(x3y3一)2x3.

symc;yeeyeeye

双积求和:孙孙xz2(xyyzzx)2xy\

symcy(ceyeeye

x2yx2yx2zy2zy2xz2xz2yx2(yz)孙(X

symeyeeye

333333

xyxyxzy'zyXzXzy

sym

x3(yz)孙(x2y2)x(y3

eyeeyeeye

三积求和:xyz6xyz.

sym

222222

xyzxyzxzyyzxyxzzxyzyx2xyzX；

symeye

222222222222

xyzx,yzXzyy'ZXyxzzxyz2xyzxy\

symeye

⑶和的平方:

yz)2X2y2z22(xyyzzx)

2

简写为:XX22xy

eyeeye

(4)和的立方:

,3yz33(x2yy2zz2xxy2yz2zx2)6xyz

3

简写为:X33X2J6xyzx33

symeyesym

九、舒尔不等式

1、舒尔不等式:设x,y,z0,对任何r0,恒有:

z)z)(yx)(zx)(zy)o

简写为：xr(xj)(xz)(25)

0

eye

(25)式这就是舒尔不等式.

2、对r1的特例:

(1)X3y3Z33xyz

sym

简写为：x33xyzx2y,或xfxyz(26)

eyesymeyesym

由于：x(xy)(xz)x3x2yx2zxyz

所以：x(xJ)(xz)X3X2(yz)xyz

eye

X3x2(yz)3xyz

eyesym

代入(25)式得(26)式.

⑵(yzx)(zXj)(xyz)(27))

由于：(yzx)(zxy)(xyz)

[z(XJ)][z(Xj)](xyz)\z(xj)2](xyz)

y)(Xy)z(xy)2

3

ZXzy(XJ)(X2/)zz(x22xyy2)

3

ZXzy(V六y3)zz(x22xyy2)

x3x2y2xyz

eyesym

所以(27)式为：x3x2y2xyzxyz

eyesym

即：x33xyzx2y,这正是(26)式.

eyesym

⑶4(xyz)(xyyzzx)(Xyz)39xyz

简写为：4(x)(xy)(x)39(28)

eyeeye

不等式左边:

4(xyz)(xjyzzx)4(x2yxyzzx2xy2y2zxyzxyzyz2z2

4x2y3xyz

sym

不等式右边：

(Xyz)39xyzx33x2y15xyz

eyesym

2

代入(28)式得：4xy3xyzx33x2y15xyz

symeyesym

2332

即：xyx3xyz,即：x3xyzxyt这正是(26)式.

symeyeeyesym

(4)2(xyyzzx)(x2y22)—(29)

zxyz

--9尤丁丁

简写为:2xyx

eyeeyeX

eye

由(xyz)[2(xyyzzx)(x2y2z2)]9xyz得左渤1

2(xyz)(xjyzzx)(Xyz)(x2j2z2)

2x2y3xyz犬x2y

symeyesym

移项合并得：x33xyzx2y,这正是(26)式.

eyesym

2232

⑸*2yz^x^yz2(xyyzzx)

2

简写为：x*x2y2z2y(30)

eyesym

由xyz于万z代入(29)式得:

、/222、9xyz9xyz222

2(xyyzzx)(xyz)---------xyz

xv34xyz

即：*2y2Z2J3*y2d-2(xyyzzx).

对于rIB寸，与此类似推导.

十、缪尔海德不等式

1、缪尔海德不等式设田。2Mq仍7,3仇为实数且〃I

:,,a2a30,比b2b30,

a[b],a]a?b]方2，即a2a3bjb2b3\

设x,y,z0t则有:

％"?z"z02x03z"，x"2y"，z"，y"2

J^biyb2z力328/z岳yll3yb,xblzb3yblz力2z瓦％岳yb3y岳％岳

简写为：xaiya2ztt3xblyb2^(31)

symsym

这就是缪尔海德定理.

.a”(32)

2、推广为一般式：X产“2%n

symsym

十一、赫尔德不等式

1、赫尔德不等式：设©,a,,a*%，方2，%,s，C2，C3为正实数，则有:

33333

简写为：^ci3哂3)

3g

i1i1iIi1

,nmimn

2、推广为一般式：aya■(34)

(/

i1j1j1i1

3、推论：(1即)(1a2)...(lan)(10(35)

a1a2...a,l^

十二、排序不等或

1、正序和:前面缪尔海德不等式的前提就是一个数列的有序化,即数是按从大到小、或

者从小到大排列，这种按一定增减性排列的数就是有序数.当有序数列和

的增减性相同时：

Snalbl。2b2…anbn

称为正序和.

2、反序和：当有序数列a是从小到大排列，b是从大到小排列时：

Snma2b2...anbn

称为反序和.当然，若小时从大到小排列，b是从小到大排列时，S”也是反序

和.

3、乱序和：当数列无序排列，或者》无序排列，或者两者都无序排列时：

sab

niia力2…anb„

称为乱序和.

4、排序不等式:正序和乱序和反序和(36)

(36)式称为排序不等式.

十三、切比雪夫不等式

1、切比雪夫不等式：设x/,X2..,和力.V2,V"为任意两组实数，若Xn与yn的升

降同序.即：

若吃x2...xn,贝！1为y2...拓

若Xix2...xn,贝！1为y2...切

jn］n1n

则：勺为4X(37)

nnn

i1i1i1

(37)式称为切比雪夫不等式.

练习

［练习1］设a,5,c是一个三角形的三边长，求证：「_____bL2.

bccaab

［练习2］设a也c0,求证：/bLJ-

bccaab2

［练习3］设［，且L——2,求证“一ji：Vx―1y［y—14z—1

xyz

［练习4］设x;,x2,・・.,工〃为任意实数，证明不等式：

1Xj1Xjx21Xj...xn

［练习5］设0,且xy2,求证：—,2(%2y2)2.

［练习6］设a/0,且abI,求证；上J