人教A版高中数学必修第一册 圆的一般方程 教案 教学设计

2.4.2圆的一般方程

(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)

一、教学目标

1.理解圆的一般方程及其特点,体现数学抽象的学科素养.

2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化,展现了数学逻辑推理的学科素养.

3.会求圆的一般方程，体现数学建模的学科素养.

二、教学重难点

掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程

三、教学过程

1.圆的一般方程概念的形成

1.1创设情境，引发思考

【数学情境】方程(彳-行+3+2)2=4表示以(1,-2)为圆心,2为半径的圆.可以将此方程变形为

X*2+9-2尤+4y+1=0.一般地，圆的标准方程(x-a)-=,可以变形为：x2+y2+Dx+Ey+F=0(2)

的形式.反过来，形如⑵的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？

例如，对于方程/+9-2尤-4y+6=0,对其进行配方，得(》-1)2+3-2)2=-1,因为任意一个点的坐

标(x,y)都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形.所以形如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆

的标准方程.这表明，形如(2)的方程不一定是圆的方程.

1.2深入探究，形成概念

活动：研究圆与形如/+丁+.+或+尸=。的方程之间的关系，应讨论以下基本问题：

(1)这类方程是否都是圆的方程？

(2)如果这类方程表示圆，其系数。，及厂具有什么条件？

(3)这类方程是圆的方程时，能否直接根据系数写出圆的圆心坐标，求出圆的半径？

(4)这类方程如果不表示圆，方程表示什么曲线？

【活动预设】将方程⑵的左边配方，并把常数项移到右边，得［""y+gjJ、；*①

(1)当。2+石2一4/>0时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程⑵表示以为圆心,

-SID2+E2-4F为半径的圆；

2

(2)当。2+石2_4/=0时，方程⑵只有实数解x=-T，y=~|,它表示一个点

(3)加+炉-4尸<0时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.

因此，当。2+序一4/>。时，方程⑵表示一个圆.把方程⑵叫做圆的一般方程.

［设计意图】引导学生认识圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的关系.

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思考:圆的标准方程(("一")+力一"=’)与圆的一般方程(x+y+Dx+Ey+F=0^+E-4F>0)

各有什么特点？

【答案预设】圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径,而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的

二元二次方程,方程的代数特征非常明显.

【设计意图】引导学生认识圆的标准方程与一般方程的特点.

L3思考辨析，加深理解

1.方程x2+y2+x+l=0表示一个圆.()

2.若方程x2+y2—2x+Ey+l=0表示圆，则EW0.()

3.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程.()

4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.()

【设计意图】辨析概念加深对圆一般方程的理解.

L4典例分析，初步应用

例若方程x2+y2+2mx—Zy+m'+Smu。表示圆.

(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径.

【答案预设】由表示圆的条件，得(2m”+(-2/-4(m2+5m)>0,

法二：将方程x~+y~+2mx—2y+nf+5m=0写成标准方程为(x+m)~+(y—1)2=1—5m

【设计意图】在典例分析中掌握求圆的一般方程与标准方程互化的基本方法.

适时小结

小结1：二元二次方程表示圆的判断方法

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任何一个圆的方程都可化为x+y+Dx+Ey+F^0(1)的形式，但方程(1)不一定表示圆.判断它是

否表示圆可以有以下两种方法：

(1)计算斤+1-4歹的值，

若其值为正,则表示圆；

若其值为0,则表示一个点；

若其值为负,则不表示任何图形.

(2)将该方程配方为，根据圆的标准方程来判断.

2.圆的一般方程的求法

2.1典例分析，对比感知

例4求过三点0(0,0),监的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径。

分析：将。,加|,知2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆

的方程.

解：设圆的方程是^+丁+瓜+4+尸=o.①

因为三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①，得到关

于D,E,F的一个三元一次方程组

>=0

<D+E+F+2=0

4D+2E+/+20=0

2=0,

解这个方程组，得。=一8,所以，所求圆的方程是/+/-8彳+6丫=0.

E=6.

由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径厂=3,。2+后2-4尸=5.

思考：与例2的方法比较，有什么体会呢？

【活动预设】例4的解答过程中，教科书选择了先求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然是

待定系数法来解.这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.容易

的原因是得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组.而用圆的标准方程的话，得到的是三元二次方程

组，需要消去二次项.一般来说，解一次方程比解二次方程容易.

【设计意图】运用方程的思想，进一步体会待定系数法，在比较中学会根据题目条件优择不同

的圆的方程.

适时小结

小结2:求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a,6/或。E,尸的方程组；

(3)解出a,。/或得到标准方程或一般方程.

注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件，恰当选择圆的方程形式：

①若知道或涉及圆心和半径，我们一般采用圆的标准方程较简单.

②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.

(特殊情况时,可借助图象求解更简单)

2.2跟踪训练，巩固应用

(1)已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),则△ABC的外接圆的方程是.

(2)圆心在直线y=x上，且经过点A(—1,1),B(3,一1)的圆的一般方程是.

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想

象、