新人教版高二暑期数学衔接第02讲正弦定理与余弦定理讲义(学生版+解析)

第02讲正弦定理与余弦定理【学习目标】1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题【基础知识】一、三角形中的诱导公式在△ABC中1.；2.；3.,.二、正弦定理1.在三角形ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即．其中R是三角形ABC外接圆的半径．2.正弦定理的其他形式：①a＝2RsinA,；②sinA＝eq\f(a,2R),sinB＝,sinC＝；③a∶b∶c＝.【解读】①适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.②结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.③揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.3.利用正弦定理求解“角角边”型:已知两角和任一边.已知角B,C和边a.4.利用正弦定理求解“边边角”型:已知两边和其中一边的对角.已知角A和边a,b(有解).5.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解6.利用正弦定理判断三角形形状①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．三、余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即,,.2.余弦定理的变形：cosA＝,cosB＝,cosC＝.3.由余弦定理可知,若C为锐角,则cosC>0,即a2＋b2>c2；若C为钝角,则cosC<0,即a2＋b2<c2；若C为直角,则cosC=0,即a2＋b2=c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较,可以判断C为锐角、钝角或直角．4.利用余弦定理求解“边边边”型,即已知三边.已知边a,b,c.5.利用余弦定理求解“边角边”型,即已知两边及夹角.已知边a,b和角C.6.利用余弦定理求解(3)“边边角”型,即已知两边和其中一边的对角.已知边a,b和角A.7.给出a2＋b2－c2＝λab形式求角,可用余弦定理；若,则；若成等差数列,或成等比数列,则8.三角形中多次使用正、余弦定理问题三角形中多次使用正、余弦定理是图形问题求解时的常用策略,求解时要借助相等角、互补角、相等的线段在几个三角形中分别使用正、余弦定理,列出多个关系式,相加或相减,或解方程组进行求解.四、三角形面积公式1.2.(p＝eq\f(a＋b＋c,2)),3.S＝rp(R为三角形外接圆半径,r为三角形内切圆半径,p＝eq\f(a＋b＋c,2))．4.△ABC的面积.五、解三角形的应用1.应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解．2.与测量有关的几类角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②)．(4)视角观察物体时,从物体两端引出的光线在人眼光心处所成的夹角(5)坡度(坡比)在修堤、筑坝、开渠、挖河时,我们常常需要表示斜坡的倾斜程度.在上坡公路旁的指示牌上也常看到坡度的标志.坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做这个斜坡的坡度(或坡比).若用i表示坡度,则有,由坡度的意义可知,"坡度"是一个比值,它并不是表示一个角度.我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角,若用α表示,可知坡度与坡角的关系是=tanα【考点剖析】考点一：利用正弦定理求角例1．(2022学年广西凭祥市高级中学高一下学期第一次素质检测)已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则(

)A． B． C． D．考点二：利用正弦定理求边例2．(2022学年河南省创新发展联盟高一下学期阶段性检测)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则(

)A． B．3 C． D．2考点三：利用余弦定理求角例3．(2022学年山西省高一下学期第三次月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,则角A的余弦值为(

)A． B． C． D．考点四：利用余弦定理求边例4．(2022年天津市南开区普通高中学业水平合格性考试)在中,若,则的长为__________．考点五：求三角形的面积例5．(2022学年北京市第六十六中学高一下学期线上诊断)已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,,则△ABC的面积为(

