等比数列的概念导学案

4.3.1等比数列的概念（1）导学案

学习

1.理解等比数列及等比中项的概念.

2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题.

重点难点

重点：等比数列及等比中项的概念

难点：等比数列的函数特征及综合运用

知出极理

1.等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个

数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然q力。）.

符号语言：H=q（nN2,n€N*）

2.等比中项:

等差数列等比数列

由三个数。，46组成最简单

由三个数Q,G,b组成等

的等差数列，这时，A叫做a比数列，那么G叫做。与b的

与b的等差中项.根据等差数等比中项.此时，G2=ab.

列定义可知，24=a+江

1.下列数列为等比数列的是（）

A.m,m2,根,3根,4

B.224VJ82,

C.q~1,(q—1)2,(^―I)3,(^―I)4,...

1j_X±

•a'〃2'〃3，。4，…

2.方程f—5x+4=0的两根的等比中项是()

A.|B.±2C.±^5D.2

学习过程

一、新知探究

我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”。

类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？

1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：

9,92,93,...,91°;①

1OO,1OO2,1OO3,...,1OO10;②

5,52,53,...,510.③

2.《庄子•天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”,

那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是

2‘4‘8‘16‘32'…

3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细

菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是

2,4,8,16,32,64,...⑤

4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r,那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分

别是

a(l+r),a(l+r)2,a(l+r)3,a(l+r)4,a(l+r)5⑥

如果用｛a｝表示数列①，那么有

%=9,—=9,=9

0,2。9

其余几个数列也有这样的取值规律吗？，请你试着写一写。

探究1类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什

么规律？

等差数列的概念

如果一个数列从第一项起，每一项与它的______的

差都等于__________,那么这个数列就叫做等差数

文字语言

歹!1,这个—叫做等差数列的公差，公差通常用字

母—表示

符号语言。〃+1—为常数，〃£N*)

2；前一项；同一个常数；常数；d

探究2类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？

探究3：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的

概念？如何定义？

探究4.你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？

请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式?

探究.5在等差数列中，公差d力0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列,

公比q满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？

探究6：类比指数函数的性质，你能说说公比q>0的等比数列的单调性吗？

/(%)=yqx(xGR)

二、典例解析

例1.若等比数列｛斯｝的第4项和第6项分别为48和12,求｛即｝的第5项.

例2已知等比数列｛an｝的公比为q,试用的第m项%„表示与.

1.在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比

中项.

2.等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.

跟踪训练1在等比数列｛为｝中，

(1)若“2=4,/=—］，求即；

(2)七,。2+。5=18,的+。6=9,斯=1,求”.

例3.数列｛5｝共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80,第2项与第4

项的和等于136,第1项与第5项的和等于132,求这个数列.

跟踪训练2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数

的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.

达寿桧涮

1.已知｛斯｝是等比数列，41=4,公比9=3，则“5=()

A.4B.C.D.g

2.设〃〃=(—贝擞列｛。〃｝是()

A.等比数列B.等差数列

C.递增数列D.递减数列

3.若各项均为正数的等比数列｛斯｝满足。3=3%+2。2,贝!1公比4=()

A.1B.2C.3D.4

4.若数列一1,a,b,c,一9成等比数列，则实数b的值为()

A.-3B.3C.±3D.不能确定

5.在等比数列｛斯｝中，42=2,45=16.求｛〃〃｝的通项公式.

课堂4•结

参考答案：

知识梳理

1.D解析：当机=0,q=l时，A,C均不是等比数列；争号I,

所以B不是等比数列.

2.B解析：设方程的两根分别为Xi,冗2,由根与系数的关系，得X1X2=4,两根的等比中项为

=±2.

学习过程

一、新知探究

探究4.设一个等差数列S九｝的首项为的,公差为d,根据等差数列的定义，可得

a?t+i—^n~d

所1以02一01=d,(Z3一02=d,04一%=d,…

丁-a2=d,

a3=a2+d=a+d)+d=%+2d,

a4=a3+d=(a1+2d)+d=ar+3d,.......

归纳可得册=«i+(n-1)d(n>2)

当n=1时，上式为的=%+(1-1)d=ar,这就是说，上式当时也成立。

因此，首项为由,公差为d的等差数列｛&J的通项公式为册=a1+(n-1)d

请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？

设一个等比数列｛即｝的为q,根据等比数列的定义，可得

an+l=an'Q

所以的=&q,

@3=。2q=(。］q)q~~

。4—。3乌=(。1［2)q—。］勺3

归纳可得册=。1必一1(1122)

又的=%q°=QiqiT,这就是说，当n=l时，上式也成立。

因此，首项为的,公比为q的等比数列｛%J的通项公式为

每=aiQn-1

探究5.

a=ttiQ71_1=—qn

nq

当q>0且q丰'时、/(x)=^qx(xER)

当%=it时、f(n)=yqn(nEN*)

即指数型函数/(%)=kax

(为k,a常数，k0,a>0且a41)构成一个等比数列｛kan｝,

/(I)=ka,/⑵=ka2,…，f(n)—kan,

其首项为ka,公比为a

探究6：

/(x)=—qx(xER)

0<q<1q>i<?=i

指数函数y=q"的单调性单调递减单调递增

71

等比数列an=q的单调性单调递减单调递增不变

>0

单调递减单调递增不变

等比数列斯=a/T的

单调性

为<0

单调递增单调递减不变

二、典例解析

例1.分析：等比数列｛&J由唯一确定，可利用条件列出关于的方程(组)，进行求解。

解法1：由a4=48,a6=12,得

(a]=48,①)

IdiQ5=12.②J

②的两边分别除以①的两边，得q2=i解得q=:或—

把q=|代入①，得的=384.

44

此时a5=a1q=384x(|)=24.

把q=-1代入①，得a1=-384.

44

此时a5=ctrq=384x(―1)=—24.

因此｛%J的第5项是24或一24.

解法2：因为是与的等比中项，所以磺=。4£16=48x12=576.

所以=±V576=±24.

因此，｛时｝的第5项是24或-24.

例2解：由题意，得＜2小=①

1

an=a^-.②

②的两边分别除以①的两边，得氏=(^-皿

dm

nm

所以an=amq~.

跟踪训练1解：设等比数列｛斯｝的首项为防，公比为?

。2=〃1"=4,

(1)由题意可知《1

:,q'=一=­8,

.•.a“=aiq〃r=-8X(-£|"r=(-2)4F.

(2)・.・。3+。6=(。2+。5均，即9=18q,

••(y2.

由4心+〃1。4=18得〃i=32,

ni=

由an=aiq~l知n=6.

例3.分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列出方程组求解.

解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d,则数列的各项依次为合;,80,80+d,80+2d.

'—+(80+d)=136,

于是得hoq

?+(80+2d)=132.

解方程组，得1?=2或［Q=l

Id=16Q=-64

所以这个数列是20,40,80,96,112,或180,120,80,16,-48.

跟踪训练2.解法1：设这四个数依次为a-d,a,a+d,妇也，

a

于是得卜一~+等"=16,解方程组，得｛，［j或｛。=］

Ia+a+d=12.——

所以当a=4,1=4时，所求的四个数为0,4,8,16；

当a=9,d=-6时,所求的四个数为15,9,3,1.

故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

解法2：设这四个数依次为也-a,2,a,aq,

qq

2a,i/

!2+a=12.解方程组,得［二2或［q/

所以当a=8,q=2时，所求的四个数为0,4,8,16；

当a=3,q=［时，所求的四个数为15,9,3,1.

故所求的四个数为0,4,8,16或