)A． B． C． D．考点六：判断三角形的形状例6．(2022学年江苏省徐州市沛县高一下学期第一次学情调研)在中,角所对的边分别是,且,则的形状为(

)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形考点七：三角变换与解三角形的交汇例7．(2022届山东师范大学附属中学高三下学期考前检测)在①,②两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.在中,内角、、所对的边分别是、、,且________.(1)求角；(2)若,点是的中点,求线段的取值范围.考点八：四边形中的解三角形例8．(2022届安徽师范大学附属中学高三下学期适应性考试)如图,圆内接四边形ABCD中,,,．(1)求边的长；(2)设,,求的值．考点九：三角形中的最值与范围例9.(2022届湖北省黄冈中学高三下学期5月适应性考试)在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,且满足．(1)求角B的大小；(2)求的面积的最大值．考点十：解三角形中的开放题例10.(2022届江苏省南京市天印高级中学高三下学期考前模拟)在①,②AC边上的高为,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并完成解答.问题：记ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,______.(1)求c的值；(2)若点是边上一点,且,求AD的长..考点十一：解三角形的应用例11.(2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期5月月考)市政部门要在一条道路路边安装路灯,如图所示截面中,要求灯柱AB与地面AD垂直,灯杆为线段BC,,路灯C采用锥形灯罩,射出光线范围为,A､B､C､D在同一平面内,路宽米,设.(1)求灯柱AB的高；(2)市政部门应该如何设置的值才能使路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？(结果精确到0.01)【真题演练】1．(2021年高考全国卷Ⅱ)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A．B．C三点,且A．B．C在同一水平面上的投影满足,．由C点测得B点的仰角为,与的差为100；由B点测得A点的仰角为,则A．C两点到水平面的高度差约为() ()A．346 B．373 C．446 D．4732．(2020年高考全国卷Ⅲ)在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,则cosB= ()A． B． C． D．3．(2021年高考全国卷Ⅱ)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则________．4．(2020年高考全国卷Ⅰ卷)如图,在三棱锥P–ABC的平面展开图中,AC=1,,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=______________．5．(2021新高考全国卷Ⅰ)记的内角,,的对边分别为,,．已知,点在边上,．(1)证明：；(2)若,求．6.(2021新高考全国卷Ⅱ)在中,角、、所对的边长分别为、、,,.．(1)若,求的面积；(2)是否存在正整数,使得为钝角三角形?若存在,求出的值；若不存在,说明理由．7.(2020新高考山东卷)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值；若问题中的三角形不存在,说明理由．问题：是否存在,它的内角的对边分别为,且,,________?注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．8．(2020年高考全国卷Ⅱ)中,sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3,求周长的最大值．【过关检测】1．(2022届上海市高三高考冲刺卷)如图,在中,已知,D是边上的一点,,则的长为(

)A． B． C． D．2.(2022学年辽宁省铁岭市清河高级中学高一下学期期中)在中,已知,那么一定是(

)A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形3.(2022学年河南省洛阳市创新发展联盟高一下期5月阶段检测)在中,AC＝2,,若有解,则BC的取值范围为(

)A．[1,2) B．[1,＋∞) C． D．[2,＋∞)4.(多选)(2022学年辽宁师范大学附属中学高一下学期5月考试)在中,分别为,,的对边,下列叙述正确的是(

)A．若为钝角三角形,则B．若是锐角三角形,则不等式恒成立C．,则D．若,则为钝角三角形5.(多选)(2022学年吉林省长春市东北师范大学附属中学高一下学期期中)如图,在平面四边形ABCD中,,,,,则CD的值可能为(

)A．1 B． C． D．26.(2022学年四川省内江市第六中学高一下学期期中)在△ABC中,角A、B、C所对边分别为a、b、c,且,则______．7．(2022学年三湘名校教育联盟高一下学期5月联考)如图,无人机在离地面高300m的A处,观测到山顶M处的仰角为、山脚C处的俯角为,已知,则山的高度MN为___m．8.(2022届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三下学期高考适应性考试)已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,．(1)求角A的大小；(2)若,,且AD平分,求的面积．9.(2022学年湖北省十堰市部分高中高二下学期5月联考)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上并作答.问题：在中,内角,,的对边分别为,,,已知,__________,的面积为.(1)求角的大小和的值；(2)设点是的边上一点,且满足,求的值.注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.10.(2022学年河南省濮阳市第一高级中学高一下学期期中)已知村庄在村庄的东偏北方向,且村庄之间的距离是千米,村庄在村庄的北偏西方向,且村庄在村庄的正西方向,现要在村庄的北偏东方向建立一个农贸市场,使得农贸市场到村庄的距离是到村庄的距离的倍.(1)求村庄之间的距离；(2)求农贸市场到村庄的距离之和.第02讲正弦定理与余弦定理【学习目标】1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题【基础知识】一、三角形中的诱导公式在△ABC中1.；2.；3.,.二、正弦定理1.在三角形ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即．其中R是三角形ABC外接圆的半径．2.正弦定理的其他形式：①a＝2RsinA,；②sinA＝eq\f(a,2R),sinB＝,sinC＝；③a∶b∶c＝.【解读】①适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.②结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.③揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.3.利用正弦定理求解“角角边”型:已知两角和任一边.已知角B,C和边a.4.利用正弦定理求解“边边角”型:已知两边和其中一边的对角.已知角A和边a,b(有解).5.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解6.利用正弦定理判断三角形形状①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．三、余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即,,.2.余弦定理的变形：cosA＝,cosB＝,cosC＝.3.由余弦定理可知,若C为锐角,则cosC>0,即a2＋b2>c2；若C为钝角,则cosC<0,即a2＋b2<c2；若C为直角,则cosC=0,即a2＋b2=c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较,可以判断C为锐角、钝角或直角．4.利用余弦定理求解“边边边”型,即已知三边.已知边a,b,c.5.利用余弦定理求解“边角边”型,即已知两边及夹角.已知边a,b和角C.6.利用余弦定理求解(3)“边边角”型,即已知两边和其中一边的对角.已知边a,b和角A.7.给出a2＋b2－c2＝λab形式求角,可用余弦定理；若,则；若成等差数列,或成等比数列,则8.三角形中多次使用正、余弦定理问题三角形中多次使用正、余弦定理是图形问题求解时的常用策略,求解时要借助相等角、互补角、相等的线段在几个三角形中分别使用正、余弦定理,列出多个关系式,相加或相减,或解方程组进行求解.四、三角形面积公式1.2.(p＝eq\f(a＋b＋c,2)),3.S＝rp(R为三角形外接圆半径,r为三角形内切圆半径,p＝eq\f(a＋b＋c,2))．4.△ABC的面积.五、解三角形的应用1.应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意,分清已知与未知,画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中,建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解．2.与测量有关的几类角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②)．(4)视角观察物体时,从物体两端引出的光线在人眼光心处所成的夹角(5)坡度(坡比)在修堤、筑坝、开渠、挖河时,我们常常需要表示斜坡的倾斜程度.在上坡公路旁的指示牌上也常看到坡度的标志.坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做这个斜坡的坡度(或坡比).若用i表示坡度,则有,由坡度的意义可知,"坡度"是一个比值,它并不是表示一个角度.我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角,若用α表示,可知坡度与坡角的关系是=tanα【考点剖析】考点一：利用正弦定理求角例1．(2022学年广西凭祥市高级中学高一下学期第一次素质检测)已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理可得,故,而,故,故选C.考点二：利用正弦定理求边例2．(2022学年河南省创新发展联盟高一下学期阶段性检测)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则(

)A． B．3 C． D．2【答案】B【解析】由题意得,由正弦定理得,得．故选B考点三：利用余弦定理求角例3．(2022学年山西省高一下学期第三次月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,则角A的余弦值为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由得,或(舍).故选A．考点四：利用余弦定理求边例4．(2022年天津市南开区普通高中学业水平合格性考试)在中,若,则的长为__________．【答案】【解析】由余弦定理,即,所以,故答案为考点五：求三角形的面积例5．(2022学年北京市第六十六中学高一下学期线上诊断)已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,,则△ABC的面积为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】因为,故,而,故,故,故三角形的面积为,故选A．考点六：判断三角形的形状例6．(2022学年江苏省徐州市沛县高一下学期第一次学情调研)在中,角所对的边分别是,且,则的形状为(

)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】因为,所以,即,整理得到,因为,,所以,即,,为等腰三角形.故选A考点七：三角变换与解三角形的交汇例7．(2022届山东师范大学附属中学高三下学期考前检测)在①,②两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.在中,内角、、所对的边分别是、、,且________.(1)求角；(2)若,点是的中点,求线段的取值范围.【解析】(1)解：选①,由及正弦定理可得,所以,,因为、,所以,,则,所以,,；选②,由及正弦定理可得,所以,,、,,所以,,则.(2)解：因为,所以,,由已知,即,所以,,所以,,即,所以,.考点八：四边形中的解三角形例8．(2022届安徽师范大学附属中学高三下学期适应性考试)如图,圆内接四边形ABCD中,,,．(1)求边的长；(2)设,,求的值．【解析】(1)圆内接四边形ABCD中,,在△ACD中,由余弦定理得,所以边的长是.(2)依题意,,在△ABC中,,为钝角,由正弦定理得：,即,而为锐角,则,所以.考点九：三角形中的最值与范围例9.(2022届湖北省黄冈中学高三下学期5月适应性考试)在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,且满足．(1)求角B的大小；(2)求的面积的最大值．【解析】(1)由正弦定理得,由余弦定理得,,∴；(2)因为,,当且仅当时,等号成立,所以,所以,所以的面积的最大值；综上,,的面积的最大值.考点十：解三角形中的开放题例10.(2022届江苏省南京市天印高级中学高三下学期考前模拟)在①,②AC边上的高为,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并完成解答.问题：记ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,______.(1)求c的值；(2)若点是边上一点,且,求AD的长.【解析】(1)解：选条件①：,由余弦定理,则,解得,则；选条件②：AC边上的高为,由三角形的面积公式,解得,.

选条件③：,由题意可知,所以,

因为,,,由正弦定理得,即,解得,.(2)选条件①：因为,所以,,,则,由正弦定理,；选条件②；因为,所以,,,则,由正弦定理,；选条件③：,由正弦定理,.考点十一：解三角形的应用例11.(2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期5月月考)市政部门要在一条道路路边安装路灯,如图所示截面中,要求灯柱AB与地面AD垂直,灯杆为线段BC,,路灯C采用锥形灯罩,射出光线范围为,A､B､C､D在同一平面内,路宽米,设.(1)求灯柱AB的高；(2)市政部门应该如何设置的值才能使路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？(结果精确到0.01)【解析】(1)在中,,由,得,在中,,由,得.(2)中,由,得,∴,∵,∴,∴当时,取得最小值,故路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小,最小值约为米【真题演练】1．(2021年高考全国卷Ⅱ)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A．B．C三点,且A．B．C在同一水平面上的投影满足,．由C点测得B点的仰角为,与的差为100；由B点测得A点的仰角为,则A．C两点到水平面的高度差约为() ()A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】过作,过作,故,由题,易知为等腰直角三角形,所以．所以．因为,所以在中,由正弦定理得：,而,所以,所以．故选B．2．(2020年高考全国卷Ⅲ)在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,则cosB= ()A． B． C． D．【答案】A【解析】在中,,,根据余弦定理：可得,即由,故．故选A．3．(2021年高考全国卷Ⅱ)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则________．【答案】【解析】由题意,,所以,所以,解得(负值舍去)．4．(2020年高考全国卷Ⅰ卷)如图,在三棱锥P–ABC的平面展开图中,AC=1,,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=______________．【答案】【解析】,,,由勾股定理得,同理得,,在中,,,,由余弦定理得,,在中,,,,由余弦定理得．5．(2021新高考全国卷Ⅰ)记的内角,,的对边分别为,,．已知,点在边上,．(1)证明：；(2)若,求．【解析】(1)证明：由正弦定理知,,,,,,即,．；解法二：证明：由正弦定理知,(2)解法一：由(1)知,,,,在中,由余弦定理知,,在中,由余弦定理知,,,,即,得,,,或,在中,由余弦定理知,,当时,(舍；当时,；综上所述,．6.(2021新高考全国卷Ⅱ)在中,角、、所对的边长分别为、、,,.．(1)若,求的面积；(2)是否存在正整数,使得为钝角三角形?若存在,求出的值；若不存在,说明理由．【解析】(1)因为,则,则,故,,,所以,锐角,则,因此,；(2)显然,若为钝角三角形,则为钝角,由余弦定理可得,解得,则,由三角形三边关系可得,可得,,故.7.(2020新高考山东卷)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值；若问题中的三角形不存在,说明理由．问题：是否存在,它的内角的对边分别为,且,,________?注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】解法一：由可得：,不妨设,则：,即.选择条件①的解析：据此可得：,,此时.选择条件②的解析：据此可得：,则：,此时：,则：.选择条件③的解析：可得,,与条件矛盾,则问题中的三角形不存在.解法二：∵,∴,∴,∴,∴,∴,若选①,,∵,∴,∴c=1;若选②,,则,;若选③,与条件矛盾.8．(2020年高考全国卷Ⅱ)中,sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3,求周长的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得：,,,(2)由余弦定理得：,即．(当且仅当时取等号),,解得：(当且仅当时取等号),周长,周长的最大值为．【过关检测】1．(2022届上海市高三高考冲刺卷)如图,在中,已知,D是边上的一点,,则的长为(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】在中,由余弦定理得：,因为,所以,在中,由正弦定理得：,即,解得：,故选D2.(2022学年辽宁省铁岭市清河高级中学高一下学期期中)在中,已知,那么一定是(

)A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形【答案】B【解析】因为,,所以,所以由正余弦定理得,化简得,所以,所以为等腰三角形.故选B.3.(2022学年河南省洛阳市创新发展联盟高一下期5月阶段检测)在中,AC＝2,,若有解,则BC的取值范围为(

)A．[1,2) B．[1,＋∞) C． D．[2,＋∞)【答案】B【解析】因为有解,所以BC≥ACsinA＝1．故选B4.(多选)(2022学年辽宁师范大学附属中学高一下学期5月考试)在中,分别为,,的对边,下列叙述正确的是(

)A．若为钝角三角形,则B．若是锐角三角形,则不等式恒成立C．,则D．若,则为钝角三角形【答案】BCD【解析】对于A中,由余弦定理可得,所以角为钝角,但是为钝角三角形,不一定是角为钝角,故选项A不正确；对于B中,若是锐角三角形,可得,所以,且,可得,所以,即不等式恒成立,所以B正确；对于C中,因为,由正弦定理得,又由,所以,可得,因为,可得,所以,即,又因为,所以,所以C正确；对于D中,在中,